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T1: Matrices y determinantes
Ecuaciones matriciales
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
5B
Examen

Sean las matrices

A=(m+11m−1111m−11m+1),B=(042004221) y C=(001010100)A = \begin{pmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
a) Calcula mm para que la matriz AA tenga inversa.b) Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, la ecuación matricial 12AX+C4=B\frac{1}{2} AX + C^4 = B.
MatricesInversa de una matrizEcuación matricial+1
a) Calcula mm para que la matriz AA tenga inversa.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz AA utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por filas/columnas:

∣A∣=∣m+11m−1111m−11m+1∣|A| = \begin{vmatrix} m + 1 & 1 & m - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 1 & 1 & m + 1 \end{vmatrix}

Podemos simplificar el cálculo restando la segunda fila a la primera y a la tercera (F1→F1−F2F_1 \rightarrow F_1 - F_2 y F3→F3−F2F_3 \rightarrow F_3 - F_2):

∣A∣=∣m0m−2111m−20m∣=1⋅∣mm−2m−2m∣=m2−(m−2)2|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & m - 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ m - 2 & 0 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & m - 2 \\ m - 2 & m \end{vmatrix} = m^2 - (m - 2)^2

Desarrollamos la identidad notable:

∣A∣=m2−(m2−4m+4)=4m−4|A| = m^2 - (m^2 - 4m + 4) = 4m - 4

Para que la matriz AA tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero:

4m−4≠0  ⟹  4m≠4  ⟹  m≠14m - 4 \neq 0 \implies 4m \neq 4 \implies m \neq 1

Por tanto, la matriz AA tiene inversa para cualquier valor real m∈R∖{1}m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.

b) Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, la ecuación matricial 12AX+C4=B\frac{1}{2} AX + C^4 = B.

Primero, comprobamos si la ecuación tiene solución. Para m=0m=0, el determinante es ∣A∣=4(0)−4=−4|A| = 4(0) - 4 = -4, por lo que AA es invertible. Despejamos la matriz XX:

12AX=B−C4  ⟹  AX=2(B−C4)  ⟹  X=A−1⋅2(B−C4)\frac{1}{2} AX = B - C^4 \implies AX = 2(B - C^4) \implies X = A^{-1} \cdot 2(B - C^4)

Calculamos las potencias de CC. Observamos que CC es una matriz de permutación simétrica:

C2=(001010100)(001010100)=(100010001)=IC^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Dado que C2=IC^2 = I, entonces C4=(C2)2=I2=IC^4 = (C^2)^2 = I^2 = I. Calculamos ahora la parte derecha de la ecuación, D=2(B−I)D = 2(B - I):

D=2[(042004221)−(100010001)]=2(−1420−14220)=(−2840−28440)D = 2 \left[ \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right] = 2 \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de AA para m=0m=0. La matriz es A=(11−1111−111)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} con ∣A∣=−4|A| = -4. Su matriz adjunta traspuesta es:

Adj(A)t=(0−22−20−22−20)  ⟹  A−1=−14(0−22−20−22−20)Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos X=A−1DX = A^{-1} D:

X=−14(0−22−20−22−20)(−2840−28440)=−14(812−16−4−24−8−420−8)X = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 8 & 12 & -16 \\ -4 & -24 & -8 \\ -4 & 20 & -8 \end{pmatrix}
X=(−2−341621−52)X = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}