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T3: Geometría
Rectas y planos en el espacio
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
1
Examen

Considera las rectas:

r≡x1=y−2−1=z−k2ys≡x+2−1=y+32=z−11r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - k}{2} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 2}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1}
a) Determina kk sabiendo que ambas se cortan en un punto.b) Para k=0k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
GeometríaIntersección de rectasEcuación del plano
Resolución de geometría en el espacio
a) Determina kk sabiendo que ambas se cortan en un punto.

Para que las rectas rr y ss se corten en un punto, sus vectores directores vr⃗\vec{v_r} y vs⃗\vec{v_s} no deben ser paralelos y el determinante formado por vr⃗\vec{v_r}, vs⃗\vec{v_s} y el vector que une un punto de cada recta PrPs⃗\vec{P_r P_s} debe ser igual a cero.Extraemos los puntos y vectores directores de las ecuaciones continuas:

Pr(0,2,k),vr⃗(1,−1,2)P_r(0, 2, k), \quad \vec{v_r}(1, -1, 2)
Ps(−2,−3,1),vs⃗(−1,2,1)P_s(-2, -3, 1), \quad \vec{v_s}(-1, 2, 1)

Calculamos el vector PrPs⃗=Ps−Pr=(−2−0,−3−2,1−k)=(−2,−5,1−k)\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-2 - 0, -3 - 2, 1 - k) = (-2, -5, 1 - k).Como vr⃗\vec{v_r} y vs⃗\vec{v_s} no son proporcionales (1−1≠−12\frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{2}), las rectas se cortarán si el determinante es nulo:

∣1−12−121−2−51−k∣=0\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & -5 & 1-k \end{vmatrix} = 0

Desarrollamos el determinante aplicando la regla de Sarrus o por adjuntos de la primera fila:

1[2(1−k)+5]+1[−(1−k)+2]+2[5+4]=01[2(1-k) + 5] + 1[-(1-k) + 2] + 2[5 + 4] = 0
(2−2k+5)+(−1+k+2)+18=0(2 - 2k + 5) + (-1 + k + 2) + 18 = 0
7−2k+1+k+18=0  ⟹  26−k=0  ⟹  k=267 - 2k + 1 + k + 18 = 0 \implies 26 - k = 0 \implies k = 26
b) Para k=0k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.

Si el plano π\pi contiene a la recta rr y es paralelo a la recta ss, sus vectores directores serán vr⃗\vec{v_r} y vs⃗\vec{v_s}, y pasará por el punto PrP_r. Para k=0k = 0, el punto es Pr(0,2,0)P_r(0, 2, 0).El vector normal al plano n⃗\vec{n} se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores de las rectas:

n⃗=vr⃗×vs⃗=∣i⃗j⃗k⃗1−12−121∣\vec{n} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}
n⃗=(−1−4)i⃗−(1+2)j⃗+(2−1)k⃗=(−5,−3,1)\vec{n} = (-1 - 4) \vec{i} - (1 + 2) \vec{j} + (2 - 1) \vec{k} = (-5, -3, 1)

La ecuación general del plano con vector normal (A,B,C)=(−5,−3,1)(A, B, C) = (-5, -3, 1) que pasa por Pr(0,2,0)P_r(0, 2, 0) es:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
−5(x−0)−3(y−2)+1(z−0)=0-5(x - 0) - 3(y - 2) + 1(z - 0) = 0
−5x−3y+6+z=0  ⟹  5x+3y−z−6=0-5x - 3y + 6 + z = 0 \implies 5x + 3y - z - 6 = 0