a) El valor de la fuerza F 1 F_1 F 1 para conseguir elevar la masa m m m . Para que la masa se eleve, la presión en ambos émbolos debe ser igual, aplicando el Principio de Pascal. Datos:
m = 2500 kg g = 9 , 8 m/s 2 ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m ϕ 2 = 40 cm = 0 , 40 m \begin{gathered}
m = 2500 \text{ kg} \\ g = 9,8 \text{ m/s}^2 \\ \phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m} \\ \phi_2 = 40 \text{ cm} = 0,40 \text{ m}
\end{gathered} m = 2500 kg g = 9 , 8 m/s 2 ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m ϕ 2 = 40 cm = 0 , 40 m Fórmulas:
F 2 = m ⋅ g S = π d 2 4 F 1 S 1 = F 2 S 2 \begin{gathered}
F_2 = m \cdot g \\ S = \frac{\pi d^2}{4} \\ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}
\end{gathered} F 2 = m ⋅ g S = 4 π d 2 S 1 F 1 = S 2 F 2 Sustitución: Calculamos la fuerza F 2 F_2 F 2 ejercida por la masa:
F 2 = 2500 kg ⋅ 9 , 8 m/s 2 = 24500 N F_2 = 2500 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 24500 \text{ N} F 2 = 2500 kg ⋅ 9 , 8 m/s 2 = 24500 N Calculamos las áreas de los pistones S 1 S_1 S 1 y S 2 S_2 S 2 :
S 1 = π ( 0 , 20 m ) 2 4 = π ⋅ 0 , 04 4 = 0 , 01 π m 2 ≈ 0 , 0314 m 2 S 2 = π ( 0 , 40 m ) 2 4 = π ⋅ 0 , 16 4 = 0 , 04 π m 2 ≈ 0 , 1257 m 2 \begin{gathered}
S_1 = \frac{\pi (0,20 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,04}{4} = 0,01\pi \text{ m}^2 \approx 0,0314 \text{ m}^2 \\ \quad \\ S_2 = \frac{\pi (0,40 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,16}{4} = 0,04\pi \text{ m}^2 \approx 0,1257 \text{ m}^2
\end{gathered} S 1 = 4 π ( 0 , 20 m ) 2 = 4 π ⋅ 0 , 04 = 0 , 01 π m 2 ≈ 0 , 0314 m 2 S 2 = 4 π ( 0 , 40 m ) 2 = 4 π ⋅ 0 , 16 = 0 , 04 π m 2 ≈ 0 , 1257 m 2 Aplicamos el Principio de Pascal para despejar F 1 F_1 F 1 :
F 1 = F 2 ⋅ S 1 S 2 = 24500 N ⋅ 0 , 01 π m 2 0 , 04 π m 2 = 24500 N ⋅ 1 4 = 6125 N F_1 = F_2 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 24500 \text{ N} \cdot \frac{0,01\pi \text{ m}^2}{0,04\pi \text{ m}^2} = 24500 \text{ N} \cdot \frac{1}{4} = 6125 \text{ N} F 1 = F 2 ⋅ S 2 S 1 = 24500 N ⋅ 0 , 04 π m 2 0 , 01 π m 2 = 24500 N ⋅ 4 1 = 6125 N Resultado:
F 1 = 6125 N F_1 = 6125 \text{ N} F 1 = 6125 N b) El avance que tiene que realizar el pistón pequeño para elevar la masa 1 m 1 \text{ m} 1 m . El volumen de líquido desplazado por el pistón pequeño debe ser igual al volumen de líquido que asciende el pistón grande. Datos:
ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m ϕ 2 = 40 cm = 0 , 40 m h 2 = 1 m \begin{gathered}
\phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m} \\ \phi_2 = 40 \text{ cm} = 0,40 \text{ m} \\ h_2 = 1 \text{ m}
\end{gathered} ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m ϕ 2 = 40 cm = 0 , 40 m h 2 = 1 m Fórmulas:
V = S ⋅ h S 1 ⋅ h 1 = S 2 ⋅ h 2 \begin{gathered}
V = S \cdot h \\ S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2
\end{gathered} V = S ⋅ h S 1 ⋅ h 1 = S 2 ⋅ h 2 Sustitución: Usamos las áreas calculadas en el apartado a):
S 1 = 0 , 01 π m 2 S 2 = 0 , 04 π m 2 \begin{gathered}
S_1 = 0,01\pi \text{ m}^2 \\ S_2 = 0,04\pi \text{ m}^2
\end{gathered} S 1 = 0 , 01 π m 2 S 2 = 0 , 04 π m 2 Despejamos h 1 h_1 h 1 :
