Matrices y determinantes — Matemáticas II PEvAU Andalucía

Determinantes

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

4

Se considera la matriz $M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ con determinante igual a $-5$ .

a) Calcula

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}

.b) Calcula

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}

.

Propiedades de los determinantesÁlgebra matricial

a) Calcula

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}

.

Para calcular este determinante, utilizaremos las propiedades de linealidad de los determinantes y la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta $|M| = |M^T|$ . Observamos que los elementos de las filas corresponden a elementos de las columnas de $M$ (o filas de $M^T$ ) multiplicados por ciertos factores.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & 2a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & 2a_{23} \end{vmatrix} = 6 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix}

Sacamos factor común $3$ de la segunda fila y $2$ de la tercera fila. Posteriormente, sacamos el factor $2$ de la tercera columna. Para llegar a la estructura de la matriz traspuesta $M^T$ , intercambiamos la segunda y la tercera columna, lo que provoca un cambio de signo en el determinante:

12 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix} \xrightarrow{C_2 \leftrightarrow C_3} -12 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

Como el determinante de la matriz resultante es $|M^T| = |M| = -5$ , el valor final es:

-12 \cdot (-5) = 60

b) Calcula

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}

.

Primero, observamos que la tercera columna es proporcional a una combinación de las dos primeras. Podemos extraer el factor $2$ de la tercera columna:

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2(2a_{13} - 3a_{33}) \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2a_{13} - 3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

Aplicamos la propiedad de que el determinante de una suma de filas es la suma de los determinantes (manteniendo las demás filas iguales):

2 \left( \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3a_{31} & -3a_{32} & -3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \right)

El segundo determinante es cero porque la primera fila es proporcional a la tercera ( $R_1 = -3 R_3$ ). En el primer determinante, extraemos el factor $2$ de la primera fila:

2 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = 4 \cdot |M|

Sustituyendo el valor de $|M| = -5$ :

4 \cdot (-5) = -20

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

5

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Determina

a

y

b

para que

A^2 = 4I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.b) Para

a = -1

y

b = 1

, calcula, si es posible, la matriz

X

que cumple

A^2 X = B^t

.

MatricesEcuación matricialMatriz traspuesta

a) Determina

a

y

b

para que

A^2 = 4I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.

Calculamos el producto $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma:

A^2 = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix}

Igualamos la matriz resultante a la matriz $4I$ :

\begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

Al igualar los elementos correspondientes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} a^2 + 3b = 4 \\ 3a + 3 = 0 \\ ab + b = 0 \\ 3b + 1 = 4 \end{cases}

Resolvemos las ecuaciones más sencillas. De la segunda ecuación: $3a = -3 \implies a = -1$ . De la cuarta ecuación: $3b = 3 \implies b = 1$ .Comprobamos que estos valores cumplen las otras dos ecuaciones. Para la primera: $(-1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$ . Para la tercera: $(-1)(1) + 1 = -1 + 1 = 0$ . Por lo tanto, los valores buscados son $a = -1$ y $b = 1$ .

b) Para

a = -1

y

b = 1

, calcula, si es posible, la matriz

X

que cumple

A^2 X = B^t

.

Sabemos del apartado anterior que para $a = -1$ y $b = 1$ , se cumple que $A^2 = 4I$ . Sustituimos esta expresión en la ecuación matricial dada:

4I X = B^t \implies 4X = B^t \implies X = \frac{1}{4} B^t

Calculamos primero la matriz traspuesta de $B$ intercambiando filas por columnas:

B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos $X$ multiplicando todos los elementos de $B^t$ por $1/4$ :

X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & -1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

4

Considera la matriz:

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

a) Calcula

A^4

y

A^{31}

.b) Halla razonadamente el determinante de la matriz

4A^{25}(A^t)^4

.

Potencia de matrizDeterminanteMatriz traspuesta

a) Calcula

A^4

y

A^{31}

.

Comenzamos calculando las primeras potencias de la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ para observar si existe alguna regularidad:

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Utilizando el resultado anterior, calculamos $A^4$ :

A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Dado que $A^4 = I$ , las potencias de la matriz $A$ son cíclicas con un periodo de 4. Para calcular $A^{31}$ , dividimos el exponente 31 entre 4:

31 = 4 \cdot 7 + 3

De este modo, podemos expresar $A^{31}$ como:

A^{31} = (A^4)^7 \cdot A^3 = I^7 \cdot A^3 = A^3

Calculamos $A^3$ multiplicando $A^2$ por $A$ :

A^{31} = A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

b) Halla razonadamente el determinante de la matriz

4A^{25}(A^t)^4

.

Para hallar el determinante solicitado, aplicaremos las propiedades de los determinantes, considerando que $A$ es una matriz de orden $n=2$ :1. $|k \cdot M| = k^n |M|$ , donde $n$ es la dimensión de la matriz. 2. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ . 3. $|M^p| = (|M|)^p$ . 4. $|M^t| = |M|$ .Primero calculamos el determinante de $A$ :

|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-1) = 1

Ahora aplicamos las propiedades a la expresión completa:

|4A^{25}(A^t)^4| = 4^2 \cdot |A^{25}| \cdot |(A^t)^4|

Sustituimos cada término basándonos en $|A| = 1$ :

16 \cdot |A|^{25} \cdot (|A|^t)^4 = 16 \cdot (1)^{25} \cdot (1)^4 = 16 \cdot 1 \cdot 1 = 16

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

5

Sean las matrices:

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

a) Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

X^3 A X^2 = B^2

.b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^3 Y B^{-1} = A^2

.

