T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 5

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Halla todas las matrices

X

que cumplen

XA = -AX^t

X^2 = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.b) Halla todas las matrices

Y

que cumplen

YA = AY

, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante

-1

MatricesEcuaciones matricialesDeterminantes

a) Halla todas las matrices

X

que cumplen

XA = -AX^t

X^2 = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.

Sea la matriz $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}$ . Su traspuesta es $X^t = \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}$ . Planteamos la primera condición $XA = -AX^t$ :

\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & z \\ y & w \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -x & y \\ -z & w \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} -x & -z \\ y & w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & z \\ -y & -w \end{pmatrix}

Igualando los elementos de las matrices resultantes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:1) $-x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0$ 2) $y = z$ 3) $-z = -y \implies z = y$ 4) $w = -w \implies 2w = 0 \implies w = 0$ Por tanto, la matriz $X$ debe tener la forma $X = \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix}$ . Ahora aplicamos la segunda condición $X^2 = I$ :

\begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & y \\ y & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^2 & 0 \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

De aquí se deduce que $y^2 = 1$ , lo que da dos posibles valores: $y = 1$ o $y = -1$ . Las matrices $X$ buscadas son:

X_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

b) Halla todas las matrices

Y

que cumplen

YA = AY

, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante

-1

Sea la matriz $Y = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Planteamos la condición de conmutatividad $YA = AY$ :

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -a & b \\ -c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\ c & d \end{pmatrix}

Igualando los elementos: 1) $-a = -a$ (siempre se cumple) 2) $b = -b \implies 2b = 0 \implies b = 0$ 3) $-c = c \implies 2c = 0 \implies c = 0$ 4) $d = d$ (siempre se cumple)La matriz es de la forma $Y = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$ . Aplicamos ahora que la traza es cero ( $a + d = 0 \implies d = -a$ ) y que el determinante es $-1$ :

\det(Y) = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{vmatrix} = -a^2 = -1 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1

Si $a = 1$ , entonces $d = -1$ . Si $a = -1$ , entonces $d = 1$ . Las matrices $Y$ resultantes son:

Y_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad Y_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}