Sistemas mecánicos — Tecnología e Ingeniería II PEvAU Madrid

T2: Sistemas mecánicos

Estática

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasReaccionesEsfuerzo cortante+1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a) Calcule las reacciones en los apoyos.

La viga es una viga simplemente apoyada con un apoyo articulado en A y un apoyo de rodillos en B. Las fuerzas de reacción son $R_A$ (vertical) y $H_A$ (horizontal) en A, y $R_B$ (vertical) en B.Aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático.Datos:

\begin{gathered} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \\ \sum M_A = 0 \end{gathered}

Fuerzas aplicadas: $F_1 = 1000 \text{ N}$ a $4 \text{ m}$ de A. $F_2 = 200 \text{ N}$ a $10 - 4 = 6 \text{ m}$ de A ( $4 \text{ m}$ desde B). Longitud total de la viga $L = 10 \text{ m}$ .Cálculo de las reacciones:1. Ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales:

\sum F_x = 0

H_A = 0

2. Ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto A:

\sum M_A = 0

(F_1 \cdot 4 \text{ m}) + (F_2 \cdot (10 \text{ m} - 4 \text{ m})) - (R_B \cdot 10 \text{ m}) = 0

(1000 \text{ N} \cdot 4 \text{ m}) + (200 \text{ N} \cdot 6 \text{ m}) - (R_B \cdot 10 \text{ m}) = 0

4000 \text{ N\textperiodcentered}m + 1200 \text{ N\textperiodcentered}m - 10R_B = 0

5200 \text{ N\textperiodcentered}m = 10R_B

R_B = \dfrac{5200 \text{ N\textperiodcentered}m}{10 \text{ m}}

R_B = 520 \text{ N}

3. Ecuación de equilibrio de fuerzas verticales:

\sum F_y = 0

R_A + R_B - F_1 - F_2 = 0

R_A + 520 \text{ N} - 1000 \text{ N} - 200 \text{ N} = 0

R_A + 520 \text{ N} - 1200 \text{ N} = 0

R_A - 680 \text{ N} = 0

R_A = 680 \text{ N}

Resultado:

\begin{gathered} H_A = 0 \text{ N} \\ R_A = 680 \text{ N} \\ R_B = 520 \text{ N} \end{gathered}

b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Se definen tres tramos para la viga:Tramo I: $0 \le x < 4 \text{ m}$ (desde A hasta la fuerza $F_1$ )Tramo II: $4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m}$ (desde la fuerza $F_1$ hasta la fuerza $F_2$ )Tramo III: $6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m}$ (desde la fuerza $F_2$ hasta B)Cálculo de las funciones de esfuerzo cortante $V(x)$ :Tramo I ( $0 \le x < 4 \text{ m}$ ):

V(x) = R_A

V(x) = 680 \text{ N}

Tramo II ( $4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m}$ ):

V(x) = R_A - F_1

V(x) = 680 \text{ N} - 1000 \text{ N}

V(x) = -320 \text{ N}

Tramo III ( $6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m}$ ):

V(x) = R_A - F_1 - F_2

V(x) = 680 \text{ N} - 1000 \text{ N} - 200 \text{ N}

V(x) = -520 \text{ N}

Verificación final del cortante en B: $V(10) = -520 \text{ N}$ . Al añadir $R_B = 520 \text{ N}$ , el cortante se cierra a $0 \text{ N}$ . Correcto.Cálculo de las funciones de momento flector $M(x)$ :Tramo I ( $0 \le x < 4 \text{ m}$ ):

M(x) = R_A \cdot x

M(x) = 680x \text{ N\textperiodcentered}m

\begin{gathered} M(0) = 0 \text{ N\textperiodcentered}m \\ M(4) = 680 \cdot 4 = 2720 \text{ N\textperiodcentered}m \end{gathered}

Tramo II ( $4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m}$ ):

M(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 4)

M(x) = 680x - 1000(x - 4) \text{ N\textperiodcenterexd}m

M(x) = 680x - 1000x + 4000 = -320x + 4000 \text{ N\textperiodcenterexd}m

M(4) = -320 \cdot 4 + 4000 = -1280 + 4000 = 2720 \text{ N\textperiodcenterexd}m

(Coincide con

M(4)$ del Tramo I)
$M(6) = -320 \cdot 6 + 4000 = -1920 + 4000 = 2080 \text{ N\textperiodcenterexd}m

Tramo III ( $6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m}$ ):

M(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 4) - F_2 \cdot (x - 6)

M(x) = 680x - 1000(x - 4) - 200(x - 6) \text{ N\textperiodcenterexd}m

M(x) = 680x - 1000x + 4000 - 200x + 1200 \text{ N\textperiodcenterexd}m

M(x) = -520x + 5200 \text{ N\textperiodcenterexd}m

M(6) = -520 \cdot 6 + 5200 = -3120 + 5200 = 2080 \text{ N\textperiodcenterexd}m

(Coincide con

M(6)$ del Tramo II)
$M(10) = -520 \cdot 10 + 5200 = -5200 + 5200 = 0 \text{ N\textperiodcenterexd}m \quad\text{(Coincide con el apoyo B. Correcto)}

Diagramas de esfuerzo cortante y momento flector:Diagrama de Esfuerzo Cortante $V(x)$ (N):

\begin{array}{|c|c|} \hline \mathbf{x (m)} & \mathbf{V(x) (N)} \\ \hline 0 & 680 \\ 4^- & 680 \\ 4^+ & -320 \\ 6^- & -320 \\ 6^+ & -520 \\ 10 & -520 \\ \hline \end{array}

Diagrama de Momento Flector $M(x)$ (N·m):

\begin{array}{|c|c|} \hline \mathbf{x (m)} & \mathbf{M(x) (N\textperiodcenterexd}m)} \\ \hline 0 & 0 \\ 4 & 2720 \\ 6 & 2080 \\ 10 & 0 \\ \hline \end{array}

T2: Sistemas mecánicos

Neumática

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

3.2

Se conoce que un cilindro de simple efecto produce un trabajo de $300 \text{ J}$ cuando la presión de aire que circula por el circuito es $5 \text{ bar}$ ( $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ N/m}^2$ ). Dicho cilindro contiene un muelle cuya resistencia es de $500 \text{ N}$ , y la carrera del pistón son $100 \text{ mm}$ . Se sabe además que el rendimiento del sistema de compresión del aire es del $80\%$ . Se pide:

a) Calcule la fuerza total necesaria para producir dicho trabajo.b) Obtenga el diámetro que debe tener el cilindro.c) Enumere los tres elementos que debe contener una unidad de mantenimiento de un circuito neumático. Dibuje el símbolo que identifica dicha unidad de mantenimiento.

Cilindro simple efectoNeumáticaFuerza+1

a)

Cálculo de la fuerza total necesaria.La fuerza útil es la necesaria para realizar el trabajo de 300 J. La fuerza total que debe ejercer el aire debe vencer tanto esta fuerza útil como la resistencia del muelle.Datos:

W = 300 \text{ J}

d = 100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}

F_{\text{muelle}} = 500 \text{ N}

Fórmulas:

W = F_{\text{útil}} \cdot d

F_{\text{total}} = F_{\text{útil}} + F_{\text{muelle}}

Sustitución:

F_{\text{útil}} = \frac{W}{d} = \frac{300 \text{ J}}{0.1 \text{ m}} = 3000 \text{ N}

F_{\text{total}} = 3000 \text{ N} + 500 \text{ N} = 3500 \text{ N}

Resultado:

F_{\text{total}} = 3500 \text{ N}

b)

Cálculo del diámetro del cilindro.La presión del aire actúa sobre la superficie del pistón para generar la fuerza total calculada en el apartado anterior.Datos:

F_{\text{total}} = 3500 \text{ N} \quad\text{(de apartado a))}

P = 5 \text{ bar} = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2

Fórmulas:

P = \frac{F_{\text{total}}}{S}

S = \frac{\pi D^2}{4} \implies D = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}

Sustitución:

S = \frac{3500 \text{ N}}{5 \times 10^5 \text{ N/m}^2} = 0.007 \text{ m}^2

D = \sqrt{\frac{4 \cdot 0.007 \text{ m}^2}{\pi}} = \sqrt{\frac{0.028}{\pi}} \text{ m} \approx \sqrt{0.0089126} \text{ m} \approx 0.09441 \text{ m}

Resultado:

D = 0.0944 \text{ m}

c)

Elementos de la unidad de mantenimiento y su símbolo.Una unidad de mantenimiento de un circuito neumático debe contener los siguientes tres elementos:1. Filtro (para eliminar impurezas y condensación del aire).2. Regulador de presión (para mantener una presión de trabajo constante y adecuada).3. Lubricador (para añadir una fina niebla de aceite al aire, lubricando los elementos móviles del circuito).El símbolo que identifica la unidad de mantenimiento es una combinación de los símbolos individuales de un filtro, un regulador de presión y un lubricador, representados en un único bloque. A continuación se representan los símbolos individuales de los componentes disponibles en la lista, y se describe el símbolo completo de la unidad de mantenimiento.

Símbolo del filtro.

Símbolo del lubricador.El regulador de presión se representa con un rombo con una flecha en su interior (para indicar la regulación) y un manómetro (para indicar la presión regulada). El símbolo combinado de la unidad de mantenimiento agrupa estos tres símbolos (filtro, regulador y lubricador) dentro de un único rectángulo o recuadro, manteniendo la secuencia de flujo del aire.

T2: Sistemas mecánicos

Estática y resistencia de materiales

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.b) Calcule las reacciones en los apoyos.c) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasReaccionesMomento flector+1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a)

Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.Datos La viga presenta un apoyo simple en el extremo A y un apoyo de rodillos en el extremo B.Fórmulas No aplica fórmula directa para la clasificación.Sustitución Se observa la configuración de apoyos en la figura proporcionada.Resultado La viga es una viga simplemente apoyada o viga isostática.

b)

Calcule las reacciones en los apoyos.Datos

F_1 = 1300 \, N

(hacia abajo) en

x_1 = 5 \, m$ desde el apoyo A.

F_2 = 800 \, N

(hacia arriba) en

x_2 = 7 \, m

desde el apoyo A (a

5 \, m

del apoyo B).
Longitud total de la viga $L = 12 \, m

Fórmulas

Ecuaciones de equilibrio estático:
1)

\sum F_y = 0

(suma de fuerzas verticales igual a cero).
2)

\sum M_A = 0

(suma de momentos respecto al apoyo A igual a cero).

