T1: Matrices y determinantes

Operaciones y determinantes

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula los determinantes de las matrices

((AB)^5)^{-1}

27AB^6

.b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica que

AXB = 9I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

DeterminantesEcuaciones matricialesPropiedades de determinantes

Calculamos primero los determinantes de las matrices $A$ y $B$ para utilizarlos en los cálculos de los apartados:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 - (-7)) = 9

|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1/9 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = -\frac{1}{9}

a) Calcula los determinantes de las matrices

((AB)^5)^{-1}

27AB^6

Para el primer determinante, utilizamos las propiedades $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ , $|M^k| = |M|^k$ y $|AB| = |A| \cdot |B|$ :

|AB| = |A| \cdot |B| = 9 \cdot \left( -\frac{1}{9} \right) = -1

|((AB)^5)^{-1}| = \frac{1}{|(AB)^5|} = \frac{1}{|AB|^5} = \frac{1}{(-1)^5} = -1

Para el segundo determinante, aplicamos la propiedad $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$ , donde $n=3$ es el orden de la matriz, y $|B^6| = |B|^6$ :

|27AB^6| = 27^3 \cdot |A| \cdot |B|^6 = (3^3)^3 \cdot 3^2 \cdot \left( -\frac{1}{3^2} \right)^6 = 3^9 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^{12}} = 3^{11} \cdot 3^{-12} = 3^{-1} = \frac{1}{3}

b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica que

AXB = 9I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 3.

Dado que $|A| = 9 \neq 0$ y $|B| = -1/9 \neq 0$ , ambas matrices son invertibles. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$ :

AXB = 9I \implies X = A^{-1} (9I) B^{-1} = 9 A^{-1} B^{-1}

Calculamos $A^{-1}$ mediante la matriz de adjuntos transpuesta:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & -7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}^t = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

Calculamos $B^{-1}$ de forma análoga:

B^{-1} = \frac{1}{|B|} (Adj(B))^t = \frac{1}{-1/9} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1/9 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}^t = -9 \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1/9 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos el producto $X = 9 A^{-1} B^{-1}$ :

X = 9 \cdot \left[ \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162 \end{pmatrix}