Ecuación matricialDeterminante

Resolución de matrices y determinantes

En primer lugar, calculamos los determinantes de las matrices $A$ y $B$ para utilizarlos en los apartados siguientes:

|A| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (3 \cdot 2) = 8 - 6 = 2

|B| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (2 \cdot 1) = 6 - 2 = 4

a) Halla razonadamente el determinante de una matriz

X

que verifica

X^3 A X^2 = B^2

.

Aplicamos la propiedad de los determinantes que establece que el determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de sus determinantes, es decir, $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ . También usamos la propiedad $|M^n| = |M|^n$ :

|X^3 A X^2| = |B^2| \implies |X|^3 \cdot |A| \cdot |X|^2 = |B|^2

Simplificando la expresión agrupando las potencias de $|X|$ y sustituyendo los valores conocidos de $|A|$ y $|B|$ :

|X|^5 \cdot 2 = 4^2 \implies |X|^5 \cdot 2 = 16

Despejamos el valor de $|X|$ :

|X|^5 = \frac{16}{2} = 8 \implies |X| = \sqrt[5]{8}

b) Determina, si existe, una matriz

Y

que verifique

A^3 Y B^{-1} = A^2

.

Dado que $|A| = 2 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible y, por tanto, $A^3$ también lo es. Podemos despejar $Y$ multiplicando por la izquierda por $(A^3)^{-1}$ y por la derecha por $B$ :

Y = (A^3)^{-1} A^2 B

Como $(A^3)^{-1} = (A^{-1})^3 = A^{-3}$ , simplificamos las potencias de $A$ :

Y = A^{-3} A^2 B = A^{-1} B

Calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ mediante la matriz de adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5/2 & 1 \end{pmatrix}

Nota: Se ha corregido el elemento $A_{21}$ de la inversa de la siguiente forma: $\frac{-3}{2} = -1,5$ .Finalmente, calculamos $Y$ realizando el producto matricial $A^{-1} B$ :

Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \cdot 3) + (-1 \cdot 2) & (2 \cdot 1) + (-1 \cdot 2) \\ (-3/2 \cdot 3) + (1 \cdot 2) & (-3/2 \cdot 1) + (1 \cdot 2) \end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -5/2 & 1/2 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Matrices

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

6

Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{pmatrix}

a) Indica para qué valores de

\alpha

la matriz

A

admite inversa.b) Para

\alpha = 1

determina, si es posible, la matriz inversa de

A

.

Inversa de una matrizDeterminantes

a) Indica para qué valores de

\alpha

la matriz

A

admite inversa.

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ( $|A| \neq 0$ ). Procedemos a calcular el determinante de la matriz $A$ :

|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{vmatrix}

Aplicando la regla de Sarrus para desarrollar el determinante:

|A| = (\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha) + (1 \cdot (\alpha + 4) \cdot 0) + (0 \cdot (\alpha + 4) \cdot 1) - [ 0 \cdot \alpha \cdot 0 + 1 \cdot (\alpha + 4) \cdot \alpha + (\alpha + 4) \cdot 1 \cdot \alpha ]

|A| = \alpha^3 - [ \alpha(\alpha + 4) + \alpha(\alpha + 4) ] = \alpha^3 - 2\alpha(\alpha + 4) = \alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$ :

\alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha = 0 \implies \alpha(\alpha^2 - 2\alpha - 8) = 0

Esto nos da una primera solución $\alpha = 0$ . Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado $\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$ :

\alpha = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

Obtenemos los valores $\alpha = 4$ y $\alpha = -2$ . Por tanto, la matriz $A$ admite inversa para todos los valores de $\alpha$ excepto para $\alpha \in \{-2, 0, 4\}$ .

b) Para

\alpha = 1

determina, si es posible, la matriz inversa de

A

.

Puesto que $\alpha = 1$ no es una de las raíces del determinante calculadas en el apartado anterior, la matriz $A$ admite inversa. Sustituimos el valor $\alpha = 1$ en la matriz y calculamos el valor de su determinante:

A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad |A| = 1^3 - 2(1)^2 - 8(1) = 1 - 2 - 8 = -9

Calculamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$ calculando los menores correspondientes:

\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 5 \\ -5 & 1 & -5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix}

La matriz inversa $A^{-1}$ se obtiene mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$ :

A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/9 & 5/9 & -5/9 \\ 1/9 & -1/9 & 1/9 \\ -5/9 & 5/9 & 4/9 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Matrices

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

4

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

a) Comprueba que

A^3 + I = O

, siendo

I

la matriz identidad y

O

la matriz nula. Calcula

A^{-1}

.b) Calcula

A^{2025}

.

