AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Sistemas mecánicos
Estática - Vigas
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
4
Examen

De la viga que se muestra en la figura:

Imagen del ejercicio
a) Indique de qué tipo de viga se trata según sus apoyos.b) Calcule las reacciones en los apoyos.c) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
VigasReaccionesEsfuerzo cortante+1
a)

La viga es una viga simplemente apoyada, también conocida como viga biarticulada o viga isostática con un apoyo fijo (articulación) en un extremo y un apoyo móvil (rodillo) en el otro.

b)

Cálculo de las reacciones en los apoyos:Definimos los apoyos: el apoyo A es una articulación fija (reacciones RAxR_{\text{Ax}} y RAyR_{\text{Ay}}) y el apoyo B es un rodillo (reacción RByR_{\text{By}}).Datos:

F_1 = 600\, \text{N}$ a $x_1 = 4\, \text{m}
F_2 = 600\, \text{N}$ a $x_2 = 6\, \text{m}$ (o $4\, \text{m}$ desde B)
L=10 mL = 10\, \text{m}

Fórmulas (Ecuaciones de equilibrio):

∑Fx=0\sum F_x = 0
∑Fy=0\sum F_y = 0
∑M=0\sum M = 0

Sustitución:1. Equilibrio de fuerzas horizontales:

RAx=0R_{\text{Ax}} = 0

2. Equilibrio de momentos respecto al punto A (sentido antihorario positivo):

∑MA=0\sum M_{\text{A}} = 0
(−F1⋅x1)+(−F2⋅x2)+(RBy⋅L)=0(-F_1 \cdot x_1) + (-F_2 \cdot x_2) + (R_{\text{By}} \cdot L) = 0
(−600 N⋅4 m)+(−600 N⋅6 m)+(RBy⋅10 m)=0(-600\, \text{N} \cdot 4\, \text{m}) + (-600\, \text{N} \cdot 6\, \text{m}) + (R_{\text{By}} \cdot 10\, \text{m}) = 0
−2400 N⋅m−3600 N⋅m+10 RBy=0-2400\, \text{N}\cdot\text{m} - 3600\, \text{N}\cdot\text{m} + 10\, R_{\text{By}} = 0
10 RBy=6000 N⋅m10\, R_{\text{By}} = 6000\, \text{N}\cdot\text{m}
RBy=6000 N⋅m10 mR_{\text{By}} = \frac{6000\, \text{N}\cdot\text{m}}{10\, \text{m}}

3. Equilibrio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

∑Fy=0\sum F_y = 0
RAy+RBy−F1−F2=0R_{\text{Ay}} + R_{\text{By}} - F_1 - F_2 = 0
RAy+600 N−600 N−600 N=0R_{\text{Ay}} + 600\, \text{N} - 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = 0
RAy−600 N=0R_{\text{Ay}} - 600\, \text{N} = 0
RAy=600 NR_{\text{Ay}} = 600\, \text{N}

Resultado:

RAx=0 NR_{\text{Ax}} = 0\, \text{N}
RAy=600 NR_{\text{Ay}} = 600\, \text{N}
RBy=600 NR_{\text{By}} = 600\, \text{N}
c)

Diagramas de esfuerzo cortante y momento flector:Se definen las funciones de esfuerzo cortante V(x)V(x) y momento flector M(x)M(x) por tramos, tomando el origen de coordenadas en el punto A.Tramo 1: 0≤x<4 m0 \le x < 4\, \text{m} Fórmulas:

V(x)=RAyV(x) = R_{\text{Ay}}
M(x)=RAy⋅xM(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x

Sustitución:

V(x)=600 NV(x) = 600\, \text{N}
M(x)=600x N⋅mM(x) = 600x\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(0) = 600\, \text{N}$, $M(0) = 0\, \text{N}\cdot\text{m}
V(4^-) = 600\, \text{N}$, $M(4) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Tramo 2: 4 m≤x<6 m4\, \text{m} \le x < 6\, \text{m} Fórmulas:

