T1: Matrices y determinantes · Inversa de una matriz — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Inversa de una matriz

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE B

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden $3$ .

a) Halla los valores de

m

para que la matriz

A - mI

no tenga inversa.b) Halla

x

, distinto de cero, para que

A - xI

sea la inversa de la matriz

\frac{1}{x}(A - I)

Matriz inversaMatriz identidadDeterminante

a) Halla los valores de

m

para que la matriz

A - mI

no tenga inversa.

Una matriz no tiene inversa si su determinante es igual a cero. En primer lugar, calculamos la matriz $A - mI$ :

A - mI = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{pmatrix}

Calculamos su determinante e igualamos a cero:

|A - mI| = \begin{vmatrix} 1-m & 1 & 1 \\ 1 & 1-m & 1 \\ 1 & 1 & 1-m \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante por la regla de Sarrus o mediante propiedades:

|A - mI| = (1-m)^3 + 1 + 1 - (1-m) - (1-m) - (1-m) = (1-m)^3 - 3(1-m) + 2

Realizamos el cambio de variable $t = 1-m$ para resolver la ecuación polinómica $t^3 - 3t + 2 = 0$ . Aplicando la regla de Ruffini, observamos que $t = 1$ es una raíz:

t^3 - 3t + 2 = (t-1)^2(t+2) = 0

Las soluciones para $t$ son $t = 1$ y $t = -2$ . Deshacemos el cambio de variable para hallar $m$ :Si $t = 1 \implies 1 - m = 1 \implies m = 0$ .Si $t = -2 \implies 1 - m = -2 \implies m = 3$ .Por lo tanto, la matriz $A - mI$ no tiene inversa para $m = 0$ y $m = 3$ .

b) Halla

x

, distinto de cero, para que

A - xI

sea la inversa de la matriz

\frac{1}{x}(A - I)

Para que una matriz sea la inversa de otra, su producto debe ser la matriz identidad $I$ . Por tanto, planteamos la ecuación:

(A - xI) \cdot \left[ \frac{1}{x}(A - I) \right] = I

Multiplicando ambos miembros por $x$ (ya que $x \neq 0$ ):

(A - xI)(A - I) = xI

Desarrollamos el producto de matrices aplicando la propiedad distributiva:

A^2 - A - xIA + xI^2 = xI

A^2 - A - xA + xI = xI

Restando $xI$ en ambos lados obtenemos $A^2 - A - xA = 0$ , donde $0$ es la matriz nula. Calculamos $A^2$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3A

Sustituimos $A^2 = 3A$ en la ecuación simplificada:

3A - A - xA = 0 \implies 2A - xA = 0 \implies (2 - x)A = 0

Como la matriz $A$ no es la matriz nula, se debe cumplir que el escalar sea cero:

2 - x = 0 \implies x = 2

El valor buscado es $x = 2$ .