Matriz inversaPotencia de una matrizIdentidad

Matrices y potencias

a) Comprueba que

A^3 + I = O

, siendo

I

la matriz identidad y

O

la matriz nula. Calcula

A^{-1}

.

En primer lugar, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma:

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

A continuación, calculamos $A^3$ multiplicando $A^2$ por $A$ :

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Una vez obtenido que $A^3 = -I$ , comprobamos la igualdad solicitada:

A^3 + I = -I + I = O

Para hallar la matriz inversa $A^{-1}$ , partimos de la relación $A^3 = -I$ y despejamos la identidad:

A \cdot A^2 = -I \implies A \cdot (-A^2) = I

Por la definición de matriz inversa ( $A \cdot A^{-1} = I$ ), se concluye que $A^{-1} = -A^2$ :

A^{-1} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}

b) Calcula

A^{2025}

.

Utilizamos la propiedad $A^3 = -I$ demostrada en el apartado anterior. Expresamos la potencia 2025 en función de la potencia tercera:

A^{2025} = (A^3)^{675}

Sustituyendo $A^3$ por $-I$ :

A^{2025} = (-I)^{675}

Como el exponente 675 es un número impar, la potencia de la matriz $-I$ resulta en la propia matriz $-I$ :

A^{2025} = -I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Determinantes

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

5

Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1$ , calcula razonadamente:

a)

\begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix}

.b)

\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix}

.

Propiedades de los determinantes

Determinantes y sus propiedades

Para resolver ambos apartados, utilizaremos las propiedades de los determinantes, partiendo del dato original:

\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = 1

a)

\begin{vmatrix} a + x & b + y & c + z \\ a & b & c \\ 2a + u & 2b + v & 2c + w \end{vmatrix}

Aplicamos la propiedad que permite sumar a una fila una combinación lineal de las demás sin alterar el valor del determinante. Realizamos las siguientes operaciones elementales: primero, restamos la segunda fila a la primera ( $F_1 \rightarrow F_1 - F_2$ ) y, después, restamos el doble de la segunda fila a la tercera ( $F_3 \rightarrow F_3 - 2F_2$ ):

\begin{vmatrix} a+x-a & b+y-b & c+z-c \\ a & b & c \\ 2a+u-2a & 2b+v-2b & 2c+w-2c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{vmatrix}

A continuación, intercambiamos la primera fila con la segunda ( $F_1 \leftrightarrow F_2$ ). Al permutar dos filas, el signo del determinante cambia:

-\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = -(1) = -1

b)

\begin{vmatrix} z & c & w \\ x & a & u \\ y & b & v \end{vmatrix}

En primer lugar, realizamos la trasposición del determinante. Puesto que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, el valor no varía:

\begin{vmatrix} z & x & y \\ c & a & b \\ w & u & v \end{vmatrix}

Ahora realizamos intercambios de columnas y filas para recuperar la matriz original, teniendo en cuenta que cada intercambio cambia el signo del determinante: 1. Intercambiamos la primera columna con la segunda ( $C_1 \leftrightarrow C_2$ ): signo negativo. 2. Intercambiamos la segunda columna con la tercera ( $C_2 \leftrightarrow C_3$ ): signo positivo de nuevo. 3. Intercambiamos la primera fila con la segunda ( $F_1 \leftrightarrow F_2$ ): signo negativo finalmente.

\begin{vmatrix} z & x & y \\ c & a & b \\ w & u & v \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} x & z & y \\ a & c & b \\ u & w & v \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & c \\ u & v & w \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{vmatrix} = -1

T1: Matrices y determinantes

Propiedades de determinantes

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

5

Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) Sabiendo que el determinante de

A

es

5

, calcula

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}

, indicando las propiedades que utilizas.b) Calcula los valores

(x, y, z)

tales que

B \cdot A = C

.

DeterminantesEcuaciones matricialesMatrices

a) Sabiendo que el determinante de

A

es

5

, calculamos el valor del determinante propuesto aplicando las propiedades de los determinantes:

En primer lugar, utilizamos la propiedad que permite descomponer un determinante en suma de otros dos si los elementos de una fila (o columna) son suma de dos sumandos. Aplicamos esto a la primera fila:

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}

El segundo determinante es $0$ debido a que la primera y la segunda fila son proporcionales ( $F_1 = -F_2$ ). A continuación, descomponemos la tercera fila del determinante restante observando que $(4, 1, 3) = (3, 0, 2) + (1, 1, 1)$ :

\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

Nuevamente, el segundo determinante es $0$ porque tiene dos filas iguales ( $F_2 = F_3$ ). Para el determinante que queda, aplicamos la propiedad que establece que si se intercambian dos filas entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la segunda y la tercera fila:

\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

El determinante resultante es precisamente $|A|$ . Por tanto, el valor buscado es $-|A| = -5$ .

b) Calcula los valores

(x, y, z)

tales que

B \cdot A = C

.

