T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas con parámetros

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Considera el sistema:

\begin{cases} x - my - 2z = m \\ x + y + z = 2m \\ x + 2y + mz = 3m \end{cases}

a) Discute el sistema según los valores de

m

.b) Para

m = 1

resuelve el sistema, si es posible.

Discusión de sistemasTeorema de Rouché-Frobenius

a) Discute el sistema según los valores de

m

La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema son:

A = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -m & -2 & | & m \\ 1 & 1 & 1 & | & 2m \\ 1 & 2 & m & | & 3m \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ :

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -m & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = 1(m-2) - (-m)(m-1) + (-2)(2-1)

\det(A) = m-2 + m(m-1) - 2(1) = m-2 + m^2-m - 2 = m^2 - 4

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$ :

m^2 - 4 = 0 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm 2

Analizamos los diferentes casos:

Caso 1: $m \neq 2$ y $m \neq -2$

En este caso, $\det(A) \neq 0$ . Por lo tanto, el rango de $A$ es $3$ ( $\text{rg}(A) = 3$ ). Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ también es $3$ (ya que contiene a $A$ ) y el número de incógnitas es $3$ , el sistema es Compatible Determinado (SCD).

Caso 2: $m = 2$

Las matrices se convierten en:

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & 2 \\ 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 2 & 2 & | & 6 \end{pmatrix}

Para la matriz $A$ , como $\det(A) = 0$ , $\text{rg}(A) < 3$ . Consideramos el menor de orden $2 \times 2$ formado por las dos primeras filas y columnas:

\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0

Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$ . Ahora, para la matriz $A^*$ , consideramos el menor de orden $3 \times 3$ formado por las columnas $1, 2$ y $4$ :

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-8) - (-2)(6-4) + 2(2-1)

= 1(-2) + 2(2) + 2(1) = -2 + 4 + 2 = 4 \neq 0

Dado que existe un menor de orden $3$ distinto de cero en $A^*$ , $\text{rg}(A^*) = 3$ . Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$ , el sistema es Incompatible (SI).

Caso 3: $m = -2$

Las matrices se convierten en:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & -2 \\ 1 & 1 & 1 & | & -4 \\ 1 & 2 & -2 & | & -6 \end{pmatrix}

Para la matriz $A$ , como $\det(A) = 0$ , $\text{rg}(A) < 3$ . Consideramos el menor de orden $2 \times 2$ formado por las dos primeras filas y columnas:

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0

Por lo tanto, $\text{rg}(A) = 2$ . Ahora, para la matriz $A^*$ , consideramos el menor de orden $3 \times 3$ formado por las columnas $1, 2$ y $4$ :

\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6 - (-8)) - 2(-6 - (-4)) + (-2)(2-1)

= 1(2) - 2(-2) - 2(1) = 2 + 4 - 2 = 4 \neq 0

Dado que existe un menor de orden $3$ distinto de cero en $A^*$ , $\text{rg}(A^*) = 3$ . Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$ , el sistema es Incompatible (SI).

Conclusión de la discusión:

Si $m \neq 2$ y $m \neq -2$ , el sistema es Compatible Determinado (SCD). Si $m = 2$ o $m = -2$ , el sistema es Incompatible (SI).

b) Para

m = 1

resuelve el sistema, si es posible.

Para $m=1$ , según el apartado anterior, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $m=1$ en el sistema original:

\begin{cases} x - y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + 2y + z = 3 \end{cases}

Resolvemos el sistema por el método de Gauss. La matriz ampliada es:

\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}

Aplicamos las operaciones elementales de fila $F_2 \rightarrow F_2 - F_1$ y $F_3 \rightarrow F_3 - F_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 3 & 3 & | & 2 \end{pmatrix}

Aplicamos la operación elemental de fila $F_3 \rightarrow 2F_3 - 3F_2$ :

\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & -3 & | & 1 \end{pmatrix}

De la tercera fila obtenemos:

-3z = 1 \implies z = -\frac{1}{3}

Sustituimos $z$ en la segunda ecuación:

2y + 3z = 1 \implies 2y + 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 \implies 2y - 1 = 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1

Sustituimos $y$ y $z$ en la primera ecuación:

x - y - 2z = 1 \implies x - 1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 \implies x - 1 + \frac{2}{3} = 1 \implies x - \frac{1}{3} = 1 \implies x = 1 + \frac{1}{3} \implies x = \frac{4}{3}

La solución del sistema para $m=1$ es:

x = \frac{4}{3}, \quad y = 1, \quad z = -\frac{1}{3}