T6: Distribución binomial y normal

Distribución normal

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 7.

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70 \text{ km/h}$ .

a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media

64 \text{ km/h}

y desviación típica

4 \text{ km/h}

. Si el radar de control salta a partir de

72 \text{ km/h}

, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de

63,6 \text{ km/h}

y que el

5,05 \%

de todos los vehículos viaja a más de

80 \text{ km/h}

. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Distribución normalTipificación

Distribución Normal de Velocidades

a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media

64 \text{ km/h}

y desviación típica

4 \text{ km/h}

. Si el radar de control salta a partir de

72 \text{ km/h}

, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?

Definimos la variable aleatoria $X$ como la velocidad de los vehículos en este sentido de circulación. Sabemos que sigue una distribución normal:

X \sim N(64, 4)

Se sancionan los vehículos con velocidad $X > 72$ . Para calcular esta probabilidad, tipificamos la variable usando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ :

P(X > 72) = P\left(Z > \frac{72 - 64}{4}\right) = P(Z > \frac{8}{4}) = P(Z > 2)

Utilizando las propiedades de la distribución normal estándar y consultando la tabla de valores:

P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100:

0,0228 \cdot 100 = 2,28 \%

b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de

63,6 \text{ km/h}

y que el

5,05 \%

de todos los vehículos viaja a más de

80 \text{ km/h}

. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?

Definimos la variable aleatoria $Y$ para el sentido contrario, con media $\mu = 63,6$ y desviación típica $\sigma$ desconocida:

Y \sim N(63,6, \sigma)

El enunciado indica que $P(Y > 80) = 5,05 \% = 0,0505$ . Procedemos a tipificar la variable:

P\left(Z > \frac{80 - 63,6}{\sigma}\right) = 0,0505 \implies P\left(Z > \frac{16,4}{\sigma}\right) = 0,0505

Transformamos la desigualdad para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ :

P\left(Z \leq \frac{16,4}{\sigma}\right) = 1 - 0,0505 = 0,9495

Buscando el valor $0,9495$ en el interior de la tabla de la distribución normal, encontramos que corresponde a un valor crítico $z = 1,64$ :

\frac{16,4}{\sigma} = 1,64

Despejamos la desviación típica:

\sigma = \frac{16,4}{1,64} = 10 \text{ km/h}