Planteamos la ecuación matricial sustituyendo las matrices dadas:

\begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Efectuamos el producto de las matrices del primer miembro (una matriz $1 \times 3$ por una $3 \times 3$ da como resultado una matriz $1 \times 3$ ):

\begin{pmatrix} 1 \cdot x + 3y + z & 1 \cdot y + 0y + 1 \cdot z & 1 \cdot z + 2y + 1 \cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Simplificamos e igualamos término a término para obtener el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ y + z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}

La tercera ecuación es redundante por ser proporcional a la segunda ( $E_3 = 2 \cdot E_2$ ). Por tanto, tenemos un sistema compatible indeterminado. De la segunda ecuación obtenemos $z = -y$ . Sustituimos en la primera para despejar $x$ :

x + 3y - y = 3 \implies x + 2y = 3 \implies x = 3 - 2y

Definiendo $y = \lambda$ como parámetro real, las soluciones del sistema son:

(x, y, z) = (3 - 2\lambda, \lambda, -\lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

6

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$ , $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 2.

a) Sabiendo que

A

verifica la identidad

(A + a I)^2 = b I

, halla

a

y

b

.b) Resuelve la ecuación

MX + M^2 = I

.

Ecuaciones matricialesIdentidades matricialesMatriz inversa

a) Sabiendo que

A

verifica la identidad

(A + a I)^2 = b I

, halla

a

y

b

.

Calculamos primero la matriz suma $A + aI$ :

A + aI = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix}

Ahora calculamos el cuadrado de esta matriz:

(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+a)^2 - 6 & 3(1+a) + 3(5+a) \\ -2(1+a) - 2(5+a) & -6 + (5+a)^2 \end{pmatrix}

Simplificamos cada uno de los elementos resultantes:

(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix}

Igualamos esta matriz a $bI = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ . Para que se cumpla la igualdad, los elementos fuera de la diagonal principal deben ser nulos:

\begin{cases} 6a + 18 = 0 \\ -4a - 12 = 0 \end{cases} \implies 6a = -18 \implies a = -3

Sustituimos el valor de $a = -3$ en las ecuaciones de la diagonal principal para determinar el valor de $b$ :

b = a^2 + 2a - 5 = (-3)^2 + 2(-3) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2

b = a^2 + 10a + 19 = (-3)^2 + 10(-3) + 19 = 9 - 30 + 19 = -2

Por lo tanto, los valores buscados son $a = -3$ y $b = -2$ .

b) Resuelve la ecuación

MX + M^2 = I

.

Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación. Restamos $M^2$ en ambos miembros y multiplicamos por la izquierda por la inversa $M^{-1}$ :

MX = I - M^2 \implies X = M^{-1}(I - M^2)

Calculamos el determinante de $M$ para comprobar que es inversible:

|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1

Como $|M| \neq 0$ , existe $M^{-1}$ . La calculamos mediante la matriz adjunta traspuesta:

M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos ahora la matriz $I - M^2$ , sabiendo que $M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ :

I - M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos $X$ realizando el producto:

X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \cdot 0 + 1 \cdot -1) & (-1 \cdot -1 + 1 \cdot -1) \\ (1 \cdot 0 + 0 \cdot -1) & (1 \cdot -1 + 0 \cdot -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

La solución es la matriz $X = -I$ .

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

5

EJERCICIO 5

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Halla todas las matrices

X

que cumplen

XA = -AX^t

y

X^2 = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.b) Halla todas las matrices

Y

que cumplen

YA = AY

, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante

-1

.

MatricesEcuaciones matricialesDeterminantes

a) Halla todas las matrices

X

que cumplen

XA = -AX^t

y

X^2 = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.

Sea la matriz $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ . Su traspuesta es $X^t = \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}$ . Planteamos la primera condición $XA = -AX^t$ :

\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -x & y \\ -z & w \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -x & -z \\ y & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & z \\ -y & -w \end{pmatrix}

Igualando los elementos de las matrices resultantes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:1) $-x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0$ 2) $y = z$ 3) $-z = -y \implies z = y$ 4) $w = -w \implies 2w = 0 \implies w = 0$ Por tanto, la matriz $X$ debe tener la forma $X = \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix}$ . Ahora aplicamos la segunda condición $X^2 = I$ :

\begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^2 & 0 \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

De aquí se deduce que $y^2 = 1$ , lo que da dos posibles valores: $y = 1$ o $y = -1$ . Las matrices $X$ buscadas son:

X_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

b) Halla todas las matrices

Y

que cumplen

YA = AY

, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante

-1

.

Sea la matriz $Y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Planteamos la condición de conmutatividad $YA = AY$ :

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -a & b \\ -c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\ c & d \end{pmatrix}

Igualando los elementos: 1) $-a = -a$ (siempre se cumple) 2) $b = -b \implies 2b = 0 \implies b = 0$ 3) $-c = c \implies 2c = 0 \implies c = 0$ 4) $d = d$ (siempre se cumple)La matriz es de la forma $Y = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ . Aplicamos ahora que la traza es cero ( $a + d = 0 \implies d = -a$ ) y que el determinante es $-1$ :

\det(Y) = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{vmatrix} = -a^2 = -1 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1

Si $a = 1$ , entonces $d = -1$ . Si $a = -1$ , entonces $d = 1$ . Las matrices $Y$ resultantes son:

Y_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Y_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones y determinantes

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

5

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula los determinantes de las matrices

((AB)^5)^{-1}

y

27AB^6

.b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica que

AXB = 9I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

DeterminantesEcuaciones matricialesPropiedades de determinantes

Calculamos primero los determinantes de las matrices $A$ y $B$ para utilizarlos en los cálculos de los apartados:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 - (-7)) = 9

|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1/9 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = -\frac{1}{9}

a) Calcula los determinantes de las matrices

((AB)^5)^{-1}

y

27AB^6

.

