Sistemas de ecuaciones lineales

Sean $x$, $y$, $z$ los tres números naturales buscados. A partir de los datos del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:

Para analizar las posibles soluciones, resolvemos el sistema en función de una de las variables, por ejemplo $x$. De la primera ecuación despejamos $z$:

Sustituimos el valor de $z$ en la segunda ecuación:

De esta última expresión obtenemos $y$ en función de $x$ y, posteriormente, calculamos $z$:

Para comprobar si 15 puede ser uno de los números, analizamos cada incógnita:1. Si $x = 15$: entonces $y = 17 - 2(15) = -13$. No es válido, ya que los números deben ser naturales.2. Si $y = 15$: entonces $15 = 17 - 2x \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Calculamos el tercer número: $z = 5 + 1 = 6$. Esta opción es válida porque los tres números $(1, 15, 6)$ son naturales.3. Si $z = 15$: entonces $15 = 5 + x \implies x = 10$. Calculamos $y$: $y = 17 - 2(10) = -3$. No es válido.Por lo tanto, sí es posible que uno de los números sea 15. En este caso, los otros dos números son 1 y 6.

Sí, existen otras opciones. Para que $x$, $y$ y $z$ sean números naturales (considerando naturales como enteros no negativos), se deben cumplir simultáneamente:

Esto implica que $x$ puede tomar cualquier valor entero comprendido en el intervalo $[0, 8]$. Por tanto, existen 9 soluciones posibles en total. Por ejemplo:Si $x = 0$, los números son $(0, 17, 5)$.Si $x = 4$, los números son $(4, 9, 9)$.Si $x = 8$, los números son $(8, 1, 13)$.

En primer lugar, definimos las variables que representan el precio original de cada prenda:

Apartado a) Planteamos el sistema de ecuaciones con la información proporcionada: el gasto total es de 80€ y el jersey cuesta la tercera parte que la camisa y el pantalón juntos.

Para determinar si los precios son únicos, manipulamos la segunda ecuación para expresar la suma de la camisa y el pantalón en función del jersey, y sustituimos en la primera:

Como se observa, el precio del jersey queda determinado de forma única. Sin embargo, para la camisa y el pantalón obtenemos la relación:

Esta es una ecuación con dos incógnitas que admite infinitas soluciones. Por lo tanto, el precio del jersey es único (20€), pero el de la camisa no se puede determinar sin más información.Apartado b) Añadimos la información de las rebajas. Si se aplican descuentos del 30%, 40% y 20%, los precios pagados son el 70%, 60% y 80% del original, respectivamente. La nueva ecuación es:

Sustituimos el valor conocido del jersey (x = 20) en el sistema formado por la ecuación de las rebajas y la relación obtenida anteriormente:

Simplificamos la segunda ecuación:

Resolvemos el sistema por sustitución, despejando y de la primera ecuación (y = 60 - z) y sustituyendo en la segunda:

Finalmente, calculamos el precio de la camisa:

Los precios de las prendas antes de las rebajas son: Jersey: 20€, Camisa: 25€ y Pantalón: 35€.

El sistema dado puede expresarse como una ecuación matricial de la forma $(A - mI)X = 0$, donde $I$ es la matriz identidad. Agrupando los términos en el primer miembro, obtenemos:

Al tratarse de un sistema homogéneo, siempre es compatible (admite al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que sea compatible indeterminado, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo:

Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus:

Igualamos el resultado a cero para hallar los valores de $m$:

Las soluciones son $m = 0$ y $m = 2$. Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado para estos valores.

Sustituyendo $m = 2$ en la matriz del sistema:

Observamos que la primera y la tercera fila son iguales, por lo que podemos eliminar una de ellas. El sistema queda reducido a:

Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre $2$ para obtener $x - y - z = 0$, de donde despejamos $y$:

Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:

Si $x = z$, entonces $y = z - z = 0$. Parametrizando con $z = \lambda$:

Escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$ donde la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son:

Un sistema es compatible indeterminado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, y este valor es menor que el número de incógnitas. Calculamos primero el determinante de la matriz $A$:

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $a$:

Esto nos da dos valores: $a = 1$ y $a = 2$.Estudiamos el caso $a = 1$. Sustituyendo en la matriz ampliada:

Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas, por lo que el $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$. Al ser menor que el número de incógnitas (3), el sistema es compatible indeterminado para $a = 1$.Estudiamos el caso $a = 2$. Sustituyendo en la matriz ampliada:

En este caso $\text{rg}(A) = 2$. Si calculamos un menor de orden 3 de la matriz ampliada usando la columna de términos constantes:

Por tanto, para $a = 2$, el $\text{rg}(A^*) = 3$, lo que significa que el sistema es incompatible. La solución es $a = 1$.

