Distribución binomial y normal

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de las manzanas en gramos, la cual sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, donde $\mu = 200$ y $\sigma$ es la desviación típica.

Sabemos que $P(X > 230) = 0,33$. Para hallar $\sigma$, tipificamos la variable utilizando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:

Pasamos a la probabilidad acumulada para poder usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$:

Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0,67$ es aproximadamente $z = 0,44$. Por lo tanto:

Ahora tenemos $X \sim N(200, 50)$. Debemos calcular $P(160 < X < 220)$. Tipificamos los valores:

Calculamos la probabilidad por la propiedad de los intervalos:

Consultando los valores en la tabla de la normal estándar:

Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100. El porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos es del $44,35 \%$.

Definimos la variable aleatoria $X$ como la velocidad de los vehículos en este sentido de circulación. Sabemos que sigue una distribución normal:

Se sancionan los vehículos con velocidad $X > 72$. Para calcular esta probabilidad, tipificamos la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:

Utilizando las propiedades de la distribución normal estándar y consultando la tabla de valores:

Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100:

Definimos la variable aleatoria $Y$ para el sentido contrario, con media $\mu = 63,6$ y desviación típica $\sigma$ desconocida:

El enunciado indica que $P(Y > 80) = 5,05 \% = 0,0505$. Procedemos a tipificar la variable:

Transformamos la desigualdad para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$:

Buscando el valor $0,9495$ en el interior de la tabla de la distribución normal, encontramos que corresponde a un valor crítico $z = 1,64$:

Despejamos la desviación típica:

Definimos la variable aleatoria $X$ como el diámetro de las bolas en milímetros. En condiciones ideales, la variable sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\mu = 13$ y $\sigma = 0,1$. El rango óptimo para el rodamiento es el intervalo $[12,9, 13,15]$.

Calculamos la probabilidad $P(12,9 \leq X \leq 13,15)$ estandarizando la variable mediante el cambio $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 13}{0,1}$:

Aplicamos la propiedad de simetría de la distribución normal $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$:

Buscando los valores en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtenemos $P(Z \leq 1,5) = 0,9332$ y $P(Z \leq 1) = 0,8413$:

La probabilidad de obtener una pieza óptima en condiciones ideales es de $0,7745$ (o $77,45\%$).

El $15$ de julio, debido al fallo de refrigeración, la variable sigue una distribución $Y \sim N(12,9, 0,2)$. Procedemos a calcular la probabilidad en el mismo rango óptimo estandarizando con $Z = \frac{Y - 12,9}{0,2}$:

Buscando en la tabla de la normal estándar los valores $P(Z \leq 1,25) = 0,8944$ y sabiendo que $P(Z \leq 0) = 0,5$:

La probabilidad de obtener una pieza óptima bajo estas condiciones es de $0,3944$ (o $39,44\%$).