T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Discusión de sistemas

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} x + my + mz = 1 \\ x + 2my + (m+1)z = 1 \\ 2x + my + mz = 2 \end{cases}

a) Discute el sistema según los valores de

m

.b) Resuelve el sistema, si es posible, para

m = 1

Sistemas con parámetrosTeorema de Rouché-FrobeniusMétodo de Cramer

a) Discute el sistema según los valores de

m

Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $(A|B)$ del sistema de ecuaciones:

A = \begin{pmatrix} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 2 & m & m \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & m & m & | & 1 \\ 1 & 2m & m+1 & | & 1 \\ 2 & m & m & | & 2 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ :

|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 2 & m & m \end{vmatrix} = 1 \cdot (2m^2 - m(m+1)) - m \cdot (m - 2(m+1)) + m \cdot (m - 4m)

|A| = (2m^2 - m^2 - m) - m(m - 2m - 2) + m(-3m)

|A| = (m^2 - m) - m(-m - 2) - 3m^2

|A| = m^2 - m + m^2 + 2m - 3m^2

|A| = -m^2 + m = -m(m-1)

Los valores de $m$ para los cuales $|A|=0$ son $m=0$ y $m=1$ .Ahora, discutimos el sistema para diferentes casos:

Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 1$

En este caso, $|A| \neq 0$ . Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes $A$ es $\text{rank}(A) = 3$ . Como el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ también es $\text{rank}(A|B) = 3$ y coincide con el número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado (SCD), lo que significa que tiene una única solución.

Caso 2: $m = 0$

Sustituimos $m=0$ en las matrices $A$ y $(A|B)$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 2 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}

Para calcular el rango de $A$ , observamos que $|A|=0$ . Consideramos un menor de orden 2:

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0

Este menor está formado por las filas 1 y 2, y las columnas 1 y 3. Por lo tanto, $\text{rank}(A) = 2$ .Ahora, calculamos el rango de $(A|B)$ . La matriz ampliada es:

(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 2 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}

La segunda columna es nula. Notamos que la primera columna y la cuarta columna son idénticas. Para determinar el rango, podemos considerar los menores de orden 3. El menor formado por las columnas 1, 3 y 4 es:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 0(2-2) + 1(0-2) = 2 - 2 = 0

Cualquier otro menor de orden 3 que incluya la segunda columna será cero. Dado que hay un menor de orden 2 no nulo dentro de $A$ (y por lo tanto en $(A|B)$ ), $\text{rank}(A|B) = 2$ .Como $\text{rank}(A) = 2$ y $\text{rank}(A|B) = 2$ , pero es menor que el número de incógnitas (3), el sistema es Compatible Indeterminado (SCI), lo que significa que tiene infinitas soluciones.

Caso 3: $m = 1$

Sustituimos $m=1$ en las matrices $A$ y $(A|B)$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad (A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}

Para el rango de $A$ , sabemos que $|A|=0$ . Consideramos un menor de orden 2:

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0

Este menor está formado por las filas 1 y 2, y las columnas 1 y 2. Por lo tanto, $\text{rank}(A) = 2$ .Para el rango de $(A|B)$ , podemos aplicar la eliminación de Gauss:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{ F_2 \to F_2 - F_1 \\ F_3 \to F_3 - 2F_1 } \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & 0 \end{pmatrix}

\xrightarrow{F_3 \to F_3 + F_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}

De la matriz escalonada, el número de filas no nulas de la matriz de coeficientes es 2, entonces $\text{rank}(A) = 2$ . El número de filas no nulas de la matriz ampliada es 2, entonces $\text{rank}(A|B) = 2$ .Como $\text{rank}(A) = 2$ y $\text{rank}(A|B) = 2$ , pero es menor que el número de incógnitas (3), el sistema es Compatible Indeterminado (SCI), lo que significa que tiene infinitas soluciones.

b) Resuelve el sistema, si es posible, para

m = 1

Para $m=1$ , el sistema es Compatible Indeterminado, por lo que tiene infinitas soluciones. Utilizamos la matriz escalonada obtenida en la discusión del caso $m=1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}

Esto se traduce en el sistema de ecuaciones reducido:

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}

De la segunda ecuación, $y + z = 0$ , podemos expresar $y$ en términos de $z$ :

y = -z

Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:

x + (-z) + z = 1

x = 1

Asignamos un parámetro libre a $z$ . Sea $z = \lambda$ , donde $\lambda \in \mathbb{R}$ .Entonces, las soluciones son:

\begin{cases} x = 1 \\ y = -\lambda \\ z = \lambda \end{cases}

La solución del sistema para $m=1$ es $(x, y, z) = (1, -\lambda, \lambda)$ para cualquier número real $\lambda$ .