Sustitución

\begin{gathered} Consideramos las reacciones $R_A$ y $R_B$ como fuerzas verticales hacia arriba. 1) Ecuación de equilibrio de fuerzas verticales: $R_A - F_1 + F_2 + R_B = 0 \\ R_A - 1300 \, N + 800 \, N + R_B = 0 \\ R_A + R_B = 500 \, N$ 2) Ecuación de equilibrio de momentos respecto al apoyo A (sentido antihorario positivo): $-F_1 \cdot x_1 + F_2 \cdot x_2 + R_B \cdot L = 0 \\ -1300 \, N \cdot 5 \, m + 800 \, N \cdot 7 \, m + R_B \cdot 12 \, m = 0 \\ -6500 \, N \cdot m + 5600 \, N \cdot m + 12 R_B \, m = 0 \\ -900 \, N \cdot m + 12 R_B \, m = 0 \\ 12 R_B = 900 \, N \end{gathered}

Resultado

\begin{gathered} R_B = \frac{900}{12} = 75 \, N$ Sustituimos $R_B$ en la ecuación de fuerzas verticales: $R_A + 75 \, N = 500 \, N \\ R_A = 500 \, N - 75 \, N \\ R_A = 425 \, N \end{gathered}

c)

Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.Datos

\begin{gathered} Reacciones en los apoyos: $R_A = 425 \, N$ (hacia arriba) $R_B = 75 \, N$ (hacia arriba) Fuerzas aplicadas: $F_1 = 1300 \, N$ (hacia abajo) en $x = 5 \, m \\ F_2 = 800 \, N$ (hacia arriba) en $x = 7 \, m \end{gathered}

Fórmulas

El esfuerzo cortante

V(x)

se calcula como la suma algebraica de las fuerzas verticales a la izquierda de la sección.
El momento flector

M(x)

se calcula como la suma algebraica de los momentos de las fuerzas a la izquierda de la sección (momentos que producen compresión en la parte superior de la viga se consideran positivos).

Sustitución

\begin{gathered} Definimos las secciones de la viga, tomando el origen en el apoyo A ($x=0$): **Sección 1: $0 \le x < 5 \, m$** **Esfuerzo cortante $V_1(x)$:** $V_1(x) = R_A \\ V_1(x) = 425 \, N$ **Momento flector $M_1(x)$:** $M_1(x) = R_A \cdot x \\ M_1(x) = 425x \, N \cdot m$ En $x=0$: $M_1(0) = 0 \, N \cdot m$ En $x=5 \, m$: $M_1(5) = 425 \cdot 5 = 2125 \, N \cdot m$ **Sección 2: $5 \, m \le x < 7 \, m$** **Esfuerzo cortante $V_2(x)$:** $V_2(x) = R_A - F_1 \\ V_2(x) = 425 \, N - 1300 \, N \\ V_2(x) = -875 \, N$ **Momento flector $M_2(x)$:** $M_2(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 5) \\ M_2(x) = 425x - 1300(x - 5) \, N \cdot m$ En $x=5 \, m$: $M_2(5) = 425 \cdot 5 - 1300 \cdot (5 - 5) = 2125 \, N \cdot m$ En $x=7 \, m$: $M_2(7) = 425 \cdot 7 - 1300 \cdot (7 - 5) = 2975 - 1300 \cdot 2 = 2975 - 2600 = 375 \, N \cdot m$ **Sección 3: $7 \, m \le x < 12 \, m$** **Esfuerzo cortante $V_3(x)$:** $V_3(x) = R_A - F_1 + F_2 \\ V_3(x) = 425 \, N - 1300 \, N + 800 \, N \\ V_3(x) = -875 \, N + 800 \, N \\ V_3(x) = -75 \, N$ **Momento flector $M_3(x)$:** $M_3(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 5) + F_2 \cdot (x - 7) \\ M_3(x) = 425x - 1300(x - 5) + 800(x - 7) \, N \cdot m$ En $x=7 \, m$: $M_3(7) = 425 \cdot 7 - 1300 \cdot (7 - 5) + 800 \cdot (7 - 7) = 2975 - 2600 + 0 = 375 \, N \cdot m$ En $x=12 \, m$ (apoyo B): $M_3(12) = 425 \cdot 12 - 1300 \cdot (12 - 5) + 800 \cdot (12 - 7) \\ M_3(12) = 5100 - 1300 \cdot 7 + 800 \cdot 5 \\ M_3(12) = 5100 - 9100 + 4000 = 9100 - 9100 = 0 \, N \cdot m \end{gathered}

Resultado

Los valores clave para la representación de los diagramas son:

• \textbf{Diagrama de Esfuerzo Cortante ( $V$ ):}

\begin{itemize}

• De $x=0$ a $x=5 \, m$ : El esfuerzo cortante es constante e igual a $V = 425 \, N$ .

• En $x=5 \, m$ : Hay un salto descendente debido a la fuerza $F_1$ . El cortante cambia de $425 \, N$ a $425 - 1300 = -875 \, N$ .

• De $x=5 \, m$ a $x=7 \, m$ : El esfuerzo cortante es constante e igual a $V = -875 \, N$ .

• En $x=7 \, m$ : Hay un salto ascendente debido a la fuerza $F_2$ . El cortante cambia de $-875 \, N$ a $-875 + 800 = -75 \, N$ .

• De $x=7 \, m$ a $x=12 \, m$ : El esfuerzo cortante es constante e igual a $V = -75 \, N$ .

• En $x=12 \, m$ : Hay un salto ascendente debido a la reacción $R_B$ . El cortante cambia de $-75 \, N$ a $-75 + 75 = 0 \, N$ .

\item \textbf{Diagrama de Momento Flector ( $M$ ):}

• En $x=0 \, m$ : El momento flector es $M = 0 \, N \cdot m$ .

• De $x=0$ a $x=5 \, m$ : El momento flector varía linealmente de $0$ a $M(5) = 2125 \, N \cdot m$ .

• De $x=5$ a $x=7 \, m$ : El momento flector varía linealmente de $M(5) = 2125 \, N \cdot m$ a $M(7) = 375 \, N \cdot m$ .

• De $x=7$ a $x=12 \, m$ : El momento flector varía linealmente de $M(7) = 375 \, N \cdot m$ a $M(12) = 0 \, N \cdot m$ .

• Los puntos de máximo/mínimo momento (donde el cortante cruza el eje cero) son $x=5 \, m$ con $M = 2125 \, N \cdot m$ y $x=7 \, m$ con $M = 375 \, N \cdot m$ .

\end{itemize}

T2: Sistemas mecánicos

Termodinámica

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

3.2

Para la climatización de una caravana se emplea una bomba de calor que funciona según el ciclo de Carnot reversible entre dos focos a temperaturas de $8^\circ\text{C}$ y $28^\circ\text{C}$ . Si la potencia útil del compresor es de $2,7\text{ kW}$ , calcule:

a) La eficiencia de la bomba si funciona como una máquina calorífica.b) La eficiencia de la bomba si funciona como una máquina frigorífica.c) El calor por unidad de tiempo aportado a la caravana cuando la bomba funciona como máquina calorífica.d) El calor por unidad de tiempo retirado de la caravana cuando la bomba funciona como máquina frigorífica.

Bomba de calorCiclo de CarnotEficiencia térmica+1

a)

Cálculo de la eficiencia de la bomba si funciona como una máquina calorífica.Datos:

T_{\text{f}} = 8^{\circ}\text{C} = (8 + 273.15)\text{ K} = 281.15\text{ K}

T_{\text{c}} = 28^{\circ}\text{C} = (28 + 273.15)\text{ K} = 301.15\text{ K}

Fórmulas:

La eficiencia de una bomba de calor (máquina calorífica) que funciona según el ciclo de Carnot reversible se define como:

\varepsilon_{\text{bomba}} = \dfrac{T_{\text{c}}}{T_{\text{c}} - T_{\text{f}}}

Sustitución:

\varepsilon_{\text{bomba}} = \dfrac{301.15\text{ K}}{301.15\text{ K} - 281.15\text{ K}}

\varepsilon_{\text{bomba}} = \dfrac{301.15\text{ K}}{20\text{ K}}

Resultado:

\varepsilon_{\text{bomba}} = 15.0575

b)

Cálculo de la eficiencia de la bomba si funciona como una máquina frigorífica.Datos:

T_{\text{f}} = 281.15\text{ K}

T_{\text{c}} = 301.15\text{ K}

Fórmulas:

La eficiencia de una máquina frigorífica (refrigerador) que funciona según el ciclo de Carnot reversible se define como:

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = \dfrac{T_{\text{f}}}{T_{\text{c}} - T_{\text{f}}}

Sustitución:

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = \dfrac{281.15\text{ K}}{301.15\text{ K} - 281.15\text{ K}}

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = \dfrac{281.15\text{ K}}{20\text{ K}}

Resultado:

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = 14.0575

c)

Cálculo del calor por unidad de tiempo aportado a la caravana cuando la bomba funciona como máquina calorífica.Datos:

\varepsilon_{\text{bomba}} = 15.0575

W = 2.7\text{ kW}

Fórmulas:

La eficiencia de una bomba de calor también se expresa como la relación entre el calor cedido al foco caliente ($Q_{\text{c}}$) y el trabajo ($W$) realizado sobre el sistema:

\varepsilon_{\text{bomba}} = \dfrac{Q_{\text{c}}}{W} \implies Q_{\text{c}} = \varepsilon_{\text{bomba}} \cdot W

Sustitución:

Q_{\text{c}} = 15.0575 \cdot 2.7\text{ kW}

Resultado:

Q_{\text{c}} = 40.65525\text{ kW}

d)

Cálculo del calor por unidad de tiempo retirado de la caravana cuando la bomba funciona como máquina frigorífica.Datos:

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = 14.0575

W = 2.7\text{ kW}

Fórmulas:

undefined

\varepsilon_{\text{frigorífica}} = \dfrac{Q_{\text{f}}}{W} \implies Q_{\text{f}} = \varepsilon_{\text{frigorífica}} \cdot W

Sustitución:

Q_{\text{f}} = 14.0575 \cdot 2.7\text{ kW}

Resultado:

Q_{\text{f}} = 37.95525\text{ kW}

T2: Sistemas mecánicos

Estática

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

Cuestión 3.1. De la viga que se muestra en la figura:

a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasEsfuerzo cortanteMomento flector

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a) Calcule las reacciones en los apoyos.

La viga es una viga simplemente apoyada con un voladizo. El apoyo A es fijo (articulación), con reacciones vertical ( $R_{Ay}$ ) y horizontal ( $R_{Ax}$ ). El apoyo B es un rodillo, con reacción vertical ( $R_{By}$ ). La carga distribuida $q$ se transforma en una fuerza resultante $F_q$ para el cálculo de las reacciones.Datos

q = 2000 \text{ N/m}

L_{\text{total}} = 3 \text{ m}

L_{AB} = 2 \text{ m}

Fórmulas

\sum F_x = 0

\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - F_q = 0

\sum M_A = 0 \Rightarrow R_{By} \cdot L_{AB} - F_q \cdot x_{\text{aplicación F_q}} = 0

Sustitución 1. Cálculo de la fuerza resultante de la carga distribuida:

F_q = q \cdot L_{\text{total}} = 2000 \text{ N/m} \cdot 3 \text{ m} = 6000 \text{ N}

Esta fuerza actúa en el centro de la viga, a $1.5 \text{ m}$ del apoyo A.2. Ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales:

\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} = 0

3. Ecuación de equilibrio de momentos respecto al apoyo A:

\sum M_A = 0

R_{By} \cdot 2 \text{ m} - 6000 \text{ N} \cdot 1.5 \text{ m} = 0

R_{By} \cdot 2 \text{ m} - 9000 \text{ Nm} = 0

R_{By} = \frac{9000 \text{ Nm}}{2 \text{ m}} = 4500 \text{ N}

4. Ecuación de equilibrio de fuerzas verticales:

\sum F_y = 0

R_{Ay} + R_{By} - F_q = 0

R_{Ay} + 4500 \text{ N} - 6000 \text{ N} = 0

R_{Ay} = 6000 \text{ N} - 4500 \text{ N} = 1500 \text{ N}

Resultado

R_{Ax} = 0 \text{ N}

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

R_{By} = 4500 \text{ N}

b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Se dividirá la viga en dos tramos para el análisis de esfuerzos.Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m}$ (desde A hasta B)Datos

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

q = 2000 \text{ N/m}

Fórmulas

V_1(x) = R_{Ay} - q \cdot x

M_1(x) = R_{Ay} \cdot x - \frac{q \cdot x^2}{2}

Sustitución

V_1(x) = 1500 - 2000x

M_1(x) = 1500x - 1000x^2

Resultado (valores en puntos clave del tramo 1)

V_1(0) = 1500 \text{ N}

V_1(2^-) = 1500 - 2000(2) = -2500 \text{ N}

El cortante es cero en $x = \frac{1500}{2000} = 0.75 \text{ m}$ .

M_1(0) = 0 \text{ Nm}

M_1(0.75) = 1500(0.75) - 1000(0.75)^2 = 1125 - 562.5 = 562.5 \text{ Nm}

M_1(2) = 1500(2) - 1000(2)^2 = 3000 - 4000 = -1000 \text{ Nm}

Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m}$ (desde B hasta el extremo derecho)Datos

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

R_{By} = 4500 \text{ N}

q = 2000 \text{ N/m}

Fórmulas

V_2(x) = R_{Ay} + R_{By} - q \cdot x

M_2(x) = R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x-2) - \frac{q \cdot x^2}{2}

Sustitución

V_2(x) = 1500 + 4500 - 2000x = 6000 - 2000x

M_2(x) = 1500x + 4500(x-2) - 1000x^2

Resultado (valores en puntos clave del tramo 2)

V_2(2^+) = 6000 - 2000(2) = 2000 \text{ N}

V_2(3) = 6000 - 2000(3) = 0 \text{ N}

M_2(2) = 1500(2) + 4500(2-2) - 1000(2^2) = 3000 + 0 - 4000 = -1000 \text{ Nm}

M_2(3) = 1500(3) + 4500(3-2) - 1000(3^2) = 4500 + 4500 - 9000 = 0 \text{ Nm}

Diagramas Diagrama de Esfuerzo Cortante $V(x)$ :Comienza en $x=0$ con un valor positivo de $1500 \text{ N}$ ( $R_{Ay}$ ). Decrece linealmente debido a la carga distribuida. Cruza el eje cero en $x = 0.75 \text{ m}$ . Continúa decreciendo hasta un valor de $-2500 \text{ N}$ justo antes de $x=2 \text{ m}$ . En $x=2 \text{ m}$ hay un salto positivo debido a la reacción $R_{By}$ de $4500 \text{ N}$ , lo que eleva el valor a $-2500 + 4500 = 2000 \text{ N}$ . Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el cortante decrece linealmente hasta un valor de $0 \text{ N}$ en el extremo final de la viga ( $x=3 \text{ m}$ ). Diagrama de Momento Flector $M(x)$ :Comienza en $x=0$ con un valor de $0 \text{ Nm}$ (apoyo articulado). Aumenta parabólicamente hasta un máximo positivo de $562.5 \text{ Nm}$ en $x = 0.75 \text{ m}$ (donde el cortante es cero). A partir de ahí, disminuye parabólicamente, pasando por $M=0$ y alcanzando un mínimo negativo de $-1000 \text{ Nm}$ en $x=2 \text{ m}$ (sobre el apoyo B). Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el momento aumenta parabólicamente (volviéndose menos negativo) hasta un valor de $0 \text{ Nm}$ en el extremo final de la viga ( $x=3 \text{ m}$ ), como corresponde a un extremo libre sin momento concentrado.

T2: Sistemas mecánicos

Termodinámica

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

3.2

Cuestión 3.2. Se dispone de un aparato de aire acondicionado con bomba de calor para mantener constante la temperatura de un recinto a $25 ^\circ\text{C}$ en todo momento. Suponga que en el exterior del recinto la temperatura media en verano es de $35 ^\circ\text{C}$ , mientras que en invierno es de $5 ^\circ\text{C}$ . El aparato de aire acondicionado tiene una eficiencia del $60\%$ de la ideal, una potencia de $2000 \text{ W}$ y está funcionando durante $5 \text{ horas}$ al día.

a) Calcule la máxima eficiencia en invierno y en verano.b) Determine la cantidad de calor aportada al recinto en un día de invierno y en un día de verano.

Bomba de calorEficienciaCiclo de Carnot

a)

Cálculo de la máxima eficiencia en invierno (bomba de calor):Datos:

T_{\text{recinto}} = T_c = 25 \ ^\circ\text{C} = (25 + 273.15)\text{ K} = 298.15\text{ K}

T_{\text{exterior, invierno}} = T_f = 5 \ ^\circ\text{C} = (5 + 273.15)\text{ K} = 278.15\text{ K}

Fórmulas:

\varepsilon_{\text{ideal, invierno}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

Sustitución:

\varepsilon_{\text{ideal, invierno}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{298.15\text{ K} - 278.15\text{ K}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{20\text{ K}}

Resultado:

\varepsilon_{\text{ideal, invierno}} = 14.9075

Cálculo de la máxima eficiencia en verano (frigorífica):Datos:

T_{\text{exterior, verano}} = T_c = 35 \ ^\circ\text{C} = (35 + 273.15)\text{ K} = 308.15\text{ K}

T_{\text{recinto}} = T_f = 25 \ ^\circ\text{C} = (25 + 273.15)\text{ K} = 298.15\text{ K}

Fórmulas:

\varepsilon_{\text{ideal, verano}} = \dfrac{T_f}{T_c - T_f}

Sustitución:

\varepsilon_{\text{ideal, verano}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{308.15\text{ K} - 298.15\text{ K}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{10\text{ K}}

Resultado:

\varepsilon_{\text{ideal, verano}} = 29.815

b)

Determinación de la cantidad de calor aportada al recinto en invierno:Datos:

P = 2000\text{ W}

t = 5\text{ h} = 5 \times 3600\text{ s} = 18000\text{ s}

\varepsilon_{\text{ideal, invierno}} = 14.9075

\eta = 60\% = 0.60

Fórmulas:

\varepsilon_{\text{real, invierno}} = \eta \cdot \varepsilon_{\text{ideal, invierno}}

W = P \cdot t

Q_{\text{c, invierno}} = \varepsilon_{\text{real, invierno}} \cdot W

Sustitución:

\varepsilon_{\text{real, invierno}} = 0.60 \cdot 14.9075 = 8.9445

W = 2000\text{ W} \cdot 18000\text{ s} = 36 \times 10^6\text{ J}

Q_{\text{c, invierno}} = 8.9445 \cdot 36 \times 10^6\text{ J}

Resultado:

Q_{\text{c, invierno}} = 322.002 \times 10^6\text{ J}

Determinación de la cantidad de calor retirada del recinto en verano (aire acondicionado):Datos:

P = 2000\text{ W}

t = 5\text{ h} = 18000\text{ s}

\varepsilon_{\text{ideal, verano}} = 29.815

\eta = 60\% = 0.60

Fórmulas:

\varepsilon_{\text{real, verano}} = \eta \cdot \varepsilon_{\text{ideal, verano}}

W = P \cdot t

Q_{\text{f, verano}} = \varepsilon_{\text{real, verano}} \cdot W

Sustitución:

\varepsilon_{\text{real, verano}} = 0.60 \cdot 29.815 = 17.889

W = 2000\text{ W} \cdot 18000\text{ s} = 36 \times 10^6\text{ J}

Q_{\text{f, verano}} = 17.889 \cdot 36 \times 10^6\text{ J}

Resultado:

Q_{\text{f, verano}} = 644.004 \times 10^6\text{ J}

T2: Sistemas mecánicos

Estática

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasReacciones en apoyosEsfuerzo cortante+1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a) Cálculo de las reacciones en los apoyos

Tipo de viga: Viga simplemente apoyada con voladizo. El apoyo A es una articulación, por lo que presenta dos reacciones ( $R_{Ax}$ , $R_{Ay}$ ). El apoyo B es un rodillo, por lo que presenta una reacción vertical ( $R_{By}$ ). La carga $P$ es una fuerza puntual descendente.

Datos

P = 400\,N

L_1 = 2\,m \quad\text{(distancia de A a B)}

L_2 = 1\,m \quad\text{(distancia de B a P)}

L_{\text{total}} = L_1 + L_2 = 3\,m

Fórmulas

Para el equilibrio estático de la viga, se aplican las ecuaciones de equilibrio:

\sum F_x = 0 \quad \text{(Sumatorio de fuerzas horizontales)}

\sum F_y = 0 \quad \text{(Sumatorio de fuerzas verticales)}

\sum M_A = 0 \quad \text{(Sumatorio de momentos respecto al apoyo A)}

Sustitución

1. Sumatorio de fuerzas horizontales:

\sum F_x = R_{Ax} = 0

2. Sumatorio de momentos respecto al apoyo A (sentido antihorario positivo):

\sum M_A = R_{By} \cdot L_1 - P \cdot (L_1 + L_2) = 0

R_{By} \cdot (2\,m) - 400\,N \cdot (2\,m + 1\,m) = 0

2 R_{By} - 400\,N \cdot 3\,m = 0

2 R_{By} - 1200\,N \cdot m = 0

R_{By} = \frac{1200\,N \cdot m}{2\,m}

R_{By} = 600\,N

3. Sumatorio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

\sum F_y = R_{Ay} + R_{By} - P = 0

R_{Ay} + 600\,N - 400\,N = 0

R_{Ay} + 200\,N = 0

R_{Ay} = -200\,N

Resultado

R_{Ax} = 0\,N

R_{Ay} = -200\,N \quad \text{(La dirección real es hacia abajo)}

R_{By} = 600\,N \quad \text{(La dirección real es hacia arriba)}

b) Representación de los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector

Se define el origen de coordenadas en el apoyo A ( $x=0\,m$ ). Los tramos a considerar son desde $x=0\,m$ hasta $x=2\,m$ (apoyo B) y desde $x=2\,m$ hasta $x=3\,m$ (carga P).

Funciones del esfuerzo cortante V(x)

Tramo 1: $0 \le x < 2\,m$ (desde A hasta antes de B)

Se considera la fuerza $R_{Ay}$ que actúa a la izquierda de la sección.

Fórmulas

V(x) = R_{Ay}

Sustitución

V(x) = -200\,N

Resultado

V(x) = -200\,N

Tramo 2: $2\,m \le x < 3\,m$ (desde después de B hasta antes de P)

Se consideran las fuerzas $R_{Ay}$ y $R_{By}$ que actúan a la izquierda de la sección.

Fórmulas

V(x) = R_{Ay} + R_{By}

Sustitución

V(x) = -200\,N + 600\,N

Resultado

V(x) = 400\,N

Funciones del momento flector M(x)

Tramo 1: $0 \le x < 2\,m$ (desde A hasta antes de B)

Se considera el momento generado por la fuerza $R_{Ay}$ a la izquierda de la sección.

Fórmulas

M(x) = R_{Ay} \cdot x

Sustitución

M(x) = -200\,N \cdot x

Resultado

M(x) = -200x \text{ N}\cdot\text{m}

Tramo 2: $2\,m \le x \le 3\,m$ (desde después de B hasta P)

Se consideran los momentos generados por las fuerzas $R_{Ay}$ y $R_{By}$ a la izquierda de la sección.

Fórmulas

M(x) = R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x - L_1)

Sustitución

M(x) = -200\,N \cdot x + 600\,N \cdot (x - 2\,m)

M(x) = -200x + 600x - 1200

Resultado

M(x) = (400x - 1200) \text{ N}\cdot\text{m}

Valores significativos para los diagramas

Esfuerzo cortante V(x)

Sustitución

V(0) = -200\,N

V(2^-) = -200\,N

V(2^+) = 400\,N

V(3^-) = 400\,N

V(3^+) = V(3^-) - P = 400\,N - 400\,N = 0\,N

Momento flector M(x)

Sustitución

M(0) = -200 \cdot 0 = 0\,N \cdot m

M(2) = -200 \cdot 2 = -400\,N \cdot m

M(3) = 400 \cdot 3 - 1200 = 1200 - 1200 = 0\,N \cdot m

Descripción de los diagramas

Diagrama de Esfuerzo Cortante (V(x))

El diagrama de esfuerzo cortante presenta un valor constante de $-200\,N$ desde $x=0\,m$ hasta el apoyo B en $x=2\,m$ . En el apoyo B ( $x=2\,m$ ), experimenta un salto vertical ascendente de $600\,N$ debido a la reacción $R_{By}$ , pasando de $-200\,N$ a $400\,N$ . Desde $x=2\,m$ hasta el extremo final de la viga en $x=3\,m$ , el valor del esfuerzo cortante se mantiene constante en $400\,N$ . En el extremo final ( $x=3\,m$ ), el diagrama cierra a cero debido a la carga puntual $P$ de $400\,N$ aplicada hacia abajo.

Diagrama de Momento Flector (M(x))

El diagrama de momento flector comienza en $M(0)=0\,N \cdot m$ en el apoyo A (articulación). Decrece linealmente desde $0\,N \cdot m$ hasta un valor de $M(2)=-400\,N \cdot m$ en el apoyo B. La pendiente de esta sección es de $-200\,N$ . Desde el apoyo B ( $x=2\,m$ ) hasta el extremo final de la viga en $x=3\,m$ , el momento flector aumenta linealmente desde $-400\,N \cdot m$ hasta $M(3)=0\,N \cdot m$ en el punto de aplicación de la carga $P$ . La pendiente de esta sección es de $400\,N$ .

T2: Sistemas mecánicos

Termodinámica

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

3.2

Empleando como calefacción una bomba de calor, para mantener el interior de una vivienda a una temperatura de $25^\circ\text{C}$ cuando en el exterior es de $-2^\circ\text{C}$ , se necesitan suministrar $5000\text{ MJ}$ al día al foco caliente. Se pide:

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Si el rendimiento del ciclo operativo real es el $20\%$ del ciclo de Carnot:

b) Determine la potencia consumida por la bomba.c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Bomba de calorCiclo de CarnotRendimiento+1

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Primero, se convierten las temperaturas a Kelvin y la energía a Julios.

Datos

T_c = 25^\circ\text{C} = (25 + 273.15)\text{ K} = 298.15\text{ K}

T_f = -2^\circ\text{C} = (-2 + 273.15)\text{ K} = 271.15\text{ K}

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

t = 1\text{ día} = 24\text{ h} \times 3600\text{ s/h} = 86400\text{ s}

Fórmulas

El coeficiente de operación (COP) para una bomba de calor de Carnot es:

\varepsilon_{\text{Carnot}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

El trabajo consumido por día es:

W_{\text{Carnot}} = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_{\text{Carnot}}}

La potencia teórica es:

P_{\text{Carnot}} = \dfrac{W_{\text{Carnot}}}{t}

Sustitución

Cálculo del COP de Carnot:

\varepsilon_{\text{Carnot}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{298.15\text{ K} - 271.15\text{ K}} = \dfrac{298.15}{27} \approx 11.0426

Cálculo del trabajo teórico consumido por día:

W_{\text{Carnot}} = \dfrac{5000 \times 10^6\text{ J}}{11.0426} \approx 4.5270 \times 10^8\text{ J}

Cálculo de la potencia teórica:

P_{\text{Carnot}} = \dfrac{4.5270 \times 10^8\text{ J}}{86400\text{ s}} \approx 5239.58\text{ W}

Resultado

P_{\text{Carnot}} = 5.24\text{ kW}

b) Determine la potencia consumida por la bomba.

Datos

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

t = 86400\text{ s}

\varepsilon_{\text{Carnot}} \approx 11.0426

\text{Rendimiento del ciclo real} = 20\%\text{ del ciclo de Carnot}

Fórmulas

El COP del ciclo operativo real es:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.20 \cdot \varepsilon_{\text{Carnot}}

El trabajo real consumido por día es:

W_{\text{real}} = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_{\text{real}}}

La potencia real consumida es:

P_{\text{real}} = \dfrac{W_{\text{real}}}{t}

Sustitución

Cálculo del COP real:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.20 \cdot 11.0426 = 2.20852

Cálculo del trabajo real consumido por día:

W_{\text{real}} = \dfrac{5000 \times 10^6\text{ J}}{2.20852} \approx 2.2630 \times 10^9\text{ J}

Cálculo de la potencia consumida:

P_{\text{real}} = \dfrac{2.2630 \times 10^9\text{ J}}{86400\text{ s}} \approx 26192.13\text{ W}

Resultado

P_{\text{real}} = 26.19\text{ kW}

c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Datos

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

W_{\text{real}} \approx 2.2630 \times 10^9\text{ J/día}

Fórmulas

Para una bomba de calor, la relación entre el calor cedido al foco caliente ( $Q_c$ ), el calor absorbido del foco frío ( $Q_f$ ) y el trabajo consumido ( $W$ ) es:

Q_c = Q_f + W_{\text{real}}

Despejando el calor absorbido del foco frío:

Q_f = Q_c - W_{\text{real}}

Sustitución

Q_f = (5000 \times 10^6\text{ J}) - (2.2630 \times 10^9\text{ J})

Q_f = (5000 \times 10^6\text{ J}) - (2263 \times 10^6\text{ J})

Q_f = 2737 \times 10^6\text{ J}

Resultado

Q_f = 2737\text{ MJ/día}

T2: Sistemas mecánicos

Estructuras

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

4

De la viga que se muestra en la figura:

a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.b) Calcule las reacciones en los apoyos.c) Represente los diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector.

VigaReacciones en apoyosEsfuerzo cortante+1

a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.

La viga tiene un apoyo de primera especie (articulación fija) en el punto A y un apoyo de segunda especie (rodillo o deslizante) en el punto B. Esta configuración corresponde a una viga simplemente apoyada.

b) Calcule las reacciones en los apoyos.

Para el cálculo de las reacciones, se establecen las ecuaciones de equilibrio estático.Se consideran las siguientes reacciones en los apoyos:- En el apoyo A (articulación fija): una reacción vertical $R_{Ay}$ y una reacción horizontal $R_{Ax}$ .- En el apoyo B (rodillo): una reacción vertical $R_{By}$ .Se toma el sentido positivo para las fuerzas verticales hacia arriba y para las horizontales hacia la derecha. Los momentos se consideran positivos en sentido antihorario.

\begin{gathered} Datos: $F = 40 \text{ kN} \\ L_1 = 1 \text{ m}$ (distancia de A a la carga) $L_2 = 3 \text{ m}$ (distancia de la carga a B) $L_{\text{total}} = L_1 + L_2 = 4 \text{ m}$ (longitud total de la viga) \end{gathered}

\begin{gathered} Fórmulas: $\sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \\ \sum M_A = 0$ (suma de momentos respecto al apoyo A) \end{gathered}

Sustitución:
1. \quad Ecuación de equilibrio horizontal:
$\sum F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0

\begin{gathered} 2. \quad Ecuación de equilibrio de momentos respecto a A: Se toma A como punto de referencia para los momentos. $\sum M_A = 0 \implies -F \cdot L_1 + R_{By} \cdot (L_1 + L_2) = 0 \\ -40 \text{ kN} \cdot 1 \text{ m} + R_{By} \cdot 4 \text{ m} = 0 \\ R_{By} \cdot 4 \text{ m} = 40 \text{ kN} \cdot 1 \text{ m} \\ R_{By} = \frac{40 \text{ kN} \cdot 1 \text{ m}}{4 \text{ m}} \end{gathered}

Resultado:
$R_{By} = 10 \text{ kN}

\begin{gathered} Sustitución: 3. \quad Ecuación de equilibrio vertical: $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} - F = 0 \\ R_{Ay} + 10 \text{ kN} - 40 \text{ kN} = 0 \\ R_{Ay} = 40 \text{ kN} - 10 \text{ kN} \end{gathered}

Resultado:
$R_{Ay} = 30 \text{ kN}

\begin{gathered} Las reacciones en los apoyos son: $R_{Ax} = 0 \text{ kN} \\ R_{Ay} = 30 \text{ kN} \\ R_{By} = 10 \text{ kN} \end{gathered}

c) Represente los diagramas del esfuerzo cortante y del momento flector.

Se definen las funciones de esfuerzo cortante $V(x)$ y momento flector $M(x)$ para los diferentes tramos de la viga.Tramo 1: $0 \le x < 1 \text{ m}$ (desde el apoyo A hasta la carga puntual)

\begin{gathered} Fórmulas: $V(x) = R_{Ay} \\ M(x) = R_{Ay} \cdot x \end{gathered}

\begin{gathered} Sustitución y valores clave: En $x = 0 \text{ m}$: $V(0) = 30 \text{ kN} \\ M(0) = 30 \text{ kN} \cdot 0 \text{ m} = 0 \text{ kN} \cdot \text{m}$ En $x = 1 \text{ m}$ (justo antes de la carga): $V(1^-) = 30 \text{ kN} \\ M(1^-) = 30 \text{ kN} \cdot 1 \text{ m} = 30 \text{ kN} \cdot \text{m} \end{gathered}

Tramo 2: $1 \text{ m} < x \le 4 \text{ m}$ (desde la carga puntual hasta el apoyo B)

\begin{gathered} Fórmulas: $V(x) = R_{Ay} - F \\ M(x) = R_{Ay} \cdot x - F \cdot (x - 1 \text{ m}) \end{gathered}

\begin{gathered} Sustitución y valores clave: En $x = 1 \text{ m}$ (justo después de la carga): $V(1^+) = 30 \text{ kN} - 40 \text{ kN} = -10 \text{ kN} \\ M(1^+) = 30 \text{ kN} \cdot 1 \text{ m} - 40 \text{ kN} \cdot (1 \text{ m} - 1 \text{ m}) = 30 \text{ kN} \cdot \text{m}$ En $x = 4 \text{ m}$ (en el apoyo B): $V(4) = 30 \text{ kN} - 40 \text{ kN} = -10 \text{ kN} \\ M(4) = 30 \text{ kN} \cdot 4 \text{ m} - 40 \text{ kN} \cdot (4 \text{ m} - 1 \text{ m}) \\ M(4) = 120 \text{ kN} \cdot \text{m} - 40 \text{ kN} \cdot 3 \text{ m} \\ M(4) = 120 \text{ kN} \cdot \text{m} - 120 \text{ kN} \cdot \text{m} = 0 \text{ kN} \cdot \text{m} \end{gathered}

Resultado: Diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.Diagrama de Esfuerzo Cortante $V(x)$ :- De $x = 0 \text{ m}$ a $x = 1 \text{ m}$ : El esfuerzo cortante es constante e igual a $30 \text{ kN}$ (valor positivo).- En $x = 1 \text{ m}$ : Hay una discontinuidad debido a la carga puntual, disminuyendo de $30 \text{ kN}$ a $-10 \text{ kN}$ (un salto igual a la magnitud de la carga, $40 \text{ kN}$ ). - De $x = 1 \text{ m}$ a $x = 4 \text{ m}$ : El esfuerzo cortante es constante e igual a $-10 \text{ kN}$ (valor negativo).- En $x = 4 \text{ m}$ : El esfuerzo cortante se cierra a $0 \text{ kN}$ por la reacción $R_{By} = 10 \text{ kN}$ .Diagrama de Momento Flector $M(x)$ :- En $x = 0 \text{ m}$ : El momento flector es $0 \text{ kN} \cdot \text{m}$ .- De $x = 0 \text{ m}$ a $x = 1 \text{ m}$ : El momento flector aumenta linealmente desde $0 \text{ kN} \cdot \text{m}$ hasta $30 \text{ kN} \cdot \text{m}$ (la pendiente es el valor del esfuerzo cortante, $30 \text{ kN}$ ). El valor máximo se encuentra en $x = 1 \text{ m}$ .- De $x = 1 \text{ m}$ a $x = 4 \text{ m}$ : El momento flector disminuye linealmente desde $30 \text{ kN} \cdot \text{m}$ hasta $0 \text{ kN} \cdot \text{m}$ (la pendiente es el valor del esfuerzo cortante, $-10 \text{ kN}$ ). - En $x = 4 \text{ m}$ : El momento flector es $0 \text{ kN} \cdot \text{m}$ .

T2: Sistemas mecánicos

Estática - Vigas

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

4

De la viga que se muestra en la figura:

a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.b) Calcule las reacciones en los apoyos.c) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasReaccionesEsfuerzo cortante+1

a)

La viga es una viga simplemente apoyada, también conocida como viga biarticulada o viga isostática con un apoyo fijo (articulación) en un extremo y un apoyo móvil (rodillo) en el otro.

b)

Cálculo de las reacciones en los apoyos:Definimos los apoyos: el apoyo A es una articulación fija (reacciones $R_{\text{Ax}}$ y $R_{\text{Ay}}$ ) y el apoyo B es un rodillo (reacción $R_{\text{By}}$ ).Datos:

F_1 = 600\, \text{N}$ a $x_1 = 4\, \text{m}

F_2 = 600\, \text{N}$ a $x_2 = 6\, \text{m}$ (o $4\, \text{m}$ desde B)

L = 10\, \text{m}

Fórmulas (Ecuaciones de equilibrio):

\sum F_x = 0

\sum F_y = 0

\sum M = 0

Sustitución:1. Equilibrio de fuerzas horizontales:

R_{\text{Ax}} = 0

2. Equilibrio de momentos respecto al punto A (sentido antihorario positivo):

\sum M_{\text{A}} = 0

(-F_1 \cdot x_1) + (-F_2 \cdot x_2) + (R_{\text{By}} \cdot L) = 0

(-600\, \text{N} \cdot 4\, \text{m}) + (-600\, \text{N} \cdot 6\, \text{m}) + (R_{\text{By}} \cdot 10\, \text{m}) = 0

-2400\, \text{N}\cdot\text{m} - 3600\, \text{N}\cdot\text{m} + 10\, R_{\text{By}} = 0

10\, R_{\text{By}} = 6000\, \text{N}\cdot\text{m}

R_{\text{By}} = \frac{6000\, \text{N}\cdot\text{m}}{10\, \text{m}}

3. Equilibrio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

\sum F_y = 0

R_{\text{Ay}} + R_{\text{By}} - F_1 - F_2 = 0

R_{\text{Ay}} + 600\, \text{N} - 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = 0

R_{\text{Ay}} - 600\, \text{N} = 0

R_{\text{Ay}} = 600\, \text{N}

Resultado:

R_{\text{Ax}} = 0\, \text{N}

R_{\text{Ay}} = 600\, \text{N}

R_{\text{By}} = 600\, \text{N}

c)

Diagramas de esfuerzo cortante y momento flector:Se definen las funciones de esfuerzo cortante $V(x)$ y momento flector $M(x)$ por tramos, tomando el origen de coordenadas en el punto A.Tramo 1: $0 \le x < 4\, \text{m}$ Fórmulas:

V(x) = R_{\text{Ay}}

M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x

Sustitución:

V(x) = 600\, \text{N}

M(x) = 600x\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(0) = 600\, \text{N}$, $M(0) = 0\, \text{N}\cdot\text{m}

V(4^-) = 600\, \text{N}$, $M(4) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Tramo 2: $4\, \text{m} \le x < 6\, \text{m}$ Fórmulas:

V(x) = R_{\text{Ay}} - F_1

M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x - F_1 \cdot (x - x_1)

Sustitución:

V(x) = 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = 0\, \text{N}

M(x) = 600x - 600(x - 4) = 600x - 600x + 2400 = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(4^+) = 0\, \text{N}$, $M(4) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

V(6^-) = 0\, \text{N}$, $M(6) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Tramo 3: $6\, \text{m} \le x \le 10\, \text{m}$ Fórmulas:

V(x) = R_{\text{Ay}} - F_1 - F_2

M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x - F_1 \cdot (x - x_1) - F_2 \cdot (x - x_2)

Sustitución:

V(x) = 600\, \text{N} - 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = -600\, \text{N}

M(x) = 600x - 600(x - 4) - 600(x - 6)

M(x) = 600x - 600x + 2400 - 600x + 3600

M(x) = -600x + 6000\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(6^+) = -600\, \text{N}$, $M(6) = -600(6) + 6000 = -3600 + 6000 = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

V(10) = -600\, \text{N}$, $M(10) = -600(10) + 6000 = -6000 + 6000 = 0\, \text{N}\cdot\text{m}

Descripción de los diagramas:Diagrama de Esfuerzo Cortante $V(x)$ :Desde $x=0$ hasta $x=4\, \text{m}$ , el esfuerzo cortante es constante e igual a $600\, \text{N}$ .En $x=4\, \text{m}$ , hay un salto debido a la carga de $600\, \text{N}$ , reduciendo el cortante de $600\, \text{N}$ a $0\, \text{N}$ .Desde $x=4\, \text{m}$ hasta $x=6\, \text{m}$ , el esfuerzo cortante es constante e igual a $0\, \text{N}$ .En $x=6\, \text{m}$ , hay otro salto debido a la carga de $600\, \text{N}$ , reduciendo el cortante de $0\, \text{N}$ a $-600\, \text{N}$ .Desde $x=6\, \text{m}$ hasta $x=10\, \text{m}$ , el esfuerzo cortante es constante e igual a $-600\, \text{N}$ .En $x=10\, \text{m}$ , la reacción $R_{\text{By}}$ de $600\, \text{N}$ cierra el diagrama a $0\, \text{N}$ .Diagrama de Momento Flector $M(x)$ :Desde $x=0$ hasta $x=4\, \text{m}$ , el momento flector aumenta linealmente de $0\, \text{N}\cdot\text{m}$ a $2400\, \text{N}\cdot\text{m}$ .Desde $x=4\, \text{m}$ hasta $x=6\, \text{m}$ , el momento flector es constante e igual a $2400\, \text{N}\cdot\text{m}$ (ya que el esfuerzo cortante es cero en este tramo).Desde $x=6\, \text{m}$ hasta $x=10\, \text{m}$ , el momento flector disminuye linealmente de $2400\, \text{N}\cdot\text{m}$ a $0\, \text{N}\cdot\text{m}$ .

T2: Sistemas mecánicos

Máquinas térmicas

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

5

En una zona de la ciudad donde la temperatura media exterior es de $12 ^\circ\text{C}$ se quiere habilitar un local para oficina. Para que la habitabilidad para el trabajo sea adecuada se requiere el empleo de una bomba de calor de $100 \text{ kW}$ de potencia para mantener la temperatura en su interior a $22 ^\circ\text{C}$ . Sabiendo que la bomba de calor funciona conforme a un ciclo de Carnot reversible, calcule:

a) La eficiencia de la máquina.b) El calor aportado al interior del local.c) El calor retirado del exterior.