Para $a = 0$, el determinante $|A| = -0^2 + 3(0) - 2 = -2 \neq 0$, por lo que el sistema es compatible determinado. El sistema resultante es:

De la tercera ecuación obtenemos $y = -x$. Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones:

Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones obtenemos:

Finalmente, calculamos el valor de las otras incógnitas sustituyendo $x = -1$:

La solución del sistema para $a = 0$ es $(x, y, z) = (-1, 1, 0)$.

Definimos las variables correspondientes a los precios de cada tipo de perfume:$x$: Precio del perfume de tipo A en euros. $y$: Precio del perfume de tipo B en euros. $z$: Precio del perfume de tipo C en euros.A partir de la información de los pedidos, planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos simplificar ambas ecuaciones dividiéndolas por 5:

Se nos pide calcular el valor de la expresión $P = 25x + 10y + 16z$. Observamos si dicha expresión puede obtenerse como una combinación lineal de las ecuaciones simplificadas (E1) y (E2):

Igualando los coeficientes de $y$ y $x$ obtenemos un sistema para $\alpha$ y $\beta$:

Despejando $\beta = 5 - 3\alpha$ y sustituyendo en la segunda ecuación: $4\alpha + 3(5 - 3\alpha) = 25 \Rightarrow 4\alpha + 15 - 9\alpha = 25 \Rightarrow -5\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = -2$. Luego, $\beta = 5 - 3(-2) = 11$.Comprobamos si se cumple para el coeficiente de $z$: $3(-2) + 2(11) = -6 + 22 = 16$. El coeficiente coincide, por lo que el importe total es:

Añadimos la nueva condición al sistema: $z = \frac{2}{5}x$, lo que equivale a $x = \frac{5}{2}z = 2,5z$. Sustituimos esta relación en las ecuaciones (E1) y (E2):

Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para eliminar la $y$ por reducción:

Restando ambas ecuaciones: $15,5z = 310 \Rightarrow z = \frac{310}{15,5} = 20$ euros.Calculamos ahora el resto de precios:$x = 2,5 \cdot 20 = 50$ euros.$2y + 9,5(20) = 250 \Rightarrow 2y + 190 = 250 \Rightarrow 2y = 60 \Rightarrow y = 30$ euros.Por tanto, los precios son: el perfume A cuesta 50 €, el B cuesta 30 € y el C cuesta 20 €.

Sea $x$ la cifra de las centenas, $y$ la de las decenas y $z$ la de las unidades del número natural buscado. El número se puede expresar como $100x + 10y + z$. Si intercambiamos las centenas por las unidades, el nuevo número es $100z + 10y + x$.A partir de las condiciones del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones:

Simplificamos la segunda ecuación operando con los términos semejantes:

Simplificamos la tercera ecuación del mismo modo:

El sistema resultante es:

De la segunda ecuación despejamos $x$: $x = z + 2$. Sustituimos este valor en la primera ecuación para expresar $y$ en función de $z$:

Sustituimos las expresiones obtenidas para $x$ e $y$ en la tercera ecuación:

Desarrollamos y resolvemos para $z$:

Calculamos los valores de $x$ e $y$ sustituyendo el valor de $z$:

Las cifras obtenidas son $x=5$, $y=1$ y $z=3$. Por lo tanto, el número buscado es 513.

Definimos las matrices asociadas al sistema, la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz $A$:

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$:

Analizamos los casos según el valor de $k$:Si $k \neq 1$ y $k \neq 2$: El determinante $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada no puede superar 3, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. El sistema es Compatible Determinado (SCD), con solución única.Si $k = 1$: Las matrices son:

Observamos que las dos primeras filas de $A^*$ son idénticas. El $\text{rango}(A) = 2$ (ya que el menor $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = -1 \neq 0$$) y el $\text{rango}(A^*) = 2$. Al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es Compatible Indeterminado (SCI), con infinitas soluciones.Si $k = 2$: Las matrices son:

Aquí, las filas 2 y 3 de $A$ son iguales, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Sin embargo, en $A^*$, si tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4:

Como $\text{rango}(A^*) = 3$ y $\text{rango}(A) = 2$, el sistema es Incompatible (SI), no tiene solución.

