Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$:

Calculamos el determinante de la matriz $A$:

Igualamos $\det(A)$ a cero para encontrar los valores críticos de $m$:

Resolvemos la ecuación cuadrática:

Los valores de $m$ que anulan el determinante son:

Discutimos el sistema en función de estos valores:

En este caso, $\det(A) \neq 0$, por lo tanto, el rango de $A$ es $3$ ($\text{rg}(A) = 3$). Como el número de incógnitas es $3$, y $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).

En este caso, $\det(A) = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Consideramos el menor de orden $2$:

Para $m = \frac{1}{3}$, $M = 2(\frac{1}{3}) - 3 = \frac{2}{3} - 3 = -\frac{7}{3} \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$.Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Consideramos el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4 de $A^*$:

Como este determinante es distinto de cero, $\text{rg}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es incompatible (no tiene solución).

En este caso, $\det(A) = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Usando el mismo menor de orden $2$:

Para $m = -2$, $M = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7 \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$.Ahora analizamos el rango de la matriz ampliada $A^*$. Consideramos el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4 de $A^*$:

Como este determinante es cero, y $\det(A)$ también es cero, debemos verificar otros menores de orden 3 de $A^*$. Consideremos el menor formado por las columnas 1, 3 y 4:

Como todos los menores de orden $3$ de $A^*$ son cero y ya tenemos un menor de orden $2$ no nulo en $A$ (y por tanto en $A^*$), concluimos que $\text{rg}(A^*) = 2$. Dado que $\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) < 3$ (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

Para $m = -2$, el sistema es compatible indeterminado. Sustituimos $m = -2$ en el sistema original:

Como el rango es $2$, podemos resolverlo tomando dos ecuaciones y una incógnita como parámetro. Tomamos las dos primeras ecuaciones y hacemos $z = \lambda$ (usando $\lambda$ como nuestro parámetro de la solución). Esto no es el $\lambda$ del enunciado aún.

Multiplicamos la segunda ecuación por $2$:

Restamos la segunda ecuación de la primera:

Sustituimos $y = \frac{5}{7}$ en la ecuación $x - 2y = -1 + \lambda$:

Nuestra solución general es:

El problema nos da la solución en la forma $x = \lambda', y = y_0, z = \lambda' - \frac{3}{7}$. Para evitar confusión, llamaremos a nuestro parámetro $\lambda_m$ y al del problema $\lambda_p$. Entonces nuestra solución es:

Y la forma dada es:

Para que las dos soluciones sean equivalentes, debemos igualar las expresiones para $z$:

Ahora sustituimos $\lambda_m$ en nuestra expresión para $x$:

Y comparamos las expresiones para $y$:

Por lo tanto, el valor de $y_0$ es $\frac{5}{7}$.