T1: Matrices y determinantes

Propiedades de determinantes

Problema

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Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) Sabiendo que el determinante de

A

5

, calcula

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}

, indicando las propiedades que utilizas.b) Calcula los valores

(x, y, z)

tales que

B \cdot A = C

DeterminantesEcuaciones matricialesMatrices

a) Sabiendo que el determinante de

A

5

, calculamos el valor del determinante propuesto aplicando las propiedades de los determinantes:

En primer lugar, utilizamos la propiedad que permite descomponer un determinante en suma de otros dos si los elementos de una fila (o columna) son suma de dos sumandos. Aplicamos esto a la primera fila:

\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}

El segundo determinante es $0$ debido a que la primera y la segunda fila son proporcionales ( $F_1 = -F_2$ ). A continuación, descomponemos la tercera fila del determinante restante observando que $(4, 1, 3) = (3, 0, 2) + (1, 1, 1)$ :

\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

Nuevamente, el segundo determinante es $0$ porque tiene dos filas iguales ( $F_2 = F_3$ ). Para el determinante que queda, aplicamos la propiedad que establece que si se intercambian dos filas entre sí, el determinante cambia de signo. Intercambiamos la segunda y la tercera fila:

\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

El determinante resultante es precisamente $|A|$ . Por tanto, el valor buscado es $-|A| = -5$ .

b) Calcula los valores

(x, y, z)

tales que

B \cdot A = C

Planteamos la ecuación matricial sustituyendo las matrices dadas:

\begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Efectuamos el producto de las matrices del primer miembro (una matriz $1 \times 3$ por una $3 \times 3$ da como resultado una matriz $1 \times 3$ ):

\begin{pmatrix} 1 \cdot x + 3y + z & 1 \cdot y + 0y + 1 \cdot z & 1 \cdot z + 2y + 1 \cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Simplificamos e igualamos término a término para obtener el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ y + z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}

La tercera ecuación es redundante por ser proporcional a la segunda ( $E_3 = 2 \cdot E_2$ ). Por tanto, tenemos un sistema compatible indeterminado. De la segunda ecuación obtenemos $z = -y$ . Sustituimos en la primera para despejar $x$ :

x + 3y - y = 3 \implies x + 2y = 3 \implies x = 3 - 2y

Definiendo $y = \lambda$ como parámetro real, las soluciones del sistema son:

(x, y, z) = (3 - 2\lambda, \lambda, -\lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}