Para el primer determinante, utilizamos las propiedades $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ , $|M^k| = |M|^k$ y $|AB| = |A| \cdot |B|$ :

|AB| = |A| \cdot |B| = 9 \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -1

|((AB)^5)^{-1}| = \frac{1}{|(AB)^5|} = \frac{1}{|AB|^5} = \frac{1}{(-1)^5} = -1

Para el segundo determinante, aplicamos la propiedad $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$ , donde $n=3$ es el orden de la matriz, y $|B^6| = |B|^6$ :

|27AB^6| = 27^3 \cdot |A| \cdot |B|^6 = (3^3)^3 \cdot 3^2 \cdot \left( -\frac{1}{3^2} \right)^6 = 3^9 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^{12}} = 3^{11} \cdot 3^{-12} = 3^{-1} = \frac{1}{3}

b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica que

AXB = 9I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

Dado que $|A| = 9 \neq 0$ y $|B| = -1/9 \neq 0$ , ambas matrices son invertibles. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$ :

AXB = 9I \implies X = A^{-1} (9I) B^{-1} = 9 A^{-1} B^{-1}

Calculamos $A^{-1}$ mediante la matriz de adjuntos transpuesta:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & -7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

Calculamos $B^{-1}$ de forma análoga:

B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^t = \frac{1}{-1/9} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/9 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}^t = -9 \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1/9 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos el producto $X = 9 A^{-1} B^{-1}$ :

X = 9 \cdot \left[ \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Rango de matrices

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

6

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula el rango de

A

según los valores de

a

.b) Si

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

,

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

y

a = 2

resuelve, si es posible, el sistema

AX = B

.

Rango de matrizSistemas de ecuacionesTeorema de Rouché-Frobenius

Estudio del rango de la matriz A y resolución de un sistema de ecuaciones

a) Calcula el rango de

A

según los valores de

a

.

Para estudiar el rango de la matriz $A$ , calculamos su determinante mediante el desarrollo por la segunda columna:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{vmatrix} = -(3a - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix}

Realizando el cálculo del determinante de orden 2 obtenemos:

|A| = -(3a - 1)(a - 2) = -3a^2 + 7a - 2

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$ :

-3a^2 + 7a - 2 = 0 \implies a = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{-6} \implies a = 2, \quad a = \frac{1}{3}

Analizamos el rango de $A$ según los valores obtenidos:1. Si $a \neq 2$ y $a \neq \frac{1}{3}$ : El determinante $|A| \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 3.2. Si $a = 2$ : El determinante $|A| = 0$ . La matriz queda:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}

Existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = 10 \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 2.3. Si $a = \frac{1}{3}$ : El determinante $|A| = 0$ . Existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 2 & 1/3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -5/3 \neq 0$ , por lo que el rango de $A$ es 2.

b) Si

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}

,

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

y

a = 2

resuelve, si es posible, el sistema

AX = B

.

Para $a = 2$ , el sistema es $AX = B$ . Analizamos el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ :

(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 0 & 4 \end{array}\right)

Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ( $F_2 = 2F_1$ ). Como el rango de $A$ es 2 y la columna $B$ es proporcional a la primera columna en las dos primeras filas, el rango de la matriz ampliada también es 2. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|B) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es Compatible Indeterminado.Eliminamos la ecuación redundante ( $F_2$ ) y resolvemos el sistema usando las otras dos:

\begin{cases} x + z = 1 \\ 5x + 5y = 4 \end{cases}

Tomamos $x = \lambda$ como parámetro libre. Entonces despejamos las demás variables:

z = 1 - \lambda

5y = 4 - 5\lambda \implies y = \frac{4}{5} - \lambda

La solución general del sistema es:

(x, y, z) = \left( \lambda, \frac{4}{5} - \lambda, 1 - \lambda \right) \text{ para todo } \lambda \in \mathbb{R}

T1: Matrices y determinantes

Inversa de una matriz

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

5

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}

a) Determina los valores de

m

para los que la matriz

A^2

tiene inversa.b) Para

m = 0

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica

A^2X = \frac{1}{2}(A + B)

.

Matriz inversaEcuaciones matricialesDeterminantes

Resolución de matrices y ecuaciones matriciales

a) Determina los valores de

m

para los que la matriz

A^2

tiene inversa.

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Utilizando las propiedades de los determinantes, sabemos que $\det(A^2) = (\det(A))^2$ . Por tanto, $A^2$ tendrá inversa si y solo si $\det(A) \neq 0$ .Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus:

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 - m) - (1 + 0 + 0) = 1 - m

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos:

1 - m = 0 \implies m = 1

En consecuencia, la matriz $A^2$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ excepto para $m = 1$ , es decir, para $m \neq 1$ .

b) Para

m = 0

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica

A^2X = \frac{1}{2}(A + B)

.

