Para determinar los intervalos de monotonía, calculamos la primera derivada de la función $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ utilizando la regla del producto:

Podemos simplificar la expresión factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero:

Como la función exponencial $e^x$ siempre es positiva para cualquier valor de $x \in \mathbb{R}$, la única solución es $x = -1$. Estudiamos el signo de $f'(x)$ en la recta real:Dado que $(x + 1)^2 \ge 0$ y $e^x > 0$ para todo $x$, se cumple que $f'(x) \ge 0$ en todo el dominio de la función. Aunque la derivada se anula en $x = -1$, no hay cambio de signo, por lo que la función es estrictamente creciente en todo su dominio.Intervalo de crecimiento: $(-\infty, +\infty)$.Intervalo de decrecimiento: No existe (conjunto vacío $\emptyset$).

Para analizar la curvatura, calculamos la segunda derivada de la función a partir de $f'(x) = (x^2 + 2x + 1)e^x$:

Buscamos los puntos donde la segunda derivada se anula:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Obtenemos dos posibles puntos de inflexión en $x = -3$ y $x = -1$. Evaluamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos resultantes:En $(-\infty, -3)$: Si tomamos $x = -4$, $f''(-4) = (16 - 16 + 3)e^{-4} = 3e^{-4} > 0$. La función es convexa ($\cup$).En $(-3, -1)$: Si tomamos $x = -2$, $f''(-2) = (4 - 8 + 3)e^{-2} = -e^{-2} < 0$. La función es cóncava ($\cap$).En $(-1, +\infty)$: Si tomamos $x = 0$, $f''(0) = (0 + 0 + 3)e^0 = 3 > 0$. La función es convexa ($\cup$).Como existe cambio de signo en $x = -3$ y $x = -1$, ambos son puntos de inflexión. Calculamos sus coordenadas ordenadas:Para $x = -3$: $f(-3) = ((-3)^2 + 1)e^{-3} = 10e^{-3} = rac{10}{e^3}$.Para $x = -1$: $f(-1) = ((-1)^2 + 1)e^{-1} = 2e^{-1} = rac{2}{e}$.Resumen de curvatura: Convexa en $(-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)$ y cóncava en $(-3, -1)$. Los puntos de inflexión se sitúan en $(-3, rac{10}{e^3})$ y $(-1, rac{2}{e})$.