V(x)=RAy−F1V(x) = R_{\text{Ay}} - F_1
M(x)=RAy⋅x−F1⋅(x−x1)M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x - F_1 \cdot (x - x_1)

Sustitución:

V(x)=600 N−600 N=0 NV(x) = 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = 0\, \text{N}
M(x)=600x−600(x−4)=600x−600x+2400=2400 N⋅mM(x) = 600x - 600(x - 4) = 600x - 600x + 2400 = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(4^+) = 0\, \text{N}$, $M(4) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}
V(6^-) = 0\, \text{N}$, $M(6) = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}

Tramo 3: 6 m≤x≤10 m6\, \text{m} \le x \le 10\, \text{m} Fórmulas:

V(x)=RAy−F1−F2V(x) = R_{\text{Ay}} - F_1 - F_2
M(x)=RAy⋅x−F1⋅(x−x1)−F2⋅(x−x2)M(x) = R_{\text{Ay}} \cdot x - F_1 \cdot (x - x_1) - F_2 \cdot (x - x_2)

Sustitución:

V(x)=600 N−600 N−600 N=−600 NV(x) = 600\, \text{N} - 600\, \text{N} - 600\, \text{N} = -600\, \text{N}
M(x)=600x−600(x−4)−600(x−6)M(x) = 600x - 600(x - 4) - 600(x - 6)
M(x)=600x−600x+2400−600x+3600M(x) = 600x - 600x + 2400 - 600x + 3600
M(x)=−600x+6000 N⋅mM(x) = -600x + 6000\, \text{N}\cdot\text{m}

Resultado:

V(6^+) = -600\, \text{N}$, $M(6) = -600(6) + 6000 = -3600 + 6000 = 2400\, \text{N}\cdot\text{m}
V(10) = -600\, \text{N}$, $M(10) = -600(10) + 6000 = -6000 + 6000 = 0\, \text{N}\cdot\text{m}

Descripción de los diagramas:Diagrama de Esfuerzo Cortante V(x)V(x):Desde x=0x=0 hasta x=4 mx=4\, \text{m}, el esfuerzo cortante es constante e igual a 600 N600\, \text{N}.En x=4 mx=4\, \text{m}, hay un salto debido a la carga de 600 N600\, \text{N}, reduciendo el cortante de 600 N600\, \text{N} a 0 N0\, \text{N}.Desde x=4 mx=4\, \text{m} hasta x=6 mx=6\, \text{m}, el esfuerzo cortante es constante e igual a 0 N0\, \text{N}.En x=6 mx=6\, \text{m}, hay otro salto debido a la carga de 600 N600\, \text{N}, reduciendo el cortante de 0 N0\, \text{N} a −600 N-600\, \text{N}.Desde x=6 mx=6\, \text{m} hasta x=10 mx=10\, \text{m}, el esfuerzo cortante es constante e igual a −600 N-600\, \text{N}.En x=10 mx=10\, \text{m}, la reacción RByR_{\text{By}} de 600 N600\, \text{N} cierra el diagrama a 0 N0\, \text{N}.Diagrama de Momento Flector M(x)M(x):Desde x=0x=0 hasta x=4 mx=4\, \text{m}, el momento flector aumenta linealmente de 0 N⋅m0\, \text{N}\cdot\text{m} a 2400 N⋅m2400\, \text{N}\cdot\text{m}.Desde x=4 mx=4\, \text{m} hasta x=6 mx=6\, \text{m}, el momento flector es constante e igual a 2400 N⋅m2400\, \text{N}\cdot\text{m} (ya que el esfuerzo cortante es cero en este tramo).Desde x=6 mx=6\, \text{m} hasta x=10 mx=10\, \text{m}, el momento flector disminuye linealmente de 2400 N⋅m2400\, \text{N}\cdot\text{m} a 0 N⋅m0\, \text{N}\cdot\text{m}.