Para $m = 0$ , el determinante de $A$ es $\det(A) = 1 - 0 = 1 \neq 0$ , por lo que $A^2$ es invertible. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda:

X = (A^2)^{-1} \cdot \frac{1}{2}(A + B)

Calculamos primero la matriz $A^2$ y la suma $A + B$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la inversa $(A^2)^{-1}$ mediante el método de la matriz adjunta. Dado que $\det(A^2) = (\det A)^2 = 1^2 = 1$ , tenemos:

(A^2)^{-1} = \frac{1}{\det(A^2)} \text{Adj}(A^2)^T = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Sustituimos en la expresión de $X$ :

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -30 & -13 & -77 \\ 0 & 5 & 4 \\ 19 & 13 & 53 \end{pmatrix}

La matriz solución es:

X = \begin{pmatrix} -15 & -13/2 & -77/2 \\ 0 & 5/2 & 2 \\ 19/2 & 13/2 & 53/2 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Potencia de matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

5

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula

A^{2024}

.b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica

A^2 X A + I = O

, donde

I

y

O

son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Potencia de una matrizEcuación matricialMatriz inversa

a) Calcula

A^{2024}

.

Para calcular las potencias de la matriz $A$ , la descomponemos como la suma de la matriz identidad $I$ y una matriz $B$ :

A = I + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos el cuadrado de la matriz $B$ :

B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O

Como $B^2 = O$ , entonces todas las potencias $B^k = O$ para $k \ge 2$ . Dado que $I$ y $B$ conmutan ( $IB = BI$ ), podemos aplicar el binomio de Newton para cualquier potencia natural $n$ :

A^n = (I + B)^n = I^n + n I^{n-1} B + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} B^2 + \dots = I + nB

Sustituyendo para $n = 2024$ , y teniendo en cuenta que $2024 \cdot \frac{1}{8} = 253$ :

A^{2024} = I + 2024B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2024 \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica

A^2 X A + I = O

, donde

I

y

O

son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Primero, despejamos $X$ de la ecuación matricial. Dado que $|A| = 1 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible:

A^2 X A + I = O \implies A^2 X A = -I

Multiplicamos por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda y por $A^{-1}$ por la derecha:

X = (A^2)^{-1} (-I) A^{-1} = -A^{-2} A^{-1} = -A^{-3}

Usando la fórmula $A^n = I + nB$ , podemos deducir que la inversa es $A^{-n} = I - nB$ , ya que $(I+nB)(I-nB) = I - n^2 B^2 = I$ . Por tanto, calculamos $A^{-3}$ :

A^{-3} = I - 3B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3/8 & -3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos $X = -A^{-3}$ :

X = \begin{pmatrix} -1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

5B

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula

A^{10}

.b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de

I + A + A^2

, donde

I

denota la matriz identidad de orden 3.

Potencia de matrizMatriz inversaMatrices nilpotentes

Resolución de ejercicio de matrices

a) Calcula

A^{10}

.

Para calcular las potencias de la matriz $A$ , procedemos a realizar las multiplicaciones sucesivas para comprobar si la matriz es nilpotente:

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ab \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}

Puesto que $A^3$ es la matriz nula ( $\mathbf{0}$ ), cualquier potencia superior de la matriz también será nula. En particular, para $n \geq 3$ , $A^n = \mathbf{0}$ . Por lo tanto:

A^{10} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de

I + A + A^2

, donde

I

denota la matriz identidad de orden 3.

Denotamos $M = I + A + A^2$ . Para determinar si existe la inversa, podemos aprovechar el resultado del apartado anterior ( $A^3 = \mathbf{0}$ ). Recordando la identidad algebraica para la suma de una progresión geométrica, tenemos que $(I - A)(I + A + A^2) = I - A^3$ . Sustituyendo el valor de $A^3$ :

(I - A)(I + A + A^2) = I - \mathbf{0} = I

Esta igualdad demuestra que la matriz $M = I + A + A^2$ es invertible y que su inversa es precisamente $M^{-1} = I - A$ . Calculamos dicha matriz:

(I + A + A^2)^{-1} = I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & a & -b \\ 0 & 0 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -a & b \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Inversa de una matriz

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

5

BLOQUE B

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$ .

a) Halla los valores de

m

para que la matriz

A - mI

no tenga inversa.b) Halla

x

, distinto de cero, para que

A - xI

sea la inversa de la matriz

\frac{1}{x}(A - I)

.

Matriz inversaMatriz identidadDeterminante

a) Halla los valores de

m

para que la matriz

A - mI

no tenga inversa.

