Probabilidad

3 ejercicios

Teorema de Bayes y probabilidad total

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?b) Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Probabilidad totalTeorema de Bayes

Definición de sucesos y probabilidades

En primer lugar, definimos los sucesos relativos a la procedencia y al estado de los bolígrafos: $A$ : El bolígrafo se fabrica en Almería. $P(A) = 0,20$ . $B$ : El bolígrafo se fabrica en Barcelona. $P(B) = 0,50$ . $C$ : El bolígrafo se fabrica en Cáceres. $P(C) = 0,30$ . $D$ : El bolígrafo es defectuoso.Las probabilidades de que un bolígrafo sea defectuoso según su procedencia son:

P(D|A) = 0,07 \quad P(D|B) = 0,06 \quad P(D|C) = 0,02

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?

Para hallar la probabilidad total de que un bolígrafo sea defectuoso, $P(D)$ , aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)

Sustituyendo los valores del enunciado:

P(D) = 0,20 \cdot 0,07 + 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,02

P(D) = 0,014 + 0,030 + 0,006 = 0,05

Por tanto, la probabilidad de que un bolígrafo sea defectuoso es $0,05$ (un $5 \%$ ).

b) Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Se pide calcular la probabilidad condicionada $P(A|\overline{D})$ , donde $\overline{D}$ es el suceso de que el bolígrafo no sea defectuoso. Primero calculamos la probabilidad del suceso complementario:

P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,05 = 0,95

Aplicamos el Teorema de Bayes para obtener el resultado:

P(A|\overline{D}) = \frac{P(A \cap \overline{D})}{P(\overline{D})} = \frac{P(A) \cdot P(\overline{D}|A)}{P(\overline{D})}

Sabiendo que $P(\overline{D}|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0,07 = 0,93$ , sustituimos:

P(A|\overline{D}) = \frac{0,20 \cdot 0,93}{0,95} = \frac{0,186}{0,95} \approx 0,1958

La probabilidad de que provenga de Almería sabiendo que no es defectuoso es, aproximadamente, $0,1958$ .

T7: Probabilidad

Probabilidad condicionada

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación. Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con porcentajes, respectivamente, de $29\%$ , $51\%$ y $20\%$ . Por otra parte, también sabemos que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza establecidos antes, los porcentajes $18\%$ , $31\%$ y $11\%$ , respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?b) Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?

Teorema de la probabilidad totalTeorema de Bayes

Definición de sucesos y datos del problema

Definimos los sucesos según el tipo de café: $E$ : Café expreso. $M$ : Café medio. $A$ : Café americano.Y según el contenido de cafeína: $C$ : Café con cafeína. $D$ : Café descafeinado.A partir del enunciado, extraemos las probabilidades de los tipos de café:

P(E) = 0,29 \quad P(M) = 0,51 \quad P(A) = 0,20

El enunciado también nos da las probabilidades conjuntas de ser de un tipo y tener cafeína (probabilidades totales sobre el conjunto de todos los cafés):

P(C \cap E) = 0,18 \quad P(C \cap M) = 0,31 \quad P(C \cap A) = 0,11

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?

Se nos pide la probabilidad del suceso intersección $P(E \cap D)$ . Sabemos que un café expreso puede ser con cafeína ( $E \cap C$ ) o descafeinado ( $E \cap D$ ), por lo que:

P(E) = P(E \cap C) + P(E \cap D)

Sustituyendo los valores conocidos:

0,29 = 0,18 + P(E \cap D) \implies P(E \cap D) = 0,29 - 0,18 = 0,11

Por tanto, la probabilidad de que el café sea expreso y descafeinado es $0,11$ .

b) Si sabemos que el café es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?

Se trata de una probabilidad condicionada: $P(E | D)$ . Para calcularla, primero necesitamos la probabilidad total de que un café sea descafeinado, $P(D)$ .Calculamos las intersecciones restantes de forma análoga al apartado anterior:

P(M \cap D) = P(M) - P(C \cap M) = 0,51 - 0,31 = 0,20

P(A \cap D) = P(A) - P(C \cap A) = 0,20 - 0,11 = 0,09

La probabilidad total de café descafeinado es la suma de las probabilidades de ser descafeinado para cada tipo:

P(D) = P(E \cap D) + P(M \cap D) + P(A \cap D) = 0,11 + 0,20 + 0,09 = 0,40

Ahora aplicamos la definición de probabilidad condicionada:

P(E | D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)} = \frac{0,11}{0,40} = 0,275

La probabilidad de que sea un expreso sabiendo que es descafeinado es $0,275$ .

T7: Probabilidad

Probabilidad condicionada

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

ProbabilidadTeorema de BayesTabla de contingencia

Primero, se recopilan los datos de la tabla y se calculan los totales necesarios:Número de coches aptos: $116.383$ Número de coches no aptos: $2.679$ Número de motos aptas: $160.667$ Número de motos no aptas: $3.447$ Calculamos los totales:

\text{Total de coches} = 116.383 + 2.679 = 119.062

\text{Total de motos} = 160.667 + 3.447 = 164.114

\text{Total de vehículos aptos} = 116.383 + 160.667 = 277.050

\text{Total de vehículos no aptos} = 2.679 + 3.447 = 6.126

\text{Total general de vehículos} = 119.062 + 164.114 = 283.176

Definimos los eventos: $M$ : El vehículo elegido es una moto. $A$ : El vehículo ha resultado apto. $C$ : El vehículo elegido es un coche. $NA$ : El vehículo ha resultado no apto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?

Se pide calcular $P(M \cup A)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos eventos:

P(M \cup A) = P(M) + P(A) - P(M \cap A)

Donde:

P(M) = \frac{\text{Total de motos}}{\text{Total general}} = \frac{164.114}{283.176}

P(A) = \frac{\text{Total de vehículos aptos}}{\text{Total general}} = \frac{277.050}{283.176}

P(M \cap A) = \frac{\text{Motos aptas}}{\text{Total general}} = \frac{160.667}{283.176}

Sustituyendo los valores:

P(M \cup A) = \frac{164.114}{283.176} + \frac{277.050}{283.176} - \frac{160.667}{283.176}

P(M \cup A) = \frac{164.114 + 277.050 - 160.667}{283.176} = \frac{280.497}{283.176}

P(M \cup A) \approx 0,9905

b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

Se pide la probabilidad condicionada $P(NA | C)$ , que se calcula como:

P(NA | C) = \frac{P(NA \cap C)}{P(C)}

Donde:

P(NA \cap C) = \frac{\text{Coches no aptos}}{\text{Total general}} = \frac{2.679}{283.176}

P(C) = \frac{\text{Total de coches}}{\text{Total general}} = \frac{119.062}{283.176}

Sustituyendo los valores:

P(NA | C) = \frac{\frac{2.679}{283.176}}{\frac{119.062}{283.176}} = \frac{2.679}{119.062}

P(NA | C) \approx 0,0225