T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas mediante sistemas

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

BLOQUE B

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El $60 \%$ de los coches blancos más el $50 \%$ de los coches negros representan el $30 \%$ de los coches vendidos. El $20 \%$ de los coches blancos junto con el $60 \%$ de los coches negros y el $60 \%$ de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Sistemas de ecuacionesProblema de planteamientoÁlgebra

Definición de las incógnitas

Designamos las variables para representar el número de coches vendidos de cada color: $x$ : número de coches blancos. $y$ : número de coches negros. $z$ : número de coches rojos.El número total de coches vendidos es la suma de los tres colores: $T = x + y + z$ .

Planteamiento del sistema de ecuaciones

A partir de la información del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones:1) El $60 \%$ de los blancos más el $50 \%$ de los negros representan el $30 \%$ del total: $0,6x + 0,5y = 0,3(x + y + z)$ .2) El $20 \%$ de los blancos, el $60 \%$ de los negros y el $60 \%$ de los rojos representan la mitad del total: $0,2x + 0,6y + 0,6z = 0,5(x + y + z)$ .3) Se han vendido 100 coches negros más que blancos: $y = x + 100$ .

Simplificación del sistema

Agrupamos los términos y multiplicamos por 10 para eliminar los coeficientes decimales:

\begin{cases} 0,6x + 0,5y = 0,3x + 0,3y + 0,3z \implies 0,3x + 0,2y - 0,3z = 0 \\ 0,2x + 0,6y + 0,6z = 0,5x + 0,5y + 0,5z \implies -0,3x + 0,1y + 0,1z = 0 \\ -x + y = 100 \end{cases}

Obtenemos el sistema equivalente simplificado:

\begin{cases} 3x + 2y - 3z = 0 \\ -3x + y + z = 0 \\ -x + y = 100 \end{cases}

Resolución

Sumamos la primera y la segunda ecuación para eliminar la incógnita $x$ :

(3x + 2y - 3z) + (-3x + y + z) = 0 \implies 3y - 2z = 0 \implies z = 1,5y

De la tercera ecuación sabemos que $x = y - 100$ . Sustituimos las expresiones de $x$ y $z$ en la segunda ecuación del sistema:

-3(y - 100) + y + 1,5y = 0

-3y + 300 + 2,5y = 0 \implies -0,5y = -300 \implies y = 600

Con el valor de $y$ , calculamos $x$ y $z$ :

x = 600 - 100 = 500

z = 1,5 \cdot 600 = 900

Resultado final

El número de vehículos vendidos de cada color es:Coches blancos: 500 Coches negros: 600 Coches rojos: 900