Una matriz no tiene inversa si su determinante es igual a cero. En primer lugar, calculamos la matriz $A - mI$ :

A - mI = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{pmatrix}

Calculamos su determinante e igualamos a cero:

|A - mI| = \begin{vmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante por la regla de Sarrus o mediante propiedades:

|A - mI| = (1-m)^3 + 1 + 1 - (1-m) - (1-m) - (1-m) = (1-m)^3 - 3(1-m) + 2

Realizamos el cambio de variable $t = 1-m$ para resolver la ecuación polinómica $t^3 - 3t + 2 = 0$ . Aplicando la regla de Ruffini, observamos que $t = 1$ es una raíz:

t^3 - 3t + 2 = (t-1)^2(t+2) = 0

Las soluciones para $t$ son $t = 1$ y $t = -2$ . Deshacemos el cambio de variable para hallar $m$ :Si $t = 1 \implies 1 - m = 1 \implies m = 0$ .Si $t = -2 \implies 1 - m = -2 \implies m = 3$ .Por lo tanto, la matriz $A - mI$ no tiene inversa para $m = 0$ y $m = 3$ .

b) Halla

x

, distinto de cero, para que

A - xI

sea la inversa de la matriz

\frac{1}{x}(A - I)

.

Para que una matriz sea la inversa de otra, su producto debe ser la matriz identidad $I$ . Por tanto, planteamos la ecuación:

(A - xI) \cdot \left[ \frac{1}{x}(A - I) \right] = I

Multiplicando ambos miembros por $x$ (ya que $x \neq 0$ ):

(A - xI)(A - I) = xI

Desarrollamos el producto de matrices aplicando la propiedad distributiva:

A^2 - A - xIA + xI^2 = xI

A^2 - A - xA + xI = xI

Restando $xI$ en ambos lados obtenemos $A^2 - A - xA = 0$ , donde $0$ es la matriz nula. Calculamos $A^2$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3A

Sustituimos $A^2 = 3A$ en la ecuación simplificada:

3A - A - xA = 0 \implies 2A - xA = 0 \implies (2 - x)A = 0

Como la matriz $A$ no es la matriz nula, se debe cumplir que el escalar sea cero:

2 - x = 0 \implies x = 2

El valor buscado es $x = 2$ .

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

6

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}

a) Determina los valores de

m

para que la matriz

A

tenga inversa.b) Calcula para

m = 1

, si es posible, la matriz

X

tal que

AX = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

.

Inversa de una matrizDeterminantesEcuación matricial

a) Determina los valores de

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ( $|A| \neq 0$ ). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 + 12m^2 - 3) - (0 - 2 + 12m) = 12m^2 - 12m - 1

Para encontrar los valores que anulan el determinante, resolvemos la ecuación de segundo grado $12m^2 - 12m - 1 = 0$ :

m = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{2 \cdot 12} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 48}}{24} = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{24}

Simplificamos el radical $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ :

m = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{24} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{6}

Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ tales que:

m \neq \frac{3 + 2\sqrt{3}}{6} \quad \text{y} \quad m \neq \frac{3 - 2\sqrt{3}}{6}

b) Calcula para

m = 1

, si es posible, la matriz

X

tal que

AX = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

.

Para $m = 1$ , el determinante es $|A| = 12(1)^2 - 12(1) - 1 = -1$ . Como $|A| \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ :

X = A^{-1} B^t

Calculamos la matriz inversa de $A$ para $m = 1$ , donde $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Primero hallamos la matriz de adjuntos y su traspuesta:

Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix}

Dividiendo por el determinante $|A| = -1$ , obtenemos $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix}

La matriz traspuesta de $B$ es:

B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X$ realizando el producto de matrices:

X = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 14 & 37 \\ 2 & 3 & 9 \\ 8 & 20 & 53 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

5B

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) Calcula

m

para que la matriz

A

tenga inversa.b) Para

m = 0

, resuelve, si es posible, la ecuación matricial

\frac{1}{2} AX + C^4 = B

.

MatricesInversa de una matrizEcuación matricial+1

a) Calcula

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por filas/columnas:

|A| = \begin{vmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{vmatrix}

Podemos simplificar el cálculo restando la segunda fila a la primera y a la tercera ( $F_1 \rightarrow F_1 - F_2$ y $F_3 \rightarrow F_3 - F_2$ ):

|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & m - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 2 & 0 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & m - 2 \\ m - 2 & m \end{vmatrix} = m^2 - (m - 2)^2

Desarrollamos la identidad notable:

|A| = m^2 - (m^2 - 4m + 4) = 4m - 4

Para que la matriz $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero:

4m - 4 \neq 0 \implies 4m \neq 4 \implies m \neq 1

Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

b) Para

m = 0

, resuelve, si es posible, la ecuación matricial

\frac{1}{2} AX + C^4 = B

.

Primero, comprobamos si la ecuación tiene solución. Para $m=0$ , el determinante es $|A| = 4(0) - 4 = -4$ , por lo que $A$ es invertible. Despejamos la matriz $X$ :

\frac{1}{2} AX = B - C^4 \implies AX = 2(B - C^4) \implies X = A^{-1} \cdot 2(B - C^4)

Calculamos las potencias de $C$ . Observamos que $C$ es una matriz de permutación simétrica:

C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Dado que $C^2 = I$ , entonces $C^4 = (C^2)^2 = I^2 = I$ . Calculamos ahora la parte derecha de la ecuación, $D = 2(B - I)$ :

D = 2 \left[ \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] = 2 \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de $A$ para $m=0$ . La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ con $|A| = -4$ . Su matriz adjunta traspuesta es:

Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos $X = A^{-1} D$ :

X = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & 12 & -16 \\ -4 & -24 & -8 \\ -4 & 20 & -8 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

6

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Determina para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

.b) Para todo

m \neq -1

, resuelve, si es posible, la ecuación

AX + X = B

.

