T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Planteamiento de sistemas

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es 9, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es 198, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es 828.

Problema de númerosSistema de ecuaciones

Planteamiento del sistema de ecuaciones

Sea $x$ la cifra de las centenas, $y$ la de las decenas y $z$ la de las unidades del número natural buscado. El número se puede expresar como $100x + 10y + z$ . Si intercambiamos las centenas por las unidades, el nuevo número es $100z + 10y + x$ .A partir de las condiciones del enunciado, establecemos las siguientes ecuaciones:

\begin{cases} x + y + z = 9 \\ (100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198 \\ (100x + 10y + z) + (100z + 10y + x) = 828 \end{cases}

Simplificación del sistema

Simplificamos la segunda ecuación operando con los términos semejantes:

99x - 99z = 198 \implies x - z = 2

Simplificamos la tercera ecuación del mismo modo:

101x + 20y + 101z = 828

El sistema resultante es:

\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x - z = 2 \\ 101x + 20y + 101z = 828 \end{cases}

Resolución

De la segunda ecuación despejamos $x$ : $x = z + 2$ . Sustituimos este valor en la primera ecuación para expresar $y$ en función de $z$ :

(z + 2) + y + z = 9 \implies y + 2z = 7 \implies y = 7 - 2z

Sustituimos las expresiones obtenidas para $x$ e $y$ en la tercera ecuación:

101(z + 2) + 20(7 - 2z) + 101z = 828

Desarrollamos y resolvemos para $z$ :

101z + 202 + 140 - 40z + 101z = 828

162z + 342 = 828 \implies 162z = 486 \implies z = 3

Calculamos los valores de $x$ e $y$ sustituyendo el valor de $z$ :

x = 3 + 2 = 5

y = 7 - 2(3) = 1

Resultado final

Las cifras obtenidas son $x=5$ , $y=1$ y $z=3$ . Por lo tanto, el número buscado es 513.