h 1 = h 2 ⋅ S 2 S 1 = 1 m ⋅ 0 , 04 π m 2 0 , 01 π m 2 = 1 m ⋅ 4 = 4 m h_1 = h_2 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 1 \text{ m} \cdot \frac{0,04\pi \text{ m}^2}{0,01\pi \text{ m}^2} = 1 \text{ m} \cdot 4 = 4 \text{ m} h 1 = h 2 ⋅ S 1 S 2 = 1 m ⋅ 0 , 01 π m 2 0 , 04 π m 2 = 1 m ⋅ 4 = 4 m Resultado:
h 1 = 4 m h_1 = 4 \text{ m} h 1 = 4 m c) Si hubiera que levantar una carga de 4000 kg 4000 \text{ kg} 4000 kg con el valor de F 1 F_1 F 1 calculado en el apartado a), ¿qué diámetro debería tener el cilindro más grande? Con la nueva masa, la fuerza F 2 F_2 F 2 cambiará. Aplicaremos el Principio de Pascal para encontrar la nueva área S 2 S_2 S 2 y de ahí el nuevo diámetro ϕ 2 \phi_2 ϕ 2 . Datos:
m nueva = 4000 kg g = 9 , 8 m/s 2 F 1 = 6125 N (del apartado a)) ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m \begin{gathered}
m_{\text{nueva}} = 4000 \text{ kg} \\ g = 9,8 \text{ m/s}^2 \\ F_1 = 6125 \text{ N (del apartado a))} \\ \phi_1 = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m}
\end{gathered} m nueva = 4000 kg g = 9 , 8 m/s 2 F 1 = 6125 N (del apartado a)) ϕ 1 = 20 cm = 0 , 20 m Fórmulas:
F 2 , nueva = m nueva ⋅ g F 1 S 1 = F 2 , nueva S 2 , nueva S = π d 2 4 ⟹ d = 4 S π \begin{gathered}
F_{2,\text{nueva}} = m_{\text{nueva}} \cdot g \\ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_{2,\text{nueva}}}{S_{2,\text{nueva}}} \\ S = \frac{\pi d^2}{4} \implies d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}
\end{gathered} F 2 , nueva = m nueva ⋅ g S 1 F 1 = S 2 , nueva F 2 , nueva S = 4 π d 2 ⟹ d = π 4 S Sustitución: Calculamos la nueva fuerza F 2 , nueva F_{2,\text{nueva}} F 2 , nueva :
F 2 , nueva = 4000 kg ⋅ 9 , 8 m/s 2 = 39200 N F_{2,\text{nueva}} = 4000 \text{ kg} \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 = 39200 \text{ N} F 2 , nueva = 4000 kg ⋅ 9 , 8 m/s 2 = 39200 N Usamos el área del pistón pequeño S 1 S_1 S 1 del apartado a):
S 1 = 0 , 01 π m 2 S_1 = 0,01\pi \text{ m}^2 S 1 = 0 , 01 π m 2 Despejamos la nueva área del pistón grande S 2 , nueva S_{2,\text{nueva}} S 2 , nueva :
S 2 , nueva = S 1 ⋅ F 2 , nueva F 1 = 0 , 01 π m 2 ⋅ 39200 N 6125 N S 2 , nueva = 0 , 01 π m 2 ⋅ 6 , 4 = 0 , 064 π m 2 ≈ 0 , 2011 m 2 \begin{gathered}
S_{2,\text{nueva}} = S_1 \cdot \frac{F_{2,\text{nueva}}}{F_1} = 0,01\pi \text{ m}^2 \cdot \frac{39200 \text{ N}}{6125 \text{ N}} \\ \quad \\ S_{2,\text{nueva}} = 0,01\pi \text{ m}^2 \cdot 6,4 = 0,064\pi \text{ m}^2 \approx 0,2011 \text{ m}^2
\end{gathered} S 2 , nueva = S 1 ⋅ F 1 F 2 , nueva = 0 , 01 π m 2 ⋅ 6125 N 39200 N S 2 , nueva = 0 , 01 π m 2 ⋅ 6 , 4 = 0 , 064 π m 2 ≈ 0 , 2011 m 2 Finalmente, calculamos el nuevo diámetro ϕ 2 , nueva \phi_{2,\text{nueva}} ϕ 2 , nueva :
ϕ 2 , nueva = 4 ⋅ S 2 , nueva π = 4 ⋅ 0 , 064 π m 2 π = 4 ⋅ 0 , 064 m 2 = 0 , 256 m 2 ≈ 0 , 5059 m \phi_{2,\text{nueva}} = \sqrt{\frac{4 \cdot S_{2,\text{nueva}}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 0,064\pi \text{ m}^2}{\pi}} = \sqrt{4 \cdot 0,064 \text{ m}^2} = \sqrt{0,256 \text{ m}^2} \approx 0,5059 \text{ m} ϕ 2 , nueva = π 4 ⋅ S 2 , nueva = π 4 ⋅ 0 , 064 π m 2 = 4 ⋅ 0 , 064 m 2 = 0 , 256 m 2 ≈ 0 , 5059 m Resultado:
ϕ 2 , nueva ≈ 0 , 5059 m = 50 , 59 cm \phi_{2,\text{nueva}} \approx 0,5059 \text{ m} = 50,59 \text{ cm} ϕ 2 , nueva ≈ 0 , 5059 m = 50 , 59 cm 
