T4: Funciones · Análisis de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Análisis de funciones

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = (x - 1)e^x$ .

a) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de inflexión.b) Estudia y calcula las asíntotas de la función.

Recta tangenteRecta normalPunto de inflexión+1

a) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de inflexión.

Para hallar el punto de inflexión, primero calculamos las derivadas sucesivas de la función $f(x) = (x - 1)e^x$ .

f'(x) = 1 \cdot e^x + (x - 1)e^x = e^x + xe^x - e^x = xe^x

f''(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x

El punto de inflexión ocurre cuando la segunda derivada es cero y la tercera es distinta de cero en ese punto. Resolvemos $f''(x) = 0$ :

(1 + x)e^x = 0 \implies 1 + x = 0 \implies x = -1

Calculamos el valor de la función y de la primera derivada en $x = -1$ :

f(-1) = (-1 - 1)e^{-1} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}

f'(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}

El punto de inflexión es $P(-1, -2/e)$ . La pendiente de la recta tangente es $m_t = f'(-1) = -1/e$ . Aplicamos la fórmula punto-pendiente:

y - \left(-\frac{2}{e}\right) = -\frac{1}{e}(x - (-1)) \implies y + \frac{2}{e} = -\frac{1}{e}(x + 1) \implies y = -\frac{1}{e}x - \frac{3}{e}

La pendiente de la recta normal es la inversa y opuesta de la tangente, $m_n = -1 / f'(-1) = e$ . Su ecuación es:

y - \left(-\frac{2}{e}\right) = e(x - (-1)) \implies y + \frac{2}{e} = e(x + 1) \implies y = ex + e - \frac{2}{e}

b) Estudia y calcula las asíntotas de la función.

1. Asíntotas verticales: Como $f(x) = (x - 1)e^x$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ (producto de un polinomio y una exponencial), no tiene asíntotas verticales.2. Asíntotas horizontales: Calculamos los límites en el infinito.En $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} (x - 1)e^x = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = +\infty

No hay asíntota horizontal en $+\infty$ .En $-\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} (x - 1)e^x = (-\infty) \cdot 0 \quad \text{(Indeterminación)}

Reescribimos y aplicamos la regla de L'Hôpital:

\lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0

Por tanto, hay una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$ .3. Asíntotas oblicuas ( $y = mx + n$ ): Al existir asíntota horizontal en $-\infty$ , no hay oblicua en esa dirección. Comprobamos en $+\infty$ :

m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x - 1)e^x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)e^x = 1 \cdot \infty = \infty

Al ser el límite infinito, no existe asíntota oblicua en $+\infty$ .