a) Calcula a a a y b b b para que y = x − 2 y = x - 2 y = x − 2 sea una asíntota oblicua de la gráfica de f f f . Una función f ( x ) f(x) f ( x ) tiene una asíntota oblicua de la forma y = m x + n y = mx + n y = m x + n si los límites de m m m y n n n existen y son finitos. En este caso, nos dan la recta y = x − 2 y = x - 2 y = x − 2 , por lo que m = 1 m = 1 m = 1 y n = − 2 n = -2 n = − 2 . Calculamos m m m mediante el límite:
m = lim x → ∞ f ( x ) x = lim x → ∞ a x 3 + x − 1 x ( x 2 + b x − 3 ) = lim x → ∞ a x 3 + x − 1 x 3 + b x 2 − 3 x m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + x - 1}{x(x^2 + bx - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + x - 1}{x^3 + bx^2 - 3x} m = lim x → ∞ x f ( x ) = lim x → ∞ x ( x 2 + b x − 3 ) a x 3 + x − 1 = lim x → ∞ x 3 + b x 2 − 3 x a x 3 + x − 1 Al ser un límite de un cociente de polinomios del mismo grado ( 3 3 3 ), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: m = a m = a m = a . Como m = 1 m = 1 m = 1 , deducimos que a = 1 a = 1 a = 1 . A continuación, calculamos n n n para a = 1 a = 1 a = 1 :
n = lim x → ∞ [ f ( x ) − m x ] = lim x → ∞ [ x 3 + x − 1 x 2 + b x − 3 − x ] n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3} - x \right] n = lim x → ∞ [ f ( x ) − m x ] = lim x → ∞ [ x 2 + b x − 3 x 3 + x − 1 − x ] Operamos para obtener una única fracción:
n = lim x → ∞ x 3 + x − 1 − x ( x 2 + b x − 3 ) x 2 + b x − 3 = lim x → ∞ x 3 + x − 1 − x 3 − b x 2 + 3 x x 2 + b x − 3 = lim x → ∞ − b x 2 + 4 x − 1 x 2 + b x − 3 n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x - 1 - x(x^2 + bx - 3)}{x^2 + bx - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x - 1 - x^3 - bx^2 + 3x}{x^2 + bx - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-bx^2 + 4x - 1}{x^2 + bx - 3} n = lim x → ∞ x 2 + b x − 3 x 3 + x − 1 − x ( x 2 + b x − 3 ) = lim x → ∞ x 2 + b x − 3 x 3 + x − 1 − x 3 − b x 2 + 3 x = lim x → ∞ x 2 + b x − 3 − b x 2 + 4 x − 1 El límite es el cociente de los coeficientes de x 2 x^2 x 2 , por lo tanto n = − b n = -b n = − b . Como sabemos que n = − 2 n = -2 n = − 2 , tenemos que − b = − 2 -b = -2 − b = − 2 , de donde b = 2 b = 2 b = 2 .
b) Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de f f f cuando a = 0 a = 0 a = 0 y b = 2 b = 2 b = 2 . Sustituimos los valores a = 0 a = 0 a = 0 y b = 2 b = 2 b = 2 en la función original:
f ( x ) = 0 x 3 + x − 1 x 2 + 2 x − 3 = x − 1 x 2 + 2 x − 3 f(x) = \frac{0x^3 + x - 1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{x - 1}{x^2 + 2x - 3} f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 0 x 3 + x − 1 = x 2 + 2 x − 3 x − 1 Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x x x que anulan el denominador. Resolvemos x 2 + 2 x − 3 = 0 x^2 + 2x - 3 = 0 x 2 + 2 x − 3 = 0 :
x = − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) 2 ⋅ 1 = − 2 ± 16 2 = − 2 ± 4 2 ⟹ x 1 = 1 , x 2 = − 3 x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies x_1 = 1, x_2 = -3 x = 2 ⋅ 1 − 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = 2 − 2 ± 16 = 2 − 2 ± 4 ⟹ x 1 = 1 , x 2 = − 3 Estudiamos el límite en x = 1 x = 1 x = 1 :
lim x → 1 x − 1 x 2 + 2 x − 3 = 0 0 (Indeterminaci o ˊ n) \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{0}{0} \text{ (Indeterminación)} lim x → 1 x 2 + 2 x − 3 x − 1 = 0 0 (Indeterminaci o ˊ n) Factorizamos el denominador como ( x − 1 ) ( x + 3 ) (x - 1)(x + 3) ( x − 1 ) ( x + 3 ) para resolver la indeterminación:
lim x → 1 x − 1 ( x − 1 ) ( x + 3 ) = lim x → 1 1 x + 3 = 1 4 \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{4} lim x → 1 ( x − 1 ) ( x + 3 ) x − 1 = lim x → 1 x + 3 1 = 4 1 Como el límite es finito, en x = 1 x = 1 x = 1 no hay una asíntota vertical (hay una discontinuidad evitable). Estudiamos el límite en x = − 3 x = -3 x = − 3 :
lim x → − 3 x − 1 ( x − 1 ) ( x + 3 ) = lim x → − 3 1 x + 3 = 1 0 = ∞ \lim_{x \to -3} \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{0} = \infty lim x → − 3 ( x − 1 ) ( x + 3 ) x − 1 = lim x → − 3 x + 3 1 = 0 1 = ∞ Calculamos los límites laterales para determinar el comportamiento:
lim x → − 3 − 1 x + 3 = − ∞ , lim x → − 3 + 1 x + 3 = + ∞ \lim_{x \to -3^-} \frac{1}{x + 3} = -\infty, \quad \lim_{x \to -3^+} \frac{1}{x + 3} = +\infty lim x → − 3 − x + 3 1 = − ∞ , lim x → − 3 + x + 3 1 = + ∞ Por lo tanto, la función tiene una única asíntota vertical en la recta x = − 3 x = -3 x = − 3 .
