T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Sean las matrices:

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

a) Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

X^3 A X^2 = B^2

.b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^3 Y B^{-1} = A^2

Ecuación matricialDeterminante

Resolución de matrices y determinantes

En primer lugar, calculamos los determinantes de las matrices $A$ y $B$ para utilizarlos en los apartados siguientes:

|A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (3 \cdot 2) = 8 - 6 = 2

|B| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (2 \cdot 1) = 6 - 2 = 4

a) Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

X^3 A X^2 = B^2

Aplicamos la propiedad de los determinantes que establece que el determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de sus determinantes, es decir, $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ . También usamos la propiedad $|M^n| = |M|^n$ :

|X^3 A X^2| = |B^2| \implies |X|^3 \cdot |A| \cdot |X|^2 = |B|^2

Simplificando la expresión agrupando las potencias de $|X|$ y sustituyendo los valores conocidos de $|A|$ y $|B|$ :

|X|^5 \cdot 2 = 4^2 \implies |X|^5 \cdot 2 = 16

Despejamos el valor de $|X|$ :

|X|^5 = \frac{16}{2} = 8 \implies |X| = \sqrt[5]{8}

b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^3 Y B^{-1} = A^2

Dado que $|A| = 2 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible y, por tanto, $A^3$ también lo es. Podemos despejar $Y$ multiplicando por la izquierda por $(A^3)^{-1}$ y por la derecha por $B$ :

Y = (A^3)^{-1} A^2 B

Como $(A^3)^{-1} = (A^{-1})^3 = A^{-3}$ , simplificamos las potencias de $A$ :

Y = A^{-3} A^2 B = A^{-1} B

Calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ mediante la matriz de adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5/2 & 1 \end{pmatrix}

Nota: Se ha corregido el elemento $A_{21}$ de la inversa de la siguiente forma: $\frac{-3}{2} = -1,5$ .Finalmente, calculamos $Y$ realizando el producto matricial $A^{-1} B$ :

Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \cdot 3) + (-1 \cdot 2) & (2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) \\ (-3/2 \cdot 3) + (1 \cdot 2) & (-3/2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -5/2 & 1/2 \end{pmatrix}