Sean $x$ e $y$ las longitudes de los lados del rectángulo expresadas en cm. El enunciado establece que el área es constante e igual a $25 \text{ cm}^2$:

Queremos minimizar el producto de las longitudes de sus dos diagonales. En un rectángulo, ambas diagonales son iguales ($d_1 = d_2 = d$). Por el teorema de Pitágoras, sabemos que $d^2 = x^2 + y^2$. Por tanto, el producto de las diagonales es:

Sustituimos la variable $y$ para obtener la función a minimizar dependiente de una sola variable, $f(x)$:

Para hallar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función e igualamos a cero:

Como el lado de un rectángulo debe ser positivo, tomamos $x = 5 \text{ cm}$. Para comprobar que se trata de un mínimo, utilizamos la segunda derivada:

Evaluamos en $x = 5$:

Dado que $f''(5) > 0$, existe un mínimo relativo en $x = 5$. Calculamos la longitud del otro lado:

Por tanto, las dimensiones del rectángulo que minimizan el producto de sus diagonales corresponden a las de un cuadrado de lado $5 \text{ cm}$.