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T2: Sistemas mecánicos
Estática
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
3.1
Examen
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

Imagen del ejercicio
a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
VigasReaccionesEsfuerzo cortante+1
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS
a) Calcule las reacciones en los apoyos.

La viga es una viga simplemente apoyada con un apoyo articulado en A y un apoyo de rodillos en B. Las fuerzas de reacción son RAR_A (vertical) y HAH_A (horizontal) en A, y RBR_B (vertical) en B.Aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático.Datos:

∑Fx=0∑Fy=0∑MA=0\begin{gathered} \sum F_x = 0 \\ \sum F_y = 0 \\ \sum M_A = 0 \end{gathered}

Fuerzas aplicadas: F1=1000 NF_1 = 1000 \text{ N} a 4 m4 \text{ m} de A. F2=200 NF_2 = 200 \text{ N} a 10−4=6 m10 - 4 = 6 \text{ m} de A (4 m4 \text{ m} desde B). Longitud total de la viga L=10 mL = 10 \text{ m}.Cálculo de las reacciones:1. Ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales:

∑Fx=0\sum F_x = 0
HA=0H_A = 0

2. Ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto A:

∑MA=0\sum M_A = 0
(F1⋅4 m)+(F2⋅(10 m−4 m))−(RB⋅10 m)=0(F_1 \cdot 4 \text{ m}) + (F_2 \cdot (10 \text{ m} - 4 \text{ m})) - (R_B \cdot 10 \text{ m}) = 0
(1000 N⋅4 m)+(200 N⋅6 m)−(RB⋅10 m)=0(1000 \text{ N} \cdot 4 \text{ m}) + (200 \text{ N} \cdot 6 \text{ m}) - (R_B \cdot 10 \text{ m}) = 0
4000 N\textperiodcenteredm+1200 N\textperiodcenteredm−10RB=04000 \text{ N\textperiodcentered}m + 1200 \text{ N\textperiodcentered}m - 10R_B = 0
5200 N\textperiodcenteredm=10RB5200 \text{ N\textperiodcentered}m = 10R_B
RB=5200 N\textperiodcenteredm10 mR_B = \dfrac{5200 \text{ N\textperiodcentered}m}{10 \text{ m}}
RB=520 NR_B = 520 \text{ N}

3. Ecuación de equilibrio de fuerzas verticales:

∑Fy=0\sum F_y = 0
RA+RB−F1−F2=0R_A + R_B - F_1 - F_2 = 0
RA+520 N−1000 N−200 N=0R_A + 520 \text{ N} - 1000 \text{ N} - 200 \text{ N} = 0
RA+520 N−1200 N=0R_A + 520 \text{ N} - 1200 \text{ N} = 0
RA−680 N=0R_A - 680 \text{ N} = 0
RA=680 NR_A = 680 \text{ N}

Resultado:

HA=0 NRA=680 NRB=520 N\begin{gathered} H_A = 0 \text{ N} \\ R_A = 680 \text{ N} \\ R_B = 520 \text{ N} \end{gathered}
b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Se definen tres tramos para la viga:Tramo I: 0≤x<4 m0 \le x < 4 \text{ m} (desde A hasta la fuerza F1F_1)Tramo II: 4 m≤x<6 m4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m} (desde la fuerza F1F_1 hasta la fuerza F2F_2)Tramo III: 6 m≤x≤10 m6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m} (desde la fuerza F2F_2 hasta B)Cálculo de las funciones de esfuerzo cortante V(x)V(x):Tramo I (0≤x<4 m0 \le x < 4 \text{ m}):

V(x)=RAV(x) = R_A
V(x)=680 NV(x) = 680 \text{ N}

Tramo II (4 m≤x<6 m4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m}):

V(x)=RA−F1V(x) = R_A - F_1
V(x)=680 N−1000 NV(x) = 680 \text{ N} - 1000 \text{ N}
V(x)=−320 NV(x) = -320 \text{ N}

Tramo III (6 m≤x≤10 m6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m}):

