T4: Funciones · Optimización — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Optimización

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas $(2, 0)$ de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$ . ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

OptimizaciónDerivadasDistancia mínima

Sea $N$ el punto donde se encuentra el náufrago, $N=(2,0)$ . Sea $P$ un punto cualquiera de la trayectoria del ferry. La trayectoria viene dada por la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ . Por lo tanto, un punto $P$ de la trayectoria tendrá coordenadas $(x, \sqrt{x+1})$ . La distancia $d$ entre el náufrago y el ferry en un punto $P$ viene dada por la fórmula de la distancia entre dos puntos:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Sustituyendo las coordenadas de $N=(2,0)$ y $P=(x, \sqrt{x+1})$ :

d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + (\sqrt{x+1} - 0)^2}

Para minimizar la distancia, es equivalente minimizar el cuadrado de la distancia, $d^2(x)$ , lo que simplifica los cálculos al eliminar la raíz cuadrada:

D(x) = d^2(x) = (x - 2)^2 + (x+1)

Desarrollamos la expresión:

D(x) = x^2 - 4x + 4 + x + 1

D(x) = x^2 - 3x + 5

Para encontrar el mínimo de esta función, calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

D'(x) = 2x - 3

2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}

Para comprobar que se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada:

D''(x) = 2

Dado que $D''(x) = 2 > 0$ , el punto $x = 3/2$ corresponde a un mínimo.

¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible?

Ahora, sustituimos $x = 3/2$ en la ecuación de la trayectoria $f(x) = \sqrt{x+1}$ para encontrar la coordenada $y$ correspondiente:

y = \sqrt{\frac{3}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3+2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}

El punto de la trayectoria más cercano al náufrago es $P\left(\frac{3}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ .

Calcula dicha distancia.

Para calcular la distancia mínima, sustituimos $x = 3/2$ en la función de distancia al cuadrado $D(x)$ y luego calculamos la raíz cuadrada:

D\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 5

D\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5

D\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{20}{4}

D\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{11}{4}

La distancia mínima es la raíz cuadrada de $D(3/2)$ :

d_{min} = \sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}