Para que la función $f(x)$ sea derivable en $\mathbb{R}$, debe ser, en primer lugar, continua en todo su dominio. El único punto de posible discontinuidad es $x = 0$. Estudiamos la continuidad en dicho punto exigiendo que los límites laterales coincidan con el valor de la función:

Para que sea continua, debe cumplirse que $a = 0$.Una vez garantizada la continuidad con $a = 0$, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos:

Para que la función sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben ser iguales. Sustituimos $a = 0$ y evaluamos los límites de la derivada:

Igualando ambas expresiones: $-b = 2 \implies b = -2$. Por tanto, los valores buscados son $a = 0$ y $b = -2$.

Primero hallamos las coordenadas del punto de tangencia $(0, f(0))$ y la pendiente de la recta tangente $m_t = f'(0)$:El punto es $(0, 0)$, ya que $f(0) = 0 + \ln(1) = 0$. La pendiente es $m_t = f'(0) = 2$.La ecuación de la recta tangente se obtiene mediante la fórmula $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$:

La pendiente de la recta normal es $m_n = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{2}$.La ecuación de la recta normal se obtiene mediante la fórmula $y - f(0) = -\frac{1}{f'(0)}(x - 0)$: