T1: Matrices y determinantes · Potencia de matrices y ecuaciones matriciales

Potencia de matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Calcula

A^{2024}

.b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica

A^2 X A + I = O

, donde

I

O

son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Potencia de una matrizEcuación matricialMatriz inversa

a) Calcula

A^{2024}

Para calcular las potencias de la matriz $A$ , la descomponemos como la suma de la matriz identidad $I$ y una matriz $B$ :

A = I + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos el cuadrado de la matriz $B$ :

B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O

Como $B^2 = O$ , entonces todas las potencias $B^k = O$ para $k \ge 2$ . Dado que $I$ y $B$ conmutan ( $IB = BI$ ), podemos aplicar el binomio de Newton para cualquier potencia natural $n$ :

A^n = (I + B)^n = I^n + n I^{n-1} B + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} B^2 + \dots = I + nB

Sustituyendo para $n = 2024$ , y teniendo en cuenta que $2024 \cdot \frac{1}{8} = 253$ :

A^{2024} = I + 2024B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2024 \begin{pmatrix} 0 & 1/8 & 1/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 253 & 253 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) Halla la matriz

X

, si es posible, que verifica

A^2 X A + I = O

, donde

I

O

son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente.

Primero, despejamos $X$ de la ecuación matricial. Dado que $|A| = 1 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible:

A^2 X A + I = O \implies A^2 X A = -I

Multiplicamos por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda y por $A^{-1}$ por la derecha:

X = (A^2)^{-1} (-I) A^{-1} = -A^{-2} A^{-1} = -A^{-3}

Usando la fórmula $A^n = I + nB$ , podemos deducir que la inversa es $A^{-n} = I - nB$ , ya que $(I+nB)(I-nB) = I - n^2 B^2 = I$ . Por tanto, calculamos $A^{-3}$ :

A^{-3} = I - 3B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3/8 & -3/8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos $X = -A^{-3}$ :

X = \begin{pmatrix} -1 & 3/8 & 3/8 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}