T6: Distribución binomial y normal

Distribución normal

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media $13 \text{ mm}$ y desviación típica $0,1 \text{ mm}$ . Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre $12,9 \text{ mm}$ y $13,15 \text{ mm}$ . No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El $15$ de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media $12,9 \text{ mm}$ y desviación típica $0,2 \text{ mm}$ .

a) En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el

15

de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

ProbabilidadDistribución normal

Distribución Normal

Definimos la variable aleatoria $X$ como el diámetro de las bolas en milímetros. En condiciones ideales, la variable sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\mu = 13$ y $\sigma = 0,1$ . El rango óptimo para el rodamiento es el intervalo $[12,9, 13,15]$ .

a) En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

Calculamos la probabilidad $P(12,9 \leq X \leq 13,15)$ estandarizando la variable mediante el cambio $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 13}{0,1}$ :

P(12,9 \leq X \leq 13,15) = P\left(\frac{12,9 - 13}{0,1} \leq Z \leq \frac{13,15 - 13}{0,1}\right)

P(-1 \leq Z \leq 1,5) = P(Z \leq 1,5) - P(Z \leq -1)

Aplicamos la propiedad de simetría de la distribución normal $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$ :

P(Z \leq 1,5) - (1 - P(Z \leq 1)) = P(Z \leq 1,5) + P(Z \leq 1) - 1

Buscando los valores en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ , obtenemos $P(Z \leq 1,5) = 0,9332$ y $P(Z \leq 1) = 0,8413$ :

0,9332 + 0,8413 - 1 = 0,7745

La probabilidad de obtener una pieza óptima en condiciones ideales es de $0,7745$ (o $77,45\%$ ).

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el

15

de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

El $15$ de julio, debido al fallo de refrigeración, la variable sigue una distribución $Y \sim N(12,9, 0,2)$ . Procedemos a calcular la probabilidad en el mismo rango óptimo estandarizando con $Z = \frac{Y - 12,9}{0,2}$ :

P(12,9 \leq Y \leq 13,15) = P\left(\frac{12,9 - 12,9}{0,2} \leq Z \leq \frac{13,15 - 12,9}{0,2}\right)

P(0 \leq Z \leq 1,25) = P(Z \leq 1,25) - P(Z \leq 0)

Buscando en la tabla de la normal estándar los valores $P(Z \leq 1,25) = 0,8944$ y sabiendo que $P(Z \leq 0) = 0,5$ :

0,8944 - 0,5 = 0,3944

La probabilidad de obtener una pieza óptima bajo estas condiciones es de $0,3944$ (o $39,44\%$ ).