T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Operaciones con matrices

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Considera la matriz:

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

a) Calcula

A^4

A^{31}

.b) Halla razonadamente el determinante de la matriz

4A^{25}(A^t)^4

Potencia de matrizDeterminanteMatriz traspuesta

a) Calcula

A^4

A^{31}

Comenzamos calculando las primeras potencias de la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ para observar si existe alguna regularidad:

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Utilizando el resultado anterior, calculamos $A^4$ :

A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Dado que $A^4 = I$ , las potencias de la matriz $A$ son cíclicas con un periodo de 4. Para calcular $A^{31}$ , dividimos el exponente 31 entre 4:

31 = 4 \cdot 7 + 3

De este modo, podemos expresar $A^{31}$ como:

A^{31} = (A^4)^7 \cdot A^3 = I^7 \cdot A^3 = A^3

Calculamos $A^3$ multiplicando $A^2$ por $A$ :

A^{31} = A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

b) Halla razonadamente el determinante de la matriz

4A^{25}(A^t)^4

Para hallar el determinante solicitado, aplicaremos las propiedades de los determinantes, considerando que $A$ es una matriz de orden $n=2$ :1. $|k \cdot M| = k^n |M|$ , donde $n$ es la dimensión de la matriz. 2. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ . 3. $|M^p| = (|M|)^p$ . 4. $|M^t| = |M|$ .Primero calculamos el determinante de $A$ :

|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1

Ahora aplicamos las propiedades a la expresión completa:

|4A^{25}(A^t)^4| = 4^2 \cdot |A^{25}| \cdot |(A^t)^4|

Sustituimos cada término basándonos en $|A| = 1$ :

16 \cdot |A|^{25} \cdot (|A|^t)^4 = 16 \cdot (1)^{25} \cdot (1)^4 = 16 \cdot 1 \cdot 1 = 16