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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
6
Examen

Considera las matrices A=(13−25)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}, M=(0111)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e II la matriz identidad de orden 2.

a) Sabiendo que AA verifica la identidad (A+aI)2=bI(A + a I)^2 = b I, halla aa y bb.b) Resuelve la ecuación MX+M2=IMX + M^2 = I.
Ecuaciones matricialesIdentidades matricialesMatriz inversa
a) Sabiendo que AA verifica la identidad (A+aI)2=bI(A + a I)^2 = b I, halla aa y bb.

Calculamos primero la matriz suma A+aIA + aI:

A+aI=(13−25)+(a00a)=(1+a3−25+a)A + aI = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix}

Ahora calculamos el cuadrado de esta matriz:

(A+aI)2=(1+a3−25+a)(1+a3−25+a)=((1+a)2−63(1+a)+3(5+a)−2(1+a)−2(5+a)−6+(5+a)2)(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+a & 3 \\ -2 & 5+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1+a)^2 - 6 & 3(1+a) + 3(5+a) \\ -2(1+a) - 2(5+a) & -6 + (5+a)^2 \end{pmatrix}

Simplificamos cada uno de los elementos resultantes:

(A+aI)2=(a2+2a−56a+18−4a−12a2+10a+19)(A + aI)^2 = \begin{pmatrix} a^2 + 2a - 5 & 6a + 18 \\ -4a - 12 & a^2 + 10a + 19 \end{pmatrix}

Igualamos esta matriz a bI=(b00b)bI = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}. Para que se cumpla la igualdad, los elementos fuera de la diagonal principal deben ser nulos:

{6a+18=0−4a−12=0  ⟹  6a=−18  ⟹  a=−3\begin{cases} 6a + 18 = 0 \\ -4a - 12 = 0 \end{cases} \implies 6a = -18 \implies a = -3

Sustituimos el valor de a=−3a = -3 en las ecuaciones de la diagonal principal para determinar el valor de bb:

b=a2+2a−5=(−3)2+2(−3)−5=9−6−5=−2b = a^2 + 2a - 5 = (-3)^2 + 2(-3) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2
b=a2+10a+19=(−3)2+10(−3)+19=9−30+19=−2b = a^2 + 10a + 19 = (-3)^2 + 10(-3) + 19 = 9 - 30 + 19 = -2

Por lo tanto, los valores buscados son a=−3a = -3 y b=−2b = -2.

b) Resuelve la ecuación MX+M2=IMX + M^2 = I.

Primero, despejamos la matriz XX en la ecuación. Restamos M2M^2 en ambos miembros y multiplicamos por la izquierda por la inversa M−1M^{-1}:

MX=I−M2  ⟹  X=M−1(I−M2)MX = I - M^2 \implies X = M^{-1}(I - M^2)

Calculamos el determinante de MM para comprobar que es inversible:

∣M∣=∣0111∣=(0⋅1)−(1⋅1)=−1|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1

Como ∣M∣≠0|M| \neq 0, existe M−1M^{-1}. La calculamos mediante la matriz adjunta traspuesta:

M−1=1∣M∣Adj(M)T=1−1(1−1−10)=(−1110)M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos ahora la matriz I−M2I - M^2, sabiendo que M2=(0111)(0111)=(1112)M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}:

I−M2=(1001)−(1112)=(0−1−1−1)I - M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos XX realizando el producto:

X=(−1110)(0−1−1−1)=((−1⋅0+1⋅−1)(−1⋅−1+1⋅−1)(1⋅0+0⋅−1)(1⋅−1+0⋅−1))=(−100−1)X = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1 \cdot 0 + 1 \cdot -1) & (-1 \cdot -1 + 1 \cdot -1) \\ (1 \cdot 0 + 0 \cdot -1) & (1 \cdot -1 + 0 \cdot -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

La solución es la matriz X=−IX = -I.