Bomba de calorCiclo de CarnotEficiencia+1

a) La eficiencia de la máquina.

La eficiencia de una bomba de calor de Carnot se calcula a partir de las temperaturas de los focos frío y caliente.Datos

T_f = 12 \ ^\circ\text{C} = 12 + 273.15 = 285.15 \text{ K}

T_c = 22 \ ^\circ\text{C} = 22 + 273.15 = 295.15 \text{ K}

Fórmulas

\varepsilon = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

Sustitución

\varepsilon = \dfrac{295.15 \text{ K}}{295.15 \text{ K} - 285.15 \text{ K}}

\varepsilon = \dfrac{295.15 \text{ K}}{10 \text{ K}}

Resultado

\varepsilon = 29.515

b) El calor aportado al interior del local.

El calor aportado al interior del local ( $Q_c$ ) se obtiene de la relación entre la eficiencia y la potencia (trabajo) consumida por la bomba.Datos

\varepsilon = 29.515

W = 100 \text{ kW}

Fórmulas

\varepsilon = \dfrac{Q_c}{W} \implies Q_c = \varepsilon \cdot W

Sustitución

Q_c = 29.515 \cdot 100 \text{ kW}

Resultado

Q_c = 2951.5 \text{ kW}

c) El calor retirado del exterior.

El calor retirado del exterior ( $Q_f$ ) se calcula a partir del balance energético de la bomba de calor.Datos

Q_c = 2951.5 \text{ kW}

W = 100 \text{ kW}

Fórmulas

Q_c = Q_f + W \implies Q_f = Q_c - W

Sustitución

Q_f = 2951.5 \text{ kW} - 100 \text{ kW}

Resultado

Q_f = 2851.5 \text{ kW}

T2: Sistemas mecánicos

Termodinámica

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

5

Se ha instalado en una fábrica una máquina térmica que funciona conforme a un ciclo de Carnot perfecto, entre unas temperaturas $T_1 = 273^\circ\text{C}$ y $T_2 = 73^\circ\text{C}$ . Sabiendo que el calor aportado por el foco caliente en un determinado tiempo es de $1300\text{ J}$ , calcule:

a) El rendimiento de la máquina.b) El calor aportado al foco frío en ese mismo tiempo, expresado en J.c) El trabajo realizado, expresado en J.d) La temperatura que debería conseguir el foco frío para tener un rendimiento del ciclo del

50\%

.

Ciclo de CarnotMáquinas térmicasRendimiento

a) El rendimiento de la máquina.

Se convierten las temperaturas a Kelvin.

\begin{gathered} Datos: $T_1 = 273^\circ\text{C} = (273 + 273)\text{ K} = 546\text{ K} \\ T_2 = 73^\circ\text{C} = (73 + 273)\text{ K} = 346\text{ K} \end{gathered}

Fórmulas:
El rendimiento de una máquina térmica de Carnot se calcula como:
$\eta = \dfrac{T_1 - T_2}{T_1}

\begin{gathered} Sustitución: $\eta = \dfrac{546\text{ K} - 346\text{ K}}{546\text{ K}} \\ \eta = \dfrac{200\text{ K}}{546\text{ K}} \end{gathered}

\begin{gathered} Resultado: $\eta \approx 0.3663 \\ \eta \approx 36.63\% \end{gathered}

b) El calor aportado al foco frío en ese mismo tiempo, expresado en J.

\begin{gathered} Datos: $T_1 = 546\text{ K} \\ T_2 = 346\text{ K} \\ Q_1 = 1300\text{ J} \end{gathered}

Fórmulas:
Para un ciclo de Carnot, la relación entre calores y temperaturas es:

\dfrac{Q_1}{T_1} = \dfrac{Q_2}{T_2}

Despejando el calor cedido al foco frío

Q_2

:
$Q_2 = Q_1 \cdot \dfrac{T_2}{T_1}

\begin{gathered} Sustitución: $Q_2 = 1300\text{ J} \cdot \dfrac{346\text{ K}}{546\text{ K}} \\ Q_2 = 1300\text{ J} \cdot 0.6336996 \end{gathered}

Resultado:
$Q_2 \approx 823.81\text{ J}

c) El trabajo realizado, expresado en J.

\begin{gathered} Datos: $Q_1 = 1300\text{ J} \\ Q_2 = 823.81\text{ J}$ (valor calculado en el apartado b) \end{gathered}

Fórmulas:
El trabajo realizado en un ciclo es la diferencia entre el calor absorbido del foco caliente y el calor cedido al foco frío:
$W = Q_1 - Q_2

Sustitución:
$W = 1300\text{ J} - 823.81\text{ J}

Resultado:
$W = 476.19\text{ J}

d) La temperatura que debería conseguir el foco frío para tener un rendimiento del ciclo del

50\%

.

\begin{gathered} Datos: $\eta = 50\% = 0.5 \\ T_1 = 546\text{ K} \end{gathered}

undefined

\begin{gathered} Sustitución: $T_2' = 546\text{ K} \cdot (1 - 0.5) \\ T_2' = 546\text{ K} \cdot 0.5 \end{gathered}

Resultado:

T_2' = 273\text{ K}

Convertimos la temperatura a grados Celsius:
$T_2' = 273\text{ K} - 273 = 0^\circ\text{C}

T2: Sistemas mecánicos

Neumática e hidráulica

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

6

Se tiene un cilindro de doble efecto con un radio de émbolo de $40 \text{ mm}$ , un radio de vástago de $10 \text{ mm}$ y una carrera del pistón de $60 \text{ mm}$ . La presión de trabajo es de $6 \text{ bar}$ y se considera una fuerza de rozamiento del $10\%$ de la fuerza teórica.

a) Calcule la fuerza efectiva del émbolo tanto en el avance como en el retroceso.b) Obtenga el volumen del cilindro completo (expresado en

\text{mm}^3

).c) Suponiendo una presión atmosférica de

1 \text{ bar}

, calcule el consumo de aire que necesita el cilindro para funcionar correctamente (expresado en

\text{mm}^3

).

Cilindro de doble efectoFuerza efectivaConsumo de aire+1

a) Calcule la fuerza efectiva del émbolo tanto en el avance como en el retroceso.

Cálculo de las fuerzas efectivas en el avance y retroceso, considerando la presión de trabajo y la fuerza de rozamiento.Datos

r_e = 40 \text{ mm} = 0.04 \text{ m}

r_v = 10 \text{ mm} = 0.01 \text{ m}

P = 6 \text{ bar} = 6 \times 10^5 \text{ N/m}^2

F_{\text{rozamiento}} = 0.10 \cdot F_{\text{teórica}}

Fórmulas

S_e = \pi r_e^2

S_r = \pi (r_e^2 - r_v^2)

F_{\text{teórica}} = P \cdot S

F_{\text{efectiva}} = F_{\text{teórica}} - F_{\text{rozamiento}}

Sustitución Cálculo del área del émbolo ( $S_e$ ):

S_e = \pi (0.04 \text{ m})^2 = \pi \cdot 0.0016 \text{ m}^2 = 0.0050265 \text{ m}^2

Cálculo de la fuerza teórica en el avance ( $F_{\text{teórica, avance}}$ ):

F_{\text{teórica, avance}} = (6 \times 10^5 \text{ N/m}^2) \cdot (0.0050265 \text{ m}^2) = 3015.9 \text{ N}

Cálculo de la fuerza de rozamiento en el avance ( $F_{\text{rozamiento, avance}}$ ):

F_{\text{rozamiento, avance}} = 0.10 \cdot 3015.9 \text{ N} = 301.59 \text{ N}

Cálculo de la fuerza efectiva en el avance ( $F_{\text{efectiva, avance}}$ ):

F_{\text{efectiva, avance}} = 3015.9 \text{ N} - 301.59 \text{ N} = 2714.31 \text{ N}

Cálculo del área de retroceso ( $S_r$ ):

S_r = \pi ((0.04 \text{ m})^2 - (0.01 \text{ m})^2) = \pi (0.0016 - 0.0001) \text{ m}^2 = \pi \cdot 0.0015 \text{ m}^2 = 0.0047124 \text{ m}^2

Cálculo de la fuerza teórica en el retroceso ( $F_{\text{teórica, retroceso}}$ ):

F_{\text{teórica, retroceso}} = (6 \times 10^5 \text{ N/m}^2) \cdot (0.0047124 \text{ m}^2) = 2827.44 \text{ N}

Cálculo de la fuerza de rozamiento en el retroceso ( $F_{\text{rozamiento, retroceso}}$ ):

F_{\text{rozamiento, retroceso}} = 0.10 \cdot 2827.44 \text{ N} = 282.744 \text{ N}

Cálculo de la fuerza efectiva en el retroceso ( $F_{\text{efectiva, retroceso}}$ ):

F_{\text{efectiva, retroceso}} = 2827.44 \text{ N} - 282.744 \text{ N} = 2544.696 \text{ N}

Resultado

F_{\text{efectiva, avance}} = 2714.31 \text{ N}

F_{\text{efectiva, retroceso}} = 2544.70 \text{ N}

b) Obtenga el volumen del cilindro completo (expresado en

\text{mm}^3

).

Cálculo del volumen útil del cilindro, que corresponde al volumen desplazado por el émbolo en una carrera.Datos

r_e = 40 \text{ mm}

L = 60 \text{ mm}

Fórmulas

S_e = \pi r_e^2

V_{\text{cilindro}} = S_e \cdot L

Sustitución Cálculo del área del émbolo ( $S_e$ ):

S_e = \pi (40 \text{ mm})^2 = \pi \cdot 1600 \text{ mm}^2 = 5026.548 \text{ mm}^2

Cálculo del volumen del cilindro ( $V_{\text{cilindro}}$ ):

V_{\text{cilindro}} = (5026.548 \text{ mm}^2) \cdot (60 \text{ mm}) = 301592.88 \text{ mm}^3

Resultado

V_{\text{cilindro}} = 301592.88 \text{ mm}^3

c) Suponiendo una presión atmosférica de

1 \text{ bar}

, calcule el consumo de aire que necesita el cilindro para funcionar correctamente (expresado en

\text{mm}^3

).

