AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Sistemas de ecuaciones lineales
Discusión de sistemas
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
6B
Examen

Dadas las matrices A=(110101011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(001010100)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, se define la matriz M=A+(λ−1)BM = A + (\lambda - 1)B.

a) Halla los valores de λ\lambda para los que la matriz MM tiene rango menor que 3.b) Para λ=−1\lambda = -1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es MM.
RangoSistema homogéneoParámetros
Resolución de ejercicio de matrices y sistemas
a) Halla los valores de λ\lambda para los que la matriz MM tiene rango menor que 3.

Primero, obtenemos la expresión de la matriz MM realizando la operación A+(λ−1)BA + (\lambda - 1)B:

M=(110101011)+(λ−1)(001010100)=(11λ−11λ−11λ−111)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + (\lambda - 1) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \lambda - 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Como MM es una matriz cuadrada de orden 3, su rango será menor que 3 si y solo si su determinante es igual a cero. Calculamos ∣M∣|M|:

∣M∣=∣11λ−11λ−11λ−111∣|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda - 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

Aplicando la regla de Sarrus:

∣M∣=[1⋅(λ−1)⋅1+1⋅1⋅(λ−1)+(λ−1)⋅1⋅1]−[(λ−1)3+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1]|M| = [1 \cdot (\lambda - 1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (\lambda - 1) + (\lambda - 1) \cdot 1 \cdot 1] - [(\lambda - 1)^3 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1]
∣M∣=3(λ−1)−((λ−1)3+2)=3λ−3−(λ3−3λ2+3λ−1+2)|M| = 3(\lambda - 1) - ((\lambda - 1)^3 + 2) = 3\lambda - 3 - (\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 + 2)
∣M∣=3λ−3−λ3+3λ2−3λ−1=−λ3+3λ2−4|M| = 3\lambda - 3 - \lambda^3 + 3\lambda^2 - 3\lambda - 1 = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4

Para hallar los valores que anulan el determinante, resolvemos la ecuación −λ3+3λ2−4=0-\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4 = 0. Probando con los divisores del término independiente, encontramos que λ=−1\lambda = -1 es raíz. Factorizando por Ruffini obtenemos:

−(λ+1)(λ−2)2=0-(\lambda + 1)(\lambda - 2)^2 = 0

Por lo tanto, la matriz MM tiene rango menor que 3 para los valores λ=−1\lambda = -1 y λ=2\lambda = 2.

b) Para λ=−1\lambda = -1, resuelve el sistema lineal homogéneo cuya matriz de coeficientes es MM.

Para λ=−1\lambda = -1, la matriz de coeficientes MM es:

M=(11−21−21−211)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}

El sistema homogéneo MX=0MX = 0 es un Sistema Compatible Indeterminado (ya que ∣M∣=0|M|=0). Buscamos el rango de MM mediante un menor de orden 2:

∣111−2∣=−2−1=−3≠0  ⟹  rango(M)=2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 1 = -3 \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 2

El sistema es equivalente al formado por las dos primeras ecuaciones, tomando z=αz = \alpha como parámetro:

{x+y=2αx−2y=−α\begin{cases} x + y = 2\alpha \\ x - 2y = -\alpha \end{cases}

Restando las ecuaciones: 3y=3α  ⟹  y=α3y = 3\alpha \implies y = \alpha. Sustituyendo en la primera: x+α=2α  ⟹  x=αx + \alpha = 2\alpha \implies x = \alpha. La solución general es:

(x, y, z) = (\alpha, \alpha, \alpha) \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}