T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) Calcula

m

para que la matriz

A

tenga inversa.b) Para

m = 0

, resuelve, si es posible, la ecuación matricial

\frac{1}{2} AX + C^4 = B

MatricesInversa de una matrizEcuación matricial+1

a) Calcula

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por filas/columnas:

|A| = \begin{vmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{vmatrix}

Podemos simplificar el cálculo restando la segunda fila a la primera y a la tercera ( $F_1 \rightarrow F_1 - F_2$ y $F_3 \rightarrow F_3 - F_2$ ):

|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & m - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 2 & 0 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & m - 2 \\ m - 2 & m \end{vmatrix} = m^2 - (m - 2)^2

Desarrollamos la identidad notable:

|A| = m^2 - (m^2 - 4m + 4) = 4m - 4

Para que la matriz $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero:

4m - 4 \neq 0 \implies 4m \neq 4 \implies m \neq 1

Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

b) Para

m = 0

, resuelve, si es posible, la ecuación matricial

\frac{1}{2} AX + C^4 = B

Primero, comprobamos si la ecuación tiene solución. Para $m=0$ , el determinante es $|A| = 4(0) - 4 = -4$ , por lo que $A$ es invertible. Despejamos la matriz $X$ :

\frac{1}{2} AX = B - C^4 \implies AX = 2(B - C^4) \implies X = A^{-1} \cdot 2(B - C^4)

Calculamos las potencias de $C$ . Observamos que $C$ es una matriz de permutación simétrica:

C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Dado que $C^2 = I$ , entonces $C^4 = (C^2)^2 = I^2 = I$ . Calculamos ahora la parte derecha de la ecuación, $D = 2(B - I)$ :

D = 2 \left[ \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] = 2 \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de $A$ para $m=0$ . La matriz es $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ con $|A| = -4$ . Su matriz adjunta traspuesta es:

Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos $X = A^{-1} D$ :

X = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & 12 & -16 \\ -4 & -24 & -8 \\ -4 & 20 & -8 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}