T7: Probabilidad · Teorema de Bayes y probabilidad total — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Teorema de Bayes y probabilidad total

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es, respectivamente, del 20 %, 50 % y 30 %. Además, el porcentaje de bolígrafos defectuosos en cada una de ellas es del 7 %, 6 % y 2 %, respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?b) Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Probabilidad totalTeorema de Bayes

Definición de sucesos y probabilidades

En primer lugar, definimos los sucesos relativos a la procedencia y al estado de los bolígrafos: $A$ : El bolígrafo se fabrica en Almería. $P(A) = 0,20$ . $B$ : El bolígrafo se fabrica en Barcelona. $P(B) = 0,50$ . $C$ : El bolígrafo se fabrica en Cáceres. $P(C) = 0,30$ . $D$ : El bolígrafo es defectuoso.Las probabilidades de que un bolígrafo sea defectuoso según su procedencia son:

P(D|A) = 0,07 \quad P(D|B) = 0,06 \quad P(D|C) = 0,02

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?

Para hallar la probabilidad total de que un bolígrafo sea defectuoso, $P(D)$ , aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total:

P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)

Sustituyendo los valores del enunciado:

P(D) = 0,20 \cdot 0,07 + 0,50 \cdot 0,06 + 0,30 \cdot 0,02

P(D) = 0,014 + 0,030 + 0,006 = 0,05

Por tanto, la probabilidad de que un bolígrafo sea defectuoso es $0,05$ (un $5 \%$ ).

b) Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?

Se pide calcular la probabilidad condicionada $P(A|\overline{D})$ , donde $\overline{D}$ es el suceso de que el bolígrafo no sea defectuoso. Primero calculamos la probabilidad del suceso complementario:

P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,05 = 0,95

Aplicamos el Teorema de Bayes para obtener el resultado:

P(A|\overline{D}) = \frac{P(A \cap \overline{D})}{P(\overline{D})} = \frac{P(A) \cdot P(\overline{D}|A)}{P(\overline{D})}

Sabiendo que $P(\overline{D}|A) = 1 - P(D|A) = 1 - 0,07 = 0,93$ , sustituimos:

P(A|\overline{D}) = \frac{0,20 \cdot 0,93}{0,95} = \frac{0,186}{0,95} \approx 0,1958

La probabilidad de que provenga de Almería sabiendo que no es defectuoso es, aproximadamente, $0,1958$ .