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T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
6
Examen
EJERCICIO 6

Considera el sistema:

{x−my−2z=mx+y+z=2mx+2y+mz=3m\begin{cases} x - my - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + mz = 3m \end{cases}
a) Discute el sistema según los valores de mm.b) Para m=1m = 1 resuelve el sistema, si es posible.
Sistemas con parámetrosRegla de Cramer
a) Discute el sistema según los valores de mm.

La matriz de coeficientes AA y la matriz ampliada (A∣B)(A|B) del sistema son:

A=(1−m−211112m),(A∣B)=(1−m−2∣m111∣2m12m∣3m)A = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 & | & m \\ 1 & 1 & 1 & | & 2m \\ 1 & 2 & m & | & 3m \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes AA:

det⁡(A)=1(m⋅1−2⋅1)−(−m)(1⋅m−1⋅1)+(−2)(1⋅2−1⋅1)\det(A) = 1(m \cdot 1 - 2 \cdot 1) - (-m)(1 \cdot m - 1 \cdot 1) + (-2)(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1)
det⁡(A)=(m−2)+m(m−1)−2(2−1)\det(A) = (m - 2) + m(m - 1) - 2(2 - 1)
det⁡(A)=m−2+m2−m−2(1)\det(A) = m - 2 + m^2 - m - 2(1)
det⁡(A)=m2−4\det(A) = m^2 - 4

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de mm:

m2−4=0  ⟹  (m−2)(m+2)=0m^2 - 4 = 0 \implies (m - 2)(m + 2) = 0
m=2om=−2m = 2 \quad \text{o} \quad m = -2

Discutimos el sistema en función de estos valores.

Caso 1: $m \neq 2$ y $m \neq -2$

En este caso, det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, lo que implica que el rango de la matriz AA es rank(A)=3\text{rank}(A) = 3. Como el rango de la matriz ampliada (A∣B)(A|B) no puede ser mayor que 3 (tiene 3 filas), se tiene que rank(A∣B)=3\text{rank}(A|B) = 3. El número de incógnitas es 3. Por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución.

Caso 2: $m = 2$

Sustituimos m=2m = 2 en las matrices AA y (A∣B)(A|B):

A=(1−2−2111122),(A∣B)=(1−2−2∣2111∣4122∣6)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & 2 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 2 & 2 & | & 6 \end{pmatrix}

Para la matriz AA:

det⁡(A)=0\det(A) = 0

Consideramos el menor de orden 2:

∣1−211∣=1−(−2)=3≠0\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0

Por lo tanto, rank(A)=2\text{rank}(A) = 2.Para la matriz (A∣B)(A|B):Consideramos el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4 (que incluye el término independiente):

∣1−22114126∣=1(6−8)−(−2)(6−4)+2(2−1)\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 1(6 - 8) - (-2)(6 - 4) + 2(2 - 1)
=1(−2)+2(2)+2(1)=−2+4+2=4≠0= 1(-2) + 2(2) + 2(1) = -2 + 4 + 2 = 4 \neq 0

Esto implica que rank(A∣B)=3\text{rank}(A|B) = 3.Dado que rank(A)=2≠rank(A∣B)=3\text{rank}(A) = 2 \neq \text{rank}(A|B) = 3, el sistema es Incompatible (no tiene solución).

Caso 3: $m = -2$

Sustituimos m=−2m = -2 en las matrices AA y (A∣B)(A|B):

A=(12−211112−2),(A∣B)=(12−2∣−2111∣−412−2∣−6)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & -2 \\ 1 & 1 & 1 & | & -4 \\ 1 & 2 & -2 & | & -6 \end{pmatrix}

Para la matriz AA:

det⁡(A)=0\det(A) = 0

Las filas 1 y 3 son idénticas, lo que implica que rank(A)<3\text{rank}(A) < 3. Consideramos el menor de orden 2:

∣1211∣=1−2=−1≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0

Por lo tanto, rank(A)=2\text{rank}(A) = 2.Para la matriz (A∣B)(A|B):Consideramos el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4 (que incluye el término independiente):

∣12−211−412−6∣=1(−6−(−8))−2(−6−(−4))+(−2)(2−1)\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6 - (-8)) - 2(-6 - (-4)) + (-2)(2 - 1)
=1(2)−2(−2)−2(1)=2+4−2=4≠0= 1(2) - 2(-2) - 2(1) = 2 + 4 - 2 = 4 \neq 0

Esto implica que rank(A∣B)=3\text{rank}(A|B) = 3.Dado que rank(A)=2≠rank(A∣B)=3\text{rank}(A) = 2 \neq \text{rank}(A|B) = 3, el sistema es Incompatible (no tiene solución).

Resumen de la discusión:

• Si m≠2m \neq 2 y m≠−2m \neq -2: El sistema es Compatible Determinado (solución única).• Si m=2m = 2 o m=−2m = -2: El sistema es Incompatible (no tiene solución).

b) Para m=1m = 1 resuelve el sistema, si es posible.

Para m=1m = 1, estamos en el caso en que m≠2m \neq 2 y m≠−2m \neq -2. Por lo tanto, el sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución. Sustituimos m=1m=1 en el sistema original:

{x−y−2z=1x+y+z=2x+2y+z=3\begin{cases} x - y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}

Resolvemos el sistema utilizando el método de Gauss. La matriz ampliada es:

(1−1−2∣1111∣2121∣3)\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}

Realizamos las siguientes operaciones por filas: F2→F2−F1F_2 \rightarrow F_2 - F_1 y F3→F3−F1F_3 \rightarrow F_3 - F_1.

(1−1−2∣1023∣1033∣2)\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 3 & 3 & | & 2 \end{pmatrix}

Realizamos la operación por filas: F3→2F3−3F2F_3 \rightarrow 2F_3 - 3F_2.

(1−1−2∣1023∣1002(3)−3(3)∣2(2)−3(1))\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 2(3)-3(3) & | & 2(2)-3(1) \end{pmatrix}
(1−1−2∣1023∣100−3∣1)\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}

Convertimos el sistema escalonado en ecuaciones:

{x−y−2z=1(1)2y+3z=1(2)−3z=1(3)\begin{cases} x - y - 2z = 1 \quad (1) \\ 2y + 3z = 1 \quad (2) \\ -3z = 1 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (3) obtenemos zz:

−3z=1  ⟹  z=−13-3z = 1 \implies z = -\frac{1}{3}

Sustituimos zz en la ecuación (2) para obtener yy:

2y+3(−13)=12y + 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 1
2y−1=12y - 1 = 1
2y=2  ⟹  y=12y = 2 \implies y = 1

Sustituimos yy y zz en la ecuación (1) para obtener xx:

x−1−2(−13)=1x - 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1
x−1+23=1x - 1 + \frac{2}{3} = 1
x=1+1−23x = 1 + 1 - \frac{2}{3}
x=2−23=63−23=43x = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

La solución del sistema para m=1m=1 es:

x=43,y=1,z=−13x = \frac{4}{3}, \quad y = 1, \quad z = -\frac{1}{3}