T1: Matrices y determinantes · Matrices — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Matrices

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{pmatrix}

a) Indica para qué valores de

\alpha

la matriz

A

admite inversa.b) Para

\alpha = 1

determina, si es posible, la matriz inversa de

A

Inversa de una matrizDeterminantes

a) Indica para qué valores de

\alpha

la matriz

A

admite inversa.

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ( $|A| \neq 0$ ). Procedemos a calcular el determinante de la matriz $A$ :

|A| = \begin{vmatrix} \alpha & \alpha + 4 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha + 4 & \alpha \end{vmatrix}

Aplicando la regla de Sarrus para desarrollar el determinante:

|A| = (\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha) + (1 \cdot (\alpha + 4) \cdot 0) + (0 \cdot (\alpha + 4) \cdot 1) - [ 0 \cdot \alpha \cdot 0 + 1 \cdot (\alpha + 4) \cdot \alpha + (\alpha + 4) \cdot 1 \cdot \alpha ]

|A| = \alpha^3 - [ \alpha(\alpha + 4) + \alpha(\alpha + 4) ] = \alpha^3 - 2\alpha(\alpha + 4) = \alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$ :

\alpha^3 - 2\alpha^2 - 8\alpha = 0 \implies \alpha(\alpha^2 - 2\alpha - 8) = 0

Esto nos da una primera solución $\alpha = 0$ . Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado $\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$ :

\alpha = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}

Obtenemos los valores $\alpha = 4$ y $\alpha = -2$ . Por tanto, la matriz $A$ admite inversa para todos los valores de $\alpha$ excepto para $\alpha \in \{-2, 0, 4\}$ .

b) Para

\alpha = 1

determina, si es posible, la matriz inversa de

A

Puesto que $\alpha = 1$ no es una de las raíces del determinante calculadas en el apartado anterior, la matriz $A$ admite inversa. Sustituimos el valor $\alpha = 1$ en la matriz y calculamos el valor de su determinante:

A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad |A| = 1^3 - 2(1)^2 - 8(1) = 1 - 2 - 8 = -9

Calculamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$ calculando los menores correspondientes:

\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & -1 & 5 \\ -5 & 1 & -5 \\ 5 & -1 & -4 \end{pmatrix}

La matriz inversa $A^{-1}$ se obtiene mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$ :

A^{-1} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -4 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & -5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/9 & 5/9 & -5/9 \\ 1/9 & -1/9 & 1/9 \\ -5/9 & 5/9 & 4/9 \end{pmatrix}