T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \end{pmatrix}

a) Determina los valores de

m

para que la matriz

A

tenga inversa.b) Calcula para

m = 1

, si es posible, la matriz

X

tal que

AX = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Inversa de una matrizDeterminantesEcuación matricial

a) Determina los valores de

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ( $|A| \neq 0$ ). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2m & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3m & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 + 12m^2 - 3) - (0 - 2 + 12m) = 12m^2 - 12m - 1

Para encontrar los valores que anulan el determinante, resolvemos la ecuación de segundo grado $12m^2 - 12m - 1 = 0$ :

m = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1)}}{2 \cdot 12} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 48}}{24} = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{24}

Simplificamos el radical $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ :

m = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{24} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{6}

Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ tales que:

m \neq \frac{3 + 2\sqrt{3}}{6} \quad \text{y} \quad m \neq \frac{3 - 2\sqrt{3}}{6}

b) Calcula para

m = 1

, si es posible, la matriz

X

tal que

AX = B^t

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Para $m = 1$ , el determinante es $|A| = 12(1)^2 - 12(1) - 1 = -1$ . Como $|A| \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ :

X = A^{-1} B^t

Calculamos la matriz inversa de $A$ para $m = 1$ , donde $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . Primero hallamos la matriz de adjuntos y su traspuesta:

Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix}

Dividiendo por el determinante $|A| = -1$ , obtenemos $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -5 & -4 \\ 0 & -1 & -1 \\ 3 & -7 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix}

La matriz traspuesta de $B$ es:

B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X$ realizando el producto de matrices:

X = \begin{pmatrix} -2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & 7 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 14 & 37 \\ 2 & 3 & 9 \\ 8 & 20 & 53 \end{pmatrix}