T2: Sistemas mecánicos · Termodinámica — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Madrid 2024

Termodinámica

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

3.2

Empleando como calefacción una bomba de calor, para mantener el interior de una vivienda a una temperatura de $25^\circ\text{C}$ cuando en el exterior es de $-2^\circ\text{C}$ , se necesitan suministrar $5000\text{ MJ}$ al día al foco caliente. Se pide:

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Si el rendimiento del ciclo operativo real es el $20\%$ del ciclo de Carnot:

b) Determine la potencia consumida por la bomba.c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Bomba de calorCiclo de CarnotRendimiento+1

a) Potencia teórica, suponiendo que la bomba de calor sigue un ciclo de Carnot.

Primero, se convierten las temperaturas a Kelvin y la energía a Julios.

Datos

T_c = 25^\circ\text{C} = (25 + 273.15)\text{ K} = 298.15\text{ K}

T_f = -2^\circ\text{C} = (-2 + 273.15)\text{ K} = 271.15\text{ K}

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

t = 1\text{ día} = 24\text{ h} \times 3600\text{ s/h} = 86400\text{ s}

Fórmulas

El coeficiente de operación (COP) para una bomba de calor de Carnot es:

\varepsilon_{\text{Carnot}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}

El trabajo consumido por día es:

W_{\text{Carnot}} = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_{\text{Carnot}}}

La potencia teórica es:

P_{\text{Carnot}} = \dfrac{W_{\text{Carnot}}}{t}

Sustitución

Cálculo del COP de Carnot:

\varepsilon_{\text{Carnot}} = \dfrac{298.15\text{ K}}{298.15\text{ K} - 271.15\text{ K}} = \dfrac{298.15}{27} \approx 11.0426

Cálculo del trabajo teórico consumido por día:

W_{\text{Carnot}} = \dfrac{5000 \times 10^6\text{ J}}{11.0426} \approx 4.5270 \times 10^8\text{ J}

Cálculo de la potencia teórica:

P_{\text{Carnot}} = \dfrac{4.5270 \times 10^8\text{ J}}{86400\text{ s}} \approx 5239.58\text{ W}

Resultado

P_{\text{Carnot}} = 5.24\text{ kW}

b) Determine la potencia consumida por la bomba.

Datos

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

t = 86400\text{ s}

\varepsilon_{\text{Carnot}} \approx 11.0426

\text{Rendimiento del ciclo real} = 20\%\text{ del ciclo de Carnot}

Fórmulas

El COP del ciclo operativo real es:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.20 \cdot \varepsilon_{\text{Carnot}}

El trabajo real consumido por día es:

W_{\text{real}} = \dfrac{Q_c}{\varepsilon_{\text{real}}}

La potencia real consumida es:

P_{\text{real}} = \dfrac{W_{\text{real}}}{t}

Sustitución

Cálculo del COP real:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.20 \cdot 11.0426 = 2.20852

Cálculo del trabajo real consumido por día:

W_{\text{real}} = \dfrac{5000 \times 10^6\text{ J}}{2.20852} \approx 2.2630 \times 10^9\text{ J}

Cálculo de la potencia consumida:

P_{\text{real}} = \dfrac{2.2630 \times 10^9\text{ J}}{86400\text{ s}} \approx 26192.13\text{ W}

Resultado

P_{\text{real}} = 26.19\text{ kW}

c) Calcule el calor absorbido del foco frío por día.

Datos

Q_c = 5000\text{ MJ/día} = 5000 \times 10^6\text{ J/día}

W_{\text{real}} \approx 2.2630 \times 10^9\text{ J/día}

Fórmulas

Para una bomba de calor, la relación entre el calor cedido al foco caliente ( $Q_c$ ), el calor absorbido del foco frío ( $Q_f$ ) y el trabajo consumido ( $W$ ) es:

Q_c = Q_f + W_{\text{real}}

Despejando el calor absorbido del foco frío:

Q_f = Q_c - W_{\text{real}}

Sustitución

Q_f = (5000 \times 10^6\text{ J}) - (2.2630 \times 10^9\text{ J})

Q_f = (5000 \times 10^6\text{ J}) - (2263 \times 10^6\text{ J})

Q_f = 2737 \times 10^6\text{ J}

Resultado

Q_f = 2737\text{ MJ/día}