T4: Funciones · Análisis de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Análisis de funciones

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

Sea la función $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por:

f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}

a) Calcula $a$ para que $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$ . b) Para $a = 0$ , calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ . Estudia y halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

AsíntotasMonotoníaExtremos relativos

Para que la recta $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la función cuando $x$ tiende a infinito, se debe cumplir la siguiente condición:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1

Sustituimos la expresión de la función y evaluamos el límite:

\lim_{x \to +\infty} \left( a + \frac{\ln(x)}{x^2} \right) = a + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}

El segundo término presenta una indeterminación de tipo $\infty / \infty$ . Dado que el crecimiento de una potencia de $x$ es superior al de un logaritmo, el límite es cero. Aplicando la regla de L'Hôpital para verificarlo:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x^2} = 0

Igualamos el resultado al valor de la asíntota horizontal para despejar el parámetro:

a + 0 = 1 \implies \mathbf{a = 1}

Para el segundo apartado, con $a = 0$ , la función es $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ . Calculamos su primera derivada mediante la regla del cociente para determinar la monotonía:

f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - 2x \cdot \ln(x)}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x \ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln(x)}{x^3}

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero. Como el dominio es $(0, +\infty)$ , el denominador siempre es positivo:

1 - 2 \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = \frac{1}{2} \implies x = e^{1/2} = \sqrt{e}

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el punto crítico:

\text{Si } x \in (0, \sqrt{e}) \implies f'(x) > 0 \implies f(x) \text{ es creciente}

\text{Si } x \in (\sqrt{e}, +\infty) \implies f'(x) < 0 \implies f(x) \text{ es decreciente}

Como la función cambia de creciente a decreciente en el punto crítico, existe un máximo relativo. Calculamos la imagen de dicho valor:

f(\sqrt{e}) = \frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}

Los resultados finales para la función con $a = 0$ son:

\mathbf{\text{Intervalo de crecimiento: } (0, \sqrt{e})}

\mathbf{\text{Intervalo de decrecimiento: } (\sqrt{e}, +\infty)}

\mathbf{\text{Máximo relativo en el punto: } \left( \sqrt{e}, \frac{1}{2e} \right)}