Cálculo del volumen de aire consumido en un ciclo completo (avance y retroceso) y su equivalencia a presión atmosférica, usando la Ley de Boyle-Mariotte.Datos

r_e = 40 \text{ mm}

r_v = 10 \text{ mm}

L = 60 \text{ mm}

P = 6 \text{ bar}

P_{\text{atm}} = 1 \text{ bar}

Fórmulas

S_e = \pi r_e^2

S_r = \pi (r_e^2 - r_v^2)

V_{\text{avance}} = S_e \cdot L

V_{\text{retroceso}} = S_r \cdot L

V_{\text{total, P}} = V_{\text{avance}} + V_{\text{retroceso}}

P_1 V_1 = P_2 V_2 \implies V_{\text{consumo}} = V_{\text{total, P}} \cdot \frac{P}{P_{\text{atm}}}

Sustitución Cálculo del área del émbolo ( $S_e$ ):

S_e = \pi (40 \text{ mm})^2 = 5026.548 \text{ mm}^2

Cálculo del área de retroceso ( $S_r$ ):

S_r = \pi ((40 \text{ mm})^2 - (10 \text{ mm})^2) = \pi (1600 - 100) \text{ mm}^2 = \pi \cdot 1500 \text{ mm}^2 = 4712.389 \text{ mm}^2

Cálculo del volumen de aire consumido en el avance ( $V_{\text{avance}}$ ):

V_{\text{avance}} = (5026.548 \text{ mm}^2) \cdot (60 \text{ mm}) = 301592.88 \text{ mm}^3

Cálculo del volumen de aire consumido en el retroceso ( $V_{\text{retroceso}}$ ):

V_{\text{retroceso}} = (4712.389 \text{ mm}^2) \cdot (60 \text{ mm}) = 282743.34 \text{ mm}^3

Cálculo del volumen total de aire a presión de trabajo ( $V_{\text{total, P}}$ ) por ciclo:

V_{\text{total, P}} = 301592.88 \text{ mm}^3 + 282743.34 \text{ mm}^3 = 584336.22 \text{ mm}^3

Cálculo del consumo de aire a presión atmosférica ( $V_{\text{consumo}}$ ):

V_{\text{consumo}} = (584336.22 \text{ mm}^3) \cdot \frac{6 \text{ bar}}{1 \text{ bar}} = 3506017.32 \text{ mm}^3

Resultado

V_{\text{consumo}} = 3506017.32 \text{ mm}^3

T2: Sistemas mecánicos

Neumática

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

6

En un sistema neumático:

a) Calcule el diámetro de un cilindro para producir un trabajo de

375\text{ J}

sabiendo que la presión del aire del circuito es de

7\text{ bar}

(

1\text{ bar} = 10^5\text{ N/m}^2

), la resistencia del muelle es de

425\text{ N}

, la carrera del pistón es de

80\text{ mm}

y el rendimiento del sistema de compresión del aire es del

85\%

.b) ¿Qué elementos contiene una unidad de mantenimiento de un circuito neumático? Dibuje su símbolo. ¿Qué función tiene cada uno de dichos elementos?

Sistemas neumáticosCilindrosUnidad de mantenimiento

a) Cálculo del diámetro del cilindro.

Para calcular el diámetro del cilindro, consideramos que el trabajo total que debe realizar el aire sobre el pistón se distribuye en el trabajo útil (suministrado) y el trabajo necesario para vencer la resistencia del muelle, todo ello afectado por el rendimiento del sistema.La fuerza generada por el aire sobre la superficie del pistón es $F_{\text{aire}} = P \cdot S$ . El trabajo realizado por el aire es $W_{\text{neumática}} = F_{\text{aire}} \cdot d = P \cdot S \cdot d$ . Este es el trabajo de entrada al sistema del cilindro.El trabajo de salida total del cilindro es la suma del trabajo útil ( $W_{\text{útil}}$ ) y el trabajo necesario para vencer la resistencia del muelle ( $W_{\text{resorte}}$ ). El trabajo para vencer la resistencia del muelle es $W_{\text{resorte}} = F_{\text{resorte}} \cdot d$ .Por lo tanto, el trabajo mecánico total que debe producir el cilindro es $W_{\text{mecánico, total}} = W_{\text{útil}} + W_{\text{resorte}}$ .La eficiencia del sistema relaciona el trabajo mecánico total con el trabajo neumático de entrada: $W_{\text{mecánico, total}} = \eta \cdot W_{\text{neumática}}$ .

b) Elementos de una unidad de mantenimiento y su función.

Una unidad de mantenimiento es un componente esencial en los sistemas neumáticos para garantizar la calidad del aire comprimido y prolongar la vida útil de los actuadores y válvulas. Generalmente, está compuesta por un filtro, un regulador de presión y un lubricador.

1. Filtro

Función: Elimina las impurezas sólidas (partículas de polvo, óxido, suciedad) y el agua condensada (humedad) del aire comprimido. Esto previene el desgaste y la corrosión de los componentes neumáticos.

2. Regulador de Presión

Función: Mantiene una presión de trabajo constante y deseada en el circuito neumático, independientemente de las fluctuaciones en la presión de entrada o de los cambios en el consumo de aire. El manómetro se utiliza para visualizar la presión regulada.

3. Lubricador

Función: Introduce una fina niebla de aceite en el aire comprimido, que se transporta a los componentes neumáticos aguas abajo (cilindros, válvulas). Este aceite lubrica las piezas móviles, reduciendo la fricción y el desgaste, lo que contribuye a una mayor durabilidad y un funcionamiento más suave del sistema.

T2: Sistemas mecánicos

Estática y resistencia de materiales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasReaccionesMomento flector

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a) Calcule las reacciones en los apoyos.

Se identifica la viga como una viga continua o voladizo con dos apoyos. El apoyo A es una articulación fija (permitiendo reacciones verticales y horizontales) y el apoyo B es un apoyo de rodillo (permitiendo solo reacción vertical). Se considera el eje x horizontal a lo largo de la viga y el eje y vertical, con sentido positivo hacia arriba.Se aplican las ecuaciones de equilibrio estático para determinar las reacciones en los apoyos A y B.Datos

P = 400 \text{ N} \quad\text{(carga puntual hacia abajo en el extremo derecho)}

Distancia de A a B $= 2 \text{ m}

Distancia de B al punto de aplicación de $P = 1 \text{ m}

Longitud total de la viga $= 3 \text{ m}

Fórmulas

\sum F_x = 0

\sum F_y = 0

\sum M_{\text{punto}} = 0

Sustitución 1. Equilibrio de fuerzas horizontales:

\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} = 0 \text{ N}

2. Equilibrio de momentos respecto al apoyo A (sentido antihorario positivo):

\sum M_A = 0

R_{By} \cdot (2 \text{ m}) - P \cdot (2 \text{ m} + 1 \text{ m}) = 0

R_{By} \cdot (2 \text{ m}) - 400 \text{ N} \cdot (3 \text{ m}) = 0

R_{By} \cdot (2 \text{ m}) = 1200 \text{ N} \cdot \text{m}

R_{By} = \frac{1200 \text{ N} \cdot \text{m}}{2 \text{ m}}

R_{By} = 600 \text{ N}

3. Equilibrio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

\sum F_y = 0

R_{Ay} + R_{By} - P = 0

R_{Ay} + 600 \text{ N} - 400 \text{ N} = 0

R_{Ay} = 400 \text{ N} - 600 \text{ N}

R_{Ay} = -200 \text{ N}

El signo negativo indica que la reacción $R_{Ay}$ actúa hacia abajo.Resultado

R_{Ax} = 0 \text{ N}

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Para la representación de los diagramas, se dividirá la viga en tramos y se determinarán las ecuaciones de esfuerzo cortante y momento flector para cada uno. Se utiliza la convención de signos estándar: esfuerzo cortante positivo si las fuerzas a la izquierda de la sección sumadas son hacia arriba, y momento flector positivo si causa tracción en las fibras inferiores de la viga.Datos

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

P = 400 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Secciones de la viga:

Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m} \quad\text{(desde el apoyo A hasta el apoyo B)}

Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m} \quad\text{(desde el apoyo B hasta el extremo final)}

Esfuerzo Cortante $V(x)$ Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m}$ Datos

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Fórmulas

V(x) = \sum F_y

Sustitución

V_1(x) = -R_{Ay}

V_1(x) = -200 \text{ N}

Resultado

V_1(x) = -200 \text{ N}

V(0) = -200 \text{ N}

V(2^-) = -200 \text{ N}

Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m}$ Datos

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

Fórmulas

V(x) = \sum F_y

Sustitución

V_2(x) = -R_{Ay} + R_{By}

V_2(x) = -200 \text{ N} + 600 \text{ N}

V_2(x) = 400 \text{ N}

Resultado

V_2(x) = 400 \text{ N}

V(2^+) = 400 \text{ N}

V(3^-) = 400 \text{ N}

En $x=3 \text{ m}$ se aplica la carga $P = 400 \text{ N}$ hacia abajo, por lo que el cortante finaliza en $V(3) = 400 - 400 = 0 \text{ N}$. Esto verifica que el diagrama cierra correctamente.

Momento Flector $M(x)$ Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m}$ Datos

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Fórmulas

M(x) = \int V(x) dx

M(x) = -R_{Ay} \cdot x

Sustitución

M_1(x) = -200x

Resultado

M_1(x) = -200x \text{ N} \cdot \text{m}

M(0) = 0 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(momento nulo en apoyo articulado)}

M(2) = -200 \cdot 2 = -400 \text{ N} \cdot \text{m}

Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m}$ Datos

R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

Fórmulas

M(x) = \sum M_{\text{izquierda de la sección}}

M(x) = -R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x - 2 \text{ m})

Sustitución

M_2(x) = -200x + 600(x - 2)

M_2(x) = -200x + 600x - 1200

M_2(x) = 400x - 1200

Resultado

M_2(x) = 400x - 1200 \text{ N} \cdot \text{m}

M(2) = 400 \cdot 2 - 1200 = 800 - 1200 = -400 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(coincide con el valor al final del Tramo 1)}

M(3) = 400 \cdot 3 - 1200 = 1200 - 1200 = 0 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(momento nulo en extremo libre)}

Descripción de los diagramas:Diagrama de Esfuerzo Cortante ( $V(x)$ ):Desde $x=0 \text{ m}$ hasta $x=2 \text{ m}$ , el esfuerzo cortante es constante y negativo, con un valor de $-200 \text{ N}$ .En $x=2 \text{ m}$ (apoyo B), hay un salto positivo debido a la reacción $R_{By}$ . El valor cambia de $-200 \text{ N}$ a $400 \text{ N}$ ( $-200 + 600 = 400$ ).Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el esfuerzo cortante es constante y positivo, con un valor de $400 \text{ N}$ .En $x=3 \text{ m}$ (extremo final), el esfuerzo cortante disminuye a $0 \text{ N}$ debido a la carga $P$ de $400 \text{ N}$ .Diagrama de Momento Flector ( $M(x)$ ):En $x=0 \text{ m}$ (apoyo A), el momento flector es $0 \text{ N} \cdot \text{m}$ .Desde $x=0 \text{ m}$ hasta $x=2 \text{ m}$ , el momento flector varía linealmente, disminuyendo desde $0 \text{ N} \cdot \text{m}$ hasta $-400 \text{ N} \cdot \text{m}$ .En $x=2 \text{ m}$ (apoyo B), el momento flector tiene un valor de $-400 \text{ N} \cdot \text{m}$ (momento negativo indica tracción en las fibras superiores).Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el momento flector varía linealmente, aumentando desde $-400 \text{ N} \cdot \text{m}$ hasta $0 \text{ N} \cdot \text{m}$ .En $x=3 \text{ m}$ (extremo final), el momento flector es $0 \text{ N} \cdot \text{m}$ (extremo libre sin momento aplicado).