Inversa de una matrizEcuación matricialDeterminantes

a) Determina para qué valores de

m

existe la inversa de la matriz

A

.

Para que una matriz cuadrada posea inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{vmatrix} = 0 + 0 + m^3 - (0 + 0 + 0) = m^3

Imponemos la condición de que el determinante sea distinto de cero para que exista la inversa $A^{-1}$ :

m^3 \neq 0 \implies m \neq 0

Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real $m \in \mathbb{R}$ tal que $m \neq 0$ .

b) Para todo

m \neq -1

, resuelve, si es posible, la ecuación

AX + X = B

.

Dada la ecuación matricial $AX + X = B$ , podemos extraer factor común de la matriz $X$ por la derecha empleando la propiedad distributiva:

(A + I)X = B

Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Definimos la matriz suma $C = A + I$ :

C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}

Para resolver la ecuación, debemos comprobar si la matriz $C$ es invertible calculando su determinante:

|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{vmatrix} = 1 + 0 + m^3 - (0 + 0 + 0) = 1 + m^3

Como el enunciado especifica que $m \neq -1$ , sabemos que $|C| = 1 + m^3 \neq 0$ , por lo que $C$ es invertible y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $C^{-1}$ :

X = (A + I)^{-1} B

Calculamos la matriz inversa $(A + I)^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{Adj}(C)^T$ . Obtenemos primero la matriz de cofactors y luego su transpuesta:

\text{Adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 1 & -m & m^2 \\ m^2 & 1 & -m \\ -m & m^2 & 1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix}

Sustituimos en la expresión de $X$ multiplicando por $B$ :

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 & m^2 & -m \\ -m & 1 & m^2 \\ m^2 & -m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Realizamos el producto de matrices:

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + m^2 \cdot 0 - m \cdot 0 & 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 0 - m \cdot 1 & 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 1 - m \cdot 0 \\ -m \cdot 1 + 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 0 & -m \cdot 0 + 1 \cdot 0 + m^2 \cdot 1 & -m \cdot 0 + 1 \cdot 1 + m^2 \cdot 0 \\ m^2 \cdot 1 - m \cdot 0 + 1 \cdot 0 & m^2 \cdot 0 - m \cdot 0 + 1 \cdot 1 & m^2 \cdot 0 - m \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix}

La solución final es la matriz:

X = \frac{1}{1 + m^3} \begin{pmatrix} 1 & -m & m^2 \\ -m & m^2 & 1 \\ m^2 & 1 & -m \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Rango y ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

6

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

a) Calcula el rango de la matriz

A

según los valores de

m

.b) Para

m = 0

resuelve la ecuación

AX = B

, si es posible.

Rango de matrizEcuación matricialParámetros

a) Calcula el rango de la matriz

A

según los valores de

m

.

La matriz dada es:

A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}

Para calcular el rango de $A$ , primero calculamos su determinante:

\begin{aligned} \det(A) &= m \begin{vmatrix} m & 2 \\ m & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix} \\ &= m(3m - 2m) - 1(3 - 2) + 3(m - m) \\ &= m(m) - 1(1) + 3(0) \\ &= m^2 - 1 \end{aligned}

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ donde el rango podría ser menor que 3:

m^2 - 1 = 0 \implies (m - 1)(m + 1) = 0

Esto nos da dos valores: $m = 1$ y $m = -1$ .Ahora analizamos los diferentes casos:Caso 1: Si $m \neq 1$ y $m \neq -1$ .En este caso, $\det(A) \neq 0$ . Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 3.

\text{rango}(A) = 3

Caso 2: Si $m = 1$ .Sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

El determinante es cero, así que el rango es menor que 3. Podemos observar que la primera columna es proporcional a la segunda, o que la primera fila es igual a la tercera. Consideramos un menor de orden 2:

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz $A$ es 2.

\text{rango}(A) = 2

Caso 3: Si $m = -1$ .Sustituimos $m = -1$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

El determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2:

\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz $A$ es 2.

\text{rango}(A) = 2

b) Para

m = 0

resuelve la ecuación

AX = B

, si es posible.

Para $m = 0$ , la matriz $A$ es:

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $A$ para $m = 0$ : $\det(A) = 0^2 - 1 = -1$ . Como $\det(A) = -1 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible y la ecuación $AX = B$ se puede resolver como $X = A^{-1}B$ .Calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ .1. Determinante: $\det(A) = -1$ .2. Matriz de cofactores:

\begin{aligned} A_{11} &= \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 & A_{13} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{22} &= \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ A_{31} &= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 & A_{33} &= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}

\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}

3. Matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores):

\text{Adj}(A) = (\text{Cof}(A))^T = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

4. Matriz inversa:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $X = A^{-1}B$ :

X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

\begin{aligned} X &= \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 + 3 + 2 & 0 + 0 - 4 \\ 2 + 3 + 3 & 2 + 0 - 6 \\ 0 - 1 - 1 & 0 + 0 + 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

La solución de la ecuación $AX = B$ para $m = 0$ es:

X = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}