V(x)=RA−F1−F2V(x) = R_A - F_1 - F_2
V(x)=680 N−1000 N−200 NV(x) = 680 \text{ N} - 1000 \text{ N} - 200 \text{ N}
V(x)=−520 NV(x) = -520 \text{ N}

Verificación final del cortante en B: V(10)=−520 NV(10) = -520 \text{ N}. Al añadir RB=520 NR_B = 520 \text{ N}, el cortante se cierra a 0 N0 \text{ N}. Correcto.Cálculo de las funciones de momento flector M(x)M(x):Tramo I (0≤x<4 m0 \le x < 4 \text{ m}):

M(x)=RA⋅xM(x) = R_A \cdot x
M(x)=680x N\textperiodcenteredmM(x) = 680x \text{ N\textperiodcentered}m
M(0)=0 N\textperiodcenteredmM(4)=680⋅4=2720 N\textperiodcenteredm\begin{gathered} M(0) = 0 \text{ N\textperiodcentered}m \\ M(4) = 680 \cdot 4 = 2720 \text{ N\textperiodcentered}m \end{gathered}

Tramo II (4 m≤x<6 m4 \text{ m} \le x < 6 \text{ m}):

M(x)=RA⋅x−F1⋅(x−4)M(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 4)
M(x)=680x−1000(x−4) N\textperiodcenterexdmM(x) = 680x - 1000(x - 4) \text{ N\textperiodcenterexd}m
M(x)=680x−1000x+4000=−320x+4000 N\textperiodcenterexdmM(x) = 680x - 1000x + 4000 = -320x + 4000 \text{ N\textperiodcenterexd}m
M(4) = -320 \cdot 4 + 4000 = -1280 + 4000 = 2720 \text{ N\textperiodcenterexd}m(Coincidecon (Coincide con M(4)$ del Tramo I)
$M(6) = -320 \cdot 6 + 4000 = -1920 + 4000 = 2080 \text{ N\textperiodcenterexd}m

Tramo III (6 m≤x≤10 m6 \text{ m} \le x \le 10 \text{ m}):

M(x)=RA⋅x−F1⋅(x−4)−F2⋅(x−6)M(x) = R_A \cdot x - F_1 \cdot (x - 4) - F_2 \cdot (x - 6)
M(x)=680x−1000(x−4)−200(x−6) N\textperiodcenterexdmM(x) = 680x - 1000(x - 4) - 200(x - 6) \text{ N\textperiodcenterexd}m
M(x)=680x−1000x+4000−200x+1200 N\textperiodcenterexdmM(x) = 680x - 1000x + 4000 - 200x + 1200 \text{ N\textperiodcenterexd}m
M(x)=−520x+5200 N\textperiodcenterexdmM(x) = -520x + 5200 \text{ N\textperiodcenterexd}m
M(6) = -520 \cdot 6 + 5200 = -3120 + 5200 = 2080 \text{ N\textperiodcenterexd}m(Coincidecon (Coincide con M(6)$ del Tramo II)
$M(10) = -520 \cdot 10 + 5200 = -5200 + 5200 = 0 \text{ N\textperiodcenterexd}m \quad\text{(Coincide con el apoyo B. Correcto)}

Diagramas de esfuerzo cortante y momento flector:Diagrama de Esfuerzo Cortante V(x)V(x) (N):

x(m)V(x)(N)06804−6804+−3206−−3206+−52010−520\begin{array}{|c|c|} \hline \mathbf{x (m)} & \mathbf{V(x) (N)} \\ \hline 0 & 680 \\ 4^- & 680 \\ 4^+ & -320 \\ 6^- & -320 \\ 6^+ & -520 \\ 10 & -520 \\ \hline \end{array}

Diagrama de Momento Flector M(x)M(x) (N·m):

\begin{array}{|c|c|} \hline \mathbf{x (m)} & \mathbf{M(x) (N\textperiodcenterexd}m)} \\ \hline 0 & 0 \\ 4 & 2720 \\ 6 & 2080 \\ 10 & 0 \\ \hline \end{array}