T2: Sistemas mecánicos

Termodinámica

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

3.2

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

Empleando como calefacción una bomba de calor, para mantener el interior de una vivienda a una temperatura de $25^\circ \text{C}$ cuando en el exterior es de $-2^\circ \text{C}$ , se necesitan suministrar $5000 \text{ MJ}$ al día al foco caliente. Se pide:

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Si el rendimiento del ciclo operativo real es el $20 \%$ del ciclo de Carnot:

b) Determine la potencia consumida por la bomba.c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Bomba de calorCiclo de CarnotEficiencia

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Datos

T_c = 25^\circ\text{C} = (25 + 273.15)\text{ K} = 298.15\text{ K}

T_f = -2^\circ\text{C} = (-2 + 273.15)\text{ K} = 271.15\text{ K}

Q_c = 5000\text{ MJ/día} \quad\text{(calor suministrado al foco caliente)}

\Delta t = 1\text{ día} = 24 \cdot 3600\text{ s} = 86400\text{ s}

Fórmulas

Coeficiente de rendimiento de una bomba de calor de Carnot ($\varepsilon_C$):

\varepsilon_C = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

Trabajo consumido por la bomba de calor (teórico) ($W_C$):

W_C = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_C}

Potencia teórica ($P_C$):

P_C = \dfrac{W_C}{\Delta t}

Sustitución

Cálculo del coeficiente de rendimiento de Carnot:

\varepsilon_C = \dfrac{298.15\text{ K}}{298.15\text{ K} - 271.15\text{ K}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{27\text{ K}} = 11.0426

Cálculo del trabajo teórico consumido por día:

W_C = \dfrac{5000\text{ MJ}}{11.0426} = 452.791\text{ MJ}

Cálculo de la potencia teórica:

P_C = \dfrac{452.791 \cdot 10^6\text{ J}}{86400\text{ s}}

Resultado

P_C = 5240.64\text{ W}

b) Determine la potencia consumida por la bomba.

Datos

\varepsilon_C = 11.0426

\eta_{\text{real}} = 20\% = 0.20

Q_c = 5000\text{ MJ/día}

\Delta t = 86400\text{ s}

Fórmulas

Coeficiente de rendimiento real de la bomba de calor ($\varepsilon_{\text{real}}$):

\varepsilon_{\text{real}} = \eta_{\text{real}} \cdot \varepsilon_C

undefined

W_{\text{real}} = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_{\text{real}}}

Potencia consumida real ($P_{\text{real}}$):

P_{\text{real}} = \dfrac{W_{\text{real}}}{\Delta t}

Sustitución

Cálculo del coeficiente de rendimiento real:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.20 \cdot 11.0426 = 2.20852

Cálculo del trabajo real consumido por día:

W_{\text{real}} = \dfrac{5000\text{ MJ}}{2.20852} = 2263.902\text{ MJ}

Cálculo de la potencia consumida real:

P_{\text{real}} = \dfrac{2263.902 \cdot 10^6\text{ J}}{86400\text{ s}}

Resultado

P_{\text{real}} = 26202.57\text{ W}

c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Datos

Q_c = 5000\text{ MJ/día}

W_{\text{real}} = 2263.902\text{ MJ/día} \quad\text{(del apartado b)}

Fórmulas

undefined

Q_c = Q_f + W_{\text{real}}

Despejando el calor absorbido del foco frío:

Q_f = Q_c - W_{\text{real}}

Sustitución

Q_f = 5000\text{ MJ/día} - 2263.902\text{ MJ/día}

Resultado

Q_f = 2736.10\text{ MJ/día}

T2: Sistemas mecánicos

Estructuras y vigas

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

4

De la viga que se muestra en la figura:

a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.b) Calcule las reacciones en los apoyos.c) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

EstáticaVigasEsfuerzo cortante+1

a)

Tipo de viga según sus apoyos:La viga presenta un apoyo articulado (charnela) en el punto A y un apoyo de rodillo (móvil) en el punto B. Además, la viga se extiende más allá del apoyo B, formando un voladizo. Por tanto, se trata de una viga simplemente apoyada con voladizo.

b)

Cálculo de las reacciones en los apoyos

Se establecen las ecuaciones de equilibrio estático para el cálculo de las reacciones. Se considera el origen en el apoyo A ( $x=0\,\text{m}$ ).

c)

Diagramas de Esfuerzo Cortante (V(x)) y Momento Flector (M(x))

Se dividirá la viga en tres tramos para obtener las ecuaciones de esfuerzo cortante y momento flector. Se empleará la convención de signos estándar: esfuerzo cortante positivo si la resultante de fuerzas a la izquierda del corte es hacia arriba; momento flector positivo si provoca tracción en las fibras inferiores (flexión positiva o "sagging").

T2: Sistemas mecánicos

Hidráulica

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

6

Para el circuito hidráulico mostrado en la figura, calcule:

a) El valor de la fuerza

F_1

para conseguir elevar la masa

m

.b) El avance que tiene que realizar el pistón pequeño para elevar la masa

1 \text{ m}

.c) Si hubiera que levantar una carga de

4000 \text{ kg}

con el valor de

F_1

calculado en el apartado a), ¿qué diámetro debería tener el cilindro más grande?

Nota: Considere la aceleración de la gravedad como $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ .

Prensa hidráulicaPresiónPrincipio de Pascal

a) El valor de la fuerza

F_1

para conseguir elevar la masa

m

.

Para que la masa se eleve, la presión en ambos émbolos debe ser igual, aplicando el Principio de Pascal.Datos:

\begin{gathered} m = 2500 \text{ kg} \\ g = 9,8 \text{ m/s}^2 \\ \phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m} \\ \phi_2 = 40 \text{ cm} = 0,40 \text{ m} \end{gathered}

Fórmulas:

\begin{gathered} F_2 = m \cdot g \\ S = \frac{\pi d^2}{4} \\ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \end{gathered}

Sustitución:Calculamos la fuerza $F_2$ ejercida por la masa:

F_2 = 2500 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 24500 \text{ N}

Calculamos las áreas de los pistones $S_1$ y $S_2$ :

\begin{gathered} S_1 = \frac{\pi (0,20 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04}{4} = 0,01\pi \text{ m}^2 \approx 0,0314 \text{ m}^2 \\ \quad \\ S_2 = \frac{\pi (0,40 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,16}{4} = 0,04\pi \text{ m}^2 \approx 0,1257 \text{ m}^2 \end{gathered}

Aplicamos el Principio de Pascal para despejar $F_1$ :

F_1 = F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 24500 \text{ N} \cdot \frac{0,01\pi \text{ m}^2}{0,04\pi \text{ m}^2} = 24500 \text{ N} \cdot \frac{1}{4} = 6125 \text{ N}

Resultado:

F_1 = 6125 \text{ N}

b) El avance que tiene que realizar el pistón pequeño para elevar la masa

1 \text{ m}

.

El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño debe ser igual al volumen de líquido que asciende el pistón grande.Datos:

\begin{gathered} \phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m} \\ \phi_2 = 40 \text{ cm} = 0,40 \text{ m} \\ h_2 = 1 \text{ m} \end{gathered}

Fórmulas:

\begin{gathered} V = S \cdot h \\ S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2 \end{gathered}

Sustitución:Usamos las áreas calculadas en el apartado a):

\begin{gathered} S_1 = 0,01\pi \text{ m}^2 \\ S_2 = 0,04\pi \text{ m}^2 \end{gathered}

Despejamos $h_1$ :

h_1 = h_2 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 1 \text{ m} \cdot \frac{0,04\pi \text{ m}^2}{0,01\pi \text{ m}^2} = 1 \text{ m} \cdot 4 = 4 \text{ m}

Resultado:

h_1 = 4 \text{ m}

c) Si hubiera que levantar una carga de

4000 \text{ kg}

con el valor de

F_1

calculado en el apartado a), ¿qué diámetro debería tener el cilindro más grande?

Con la nueva masa, la fuerza $F_2$ cambiará. Aplicaremos el Principio de Pascal para encontrar la nueva área $S_2$ y de ahí el nuevo diámetro $\phi_2$ .Datos:

\begin{gathered} m_{\text{nueva}} = 4000 \text{ kg} \\ g = 9,8 \text{ m/s}^2 \\ F_1 = 6125 \text{ N (del apartado a))} \\ \phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m} \end{gathered}

Fórmulas:

\begin{gathered} F_{2,\text{nueva}} = m_{\text{nueva}} \cdot g \\ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_{2,\text{nueva}}}{S_{2,\text{nueva}}} \\ S = \frac{\pi d^2}{4} \implies d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} \end{gathered}

Sustitución:Calculamos la nueva fuerza $F_{2,\text{nueva}}$ :

F_{2,\text{nueva}} = 4000 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 39200 \text{ N}

Usamos el área del pistón pequeño $S_1$ del apartado a):

S_1 = 0,01\pi \text{ m}^2

Despejamos la nueva área del pistón grande $S_{2,\text{nueva}}$ :

\begin{gathered} S_{2,\text{nueva}} = S_1 \cdot \frac{F_{2,\text{nueva}}}{F_1} = 0,01\pi \text{ m}^2 \cdot \frac{39200 \text{ N}}{6125 \text{ N}} \\ \quad \\ S_{2,\text{nueva}} = 0,01\pi \text{ m}^2 \cdot 6,4 = 0,064\pi \text{ m}^2 \approx 0,2011 \text{ m}^2 \end{gathered}

Finalmente, calculamos el nuevo diámetro $\phi_{2,\text{nueva}}$ :

\phi_{2,\text{nueva}} = \sqrt{\frac{4 \cdot S_{2,\text{nueva}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,064\pi \text{ m}^2}{\pi}} = \sqrt{4 \cdot 0,064 \text{ m}^2} = \sqrt{0,256 \text{ m}^2} \approx 0,5059 \text{ m}

Resultado:

\phi_{2,\text{nueva}} \approx 0,5059 \text{ m} = 50,59 \text{ cm}