T4: Funciones · Límites — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Límites

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1 + x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\text{sen}^2(x)} = 5

donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

LímitesRegla de L'HôpitalParámetros

Resolución del límite para determinar los parámetros $a$ y $b$

En primer lugar, evaluamos el límite cuando $x$ tiende a $0$ para identificar posibles indeterminaciones. Sustituyendo $x = 0$ en la expresión:

\lim_{x \to 0} \frac{a(\ln(1 + x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\text{sen}^2(x)} = \frac{a(0) + b(0) + 1 - 1}{0} = \frac{0}{0}

Dada la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ , aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{a\left(\frac{1}{1+x} - 1\right) + b e^x + \text{sen}(x)}{2 \text{sen}(x) \cos(x)}

Simplificamos el denominador usando la identidad trigonométrica $\text{sen}(2x) = 2 \text{sen}(x) \cos(x)$ :

\lim_{x \to 0} \frac{a\left(\frac{-x}{1+x}\right) + b e^x + \text{sen}(x)}{\text{sen}(2x)}

Al evaluar el límite de esta nueva fracción, el denominador tiende a $0$ . Para que el límite sea finito e igual a $5$ , el numerador también debe tender a $0$ :

\lim_{x \to 0} \left[ a\left(\frac{-x}{1+x}\right) + b e^x + \text{sen}(x) \right] = 0 + b \cdot 1 + 0 = b

Para evitar que el límite sea infinito, imponemos la condición $b = 0$ . Con este valor, obtenemos nuevamente la indeterminación $\frac{0}{0}$ y aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez:

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \left( a\left(\frac{-x}{1+x}\right) + \text{sen}(x) \right)}{\frac{d}{dx} (\text{sen}(2x))} = \lim_{x \to 0} \frac{a\left(\frac{-1}{(1+x)^2}\right) + \cos(x)}{2 \cos(2x)}

Evaluamos el límite resultante sustituyendo $x = 0$ :

\frac{a(-1) + 1}{2} = \frac{-a + 1}{2}

Igualamos el resultado obtenido al valor proporcionado en el enunciado:

\frac{-a + 1}{2} = 5 \implies -a + 1 = 10 \implies a = -9

Los valores buscados son $a = -9$ y $b = 0$ .