Para $k = 1$, el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes:

Tomamos $z = \lambda$ como parámetro libre ($\lambda \in \mathbb{R}$). Las soluciones generales son:

Para comprobar si existe una solución con $y = 0$, igualamos la expresión de $y$ a cero:

Si $\lambda = 1$, calculamos los valores de $x$ y $z$:

Por lo tanto, sí existe una solución con $y = 0$, y es $(-1, 0, 1)$.

Primero, obtenemos la expresión de la matriz $M$ realizando la operación $A + (\lambda - 1)B$:

Como $M$ es una matriz cuadrada de orden 3, su rango será menor que 3 si y solo si su determinante es igual a cero. Calculamos $|M|$:

Aplicando la regla de Sarrus:

Para hallar los valores que anulan el determinante, resolvemos la ecuación $-\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4 = 0$. Probando con los divisores del término independiente, encontramos que $\lambda = -1$ es raíz. Factorizando por Ruffini obtenemos:

Por lo tanto, la matriz $M$ tiene rango menor que 3 para los valores $\lambda = -1$ y $\lambda = 2$.

Para $\lambda = -1$, la matriz de coeficientes $M$ es:

El sistema homogéneo $MX = 0$ es un Sistema Compatible Indeterminado (ya que $|M|=0$). Buscamos el rango de $M$ mediante un menor de orden 2:

El sistema es equivalente al formado por las dos primeras ecuaciones, tomando $z = \alpha$ como parámetro:

Restando las ecuaciones: $3y = 3\alpha \implies y = \alpha$. Sustituyendo en la primera: $x + \alpha = 2\alpha \implies x = \alpha$. La solución general es:

Sean $x, y, z$ los importes en euros gastados antes de impuestos en las distintas bebidas:$x$: Importe en refrescos.$y$: Importe en cerveza.$z$: Importe en vino.

A partir de los datos del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones:1) El importe total sin impuestos es de $500$ euros: $x + y + z = 500$ 2) El gasto en vino es $60$ euros menos que el de refrescos y cerveza juntos: $z = (x + y) - 60 \Rightarrow x + y - z = 60$ 3) El importe total con impuestos ($6\%$, $12\%$ y $30\%$) es de $592,4$ euros: $1,06x + 1,12y + 1,30z = 592,4$

Restamos la segunda ecuación a la primera para despejar $z$:

Sustituimos $z = 220$ en la primera ecuación para obtener una relación entre $x$ e $y$:

Sustituimos $z = 220$ e $y = 280 - x$ en la tercera ecuación:

Calculamos ahora el valor de $y$:

El problema pide el importe invertido en cada bebida incluyendo los impuestos correspondientes:

Definimos las variables para las cantidades en litros de cada líquido que compondrán la mezcla final:$x$: litros del líquido $L_1$. $y$: litros del líquido $L_2$. $z$: litros del líquido $L_3$.A partir de los datos del enunciado, planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas basándonos en el volumen total, la cantidad de sodio y la cantidad de magnesio:

Simplificamos la segunda y tercera ecuación para facilitar el cálculo:

Resolvemos el sistema por el método de sustitución. De la (Ec. 1) despejamos $x$:

Sustituimos $x$ en la (Ec. 2):

De aquí obtenemos $y$ en función de $z$:

Sustituimos las expresiones de $x$ e $y$ en la (Ec. 3):

Despejamos $z$:

Calculamos ahora los valores de $y$ y $x$:

Dado que las tres cantidades son positivas ($x = \frac{2}{9}$, $y = \frac{2}{3}$, $z = \frac{1}{9}$), es posible obtener la mezcla solicitada.

Para obtener un litro del líquido con las concentraciones deseadas, se deben mezclar $\frac{2}{9}$ litros del líquido $L_1$, $\frac{2}{3}$ litros del líquido $L_2$ y $\frac{1}{9}$ litros del líquido $L_3$.