T1: Matrices y determinantes · Inversa de una matriz — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Inversa de una matriz

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}

a) Determina los valores de

m

para los que la matriz

A^2

tiene inversa.b) Para

m = 0

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica

A^2X = \frac{1}{2}(A + B)

Matriz inversaEcuaciones matricialesDeterminantes

Resolución de matrices y ecuaciones matriciales

a) Determina los valores de

m

para los que la matriz

A^2

tiene inversa.

Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Utilizando las propiedades de los determinantes, sabemos que $\det(A^2) = (\det(A))^2$ . Por tanto, $A^2$ tendrá inversa si y solo si $\det(A) \neq 0$ .Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus:

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 - m) - (1 + 0 + 0) = 1 - m

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos:

1 - m = 0 \implies m = 1

En consecuencia, la matriz $A^2$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ excepto para $m = 1$ , es decir, para $m \neq 1$ .

b) Para

m = 0

calcula, si es posible, la matriz

X

que verifica

A^2X = \frac{1}{2}(A + B)

Para $m = 0$ , el determinante de $A$ es $\det(A) = 1 - 0 = 1 \neq 0$ , por lo que $A^2$ es invertible. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda:

X = (A^2)^{-1} \cdot \frac{1}{2}(A + B)

Calculamos primero la matriz $A^2$ y la suma $A + B$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la inversa $(A^2)^{-1}$ mediante el método de la matriz adjunta. Dado que $\det(A^2) = (\det A)^2 = 1^2 = 1$ , tenemos:

(A^2)^{-1} = \frac{1}{\det(A^2)} \text{Adj}(A^2)^T = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}

Sustituimos en la expresión de $X$ :

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -30 & -13 & -77 \\ 0 & 5 & 4 \\ 19 & 13 & 53 \end{pmatrix}

La matriz solución es:

X = \begin{pmatrix} -15 & -13/2 & -77/2 \\ 0 & 5/2 & 2 \\ 19/2 & 13/2 & 53/2 \end{pmatrix}