T7: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Probabilidad condicionada

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

En la tabla siguiente se recoge el número de coches y motos que se presentaron a la ITV en el año 2023:

Se elige un vehículo al azar de entre los coches y motos que se presentaron a dicha inspección. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto? b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

ProbabilidadTeorema de BayesTabla de contingencia

Primero, se recopilan los datos de la tabla y se calculan los totales necesarios:Número de coches aptos: $116.383$ Número de coches no aptos: $2.679$ Número de motos aptas: $160.667$ Número de motos no aptas: $3.447$ Calculamos los totales:

\text{Total de coches} = 116.383 + 2.679 = 119.062

\text{Total de motos} = 160.667 + 3.447 = 164.114

\text{Total de vehículos aptos} = 116.383 + 160.667 = 277.050

\text{Total de vehículos no aptos} = 2.679 + 3.447 = 6.126

\text{Total general de vehículos} = 119.062 + 164.114 = 283.176

Definimos los eventos: $M$ : El vehículo elegido es una moto. $A$ : El vehículo ha resultado apto. $C$ : El vehículo elegido es un coche. $NA$ : El vehículo ha resultado no apto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?

Se pide calcular $P(M \cup A)$ . Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos eventos:

P(M \cup A) = P(M) + P(A) - P(M \cap A)

Donde:

P(M) = \frac{\text{Total de motos}}{\text{Total general}} = \frac{164.114}{283.176}

P(A) = \frac{\text{Total de vehículos aptos}}{\text{Total general}} = \frac{277.050}{283.176}

P(M \cap A) = \frac{\text{Motos aptas}}{\text{Total general}} = \frac{160.667}{283.176}

Sustituyendo los valores:

P(M \cup A) = \frac{164.114}{283.176} + \frac{277.050}{283.176} - \frac{160.667}{283.176}

P(M \cup A) = \frac{164.114 + 277.050 - 160.667}{283.176} = \frac{280.497}{283.176}

P(M \cup A) \approx 0,9905

b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?

Se pide la probabilidad condicionada $P(NA | C)$ , que se calcula como:

P(NA | C) = \frac{P(NA \cap C)}{P(C)}

Donde:

P(NA \cap C) = \frac{\text{Coches no aptos}}{\text{Total general}} = \frac{2.679}{283.176}

P(C) = \frac{\text{Total de coches}}{\text{Total general}} = \frac{119.062}{283.176}

Sustituyendo los valores:

P(NA | C) = \frac{\frac{2.679}{283.176}}{\frac{119.062}{283.176}} = \frac{2.679}{119.062}

P(NA | C) \approx 0,0225