T2: Sistemas mecánicos · Estática — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Madrid 2025

T2: Sistemas mecánicos

Estática

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

3.1

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

Cuestión 3.1. De la viga que se muestra en la figura:

a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

VigasEsfuerzo cortanteMomento flector

BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

a) Calcule las reacciones en los apoyos.

La viga es una viga simplemente apoyada con un voladizo. El apoyo A es fijo (articulación), con reacciones vertical ( $R_{Ay}$ ) y horizontal ( $R_{Ax}$ ). El apoyo B es un rodillo, con reacción vertical ( $R_{By}$ ). La carga distribuida $q$ se transforma en una fuerza resultante $F_q$ para el cálculo de las reacciones.Datos

q = 2000 \text{ N/m}

L_{\text{total}} = 3 \text{ m}

L_{AB} = 2 \text{ m}

Fórmulas

\sum F_x = 0

\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - F_q = 0

\sum M_A = 0 \Rightarrow R_{By} \cdot L_{AB} - F_q \cdot x_{\text{aplicación F_q}} = 0

Sustitución 1. Cálculo de la fuerza resultante de la carga distribuida:

F_q = q \cdot L_{\text{total}} = 2000 \text{ N/m} \cdot 3 \text{ m} = 6000 \text{ N}

Esta fuerza actúa en el centro de la viga, a $1.5 \text{ m}$ del apoyo A.2. Ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales:

\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} = 0

3. Ecuación de equilibrio de momentos respecto al apoyo A:

\sum M_A = 0

R_{By} \cdot 2 \text{ m} - 6000 \text{ N} \cdot 1.5 \text{ m} = 0

R_{By} \cdot 2 \text{ m} - 9000 \text{ Nm} = 0

R_{By} = \frac{9000 \text{ Nm}}{2 \text{ m}} = 4500 \text{ N}

4. Ecuación de equilibrio de fuerzas verticales:

\sum F_y = 0

R_{Ay} + R_{By} - F_q = 0

R_{Ay} + 4500 \text{ N} - 6000 \text{ N} = 0

R_{Ay} = 6000 \text{ N} - 4500 \text{ N} = 1500 \text{ N}

Resultado

R_{Ax} = 0 \text{ N}

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

R_{By} = 4500 \text{ N}

b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Se dividirá la viga en dos tramos para el análisis de esfuerzos.Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m}$ (desde A hasta B)Datos

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

q = 2000 \text{ N/m}

Fórmulas

V_1(x) = R_{Ay} - q \cdot x

M_1(x) = R_{Ay} \cdot x - \frac{q \cdot x^2}{2}

Sustitución

V_1(x) = 1500 - 2000x

M_1(x) = 1500x - 1000x^2

Resultado (valores en puntos clave del tramo 1)

V_1(0) = 1500 \text{ N}

V_1(2^-) = 1500 - 2000(2) = -2500 \text{ N}

El cortante es cero en $x = \frac{1500}{2000} = 0.75 \text{ m}$ .

M_1(0) = 0 \text{ Nm}

M_1(0.75) = 1500(0.75) - 1000(0.75)^2 = 1125 - 562.5 = 562.5 \text{ Nm}

M_1(2) = 1500(2) - 1000(2)^2 = 3000 - 4000 = -1000 \text{ Nm}

Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m}$ (desde B hasta el extremo derecho)Datos

R_{Ay} = 1500 \text{ N}

R_{By} = 4500 \text{ N}

q = 2000 \text{ N/m}

Fórmulas

V_2(x) = R_{Ay} + R_{By} - q \cdot x

M_2(x) = R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x-2) - \frac{q \cdot x^2}{2}

Sustitución

V_2(x) = 1500 + 4500 - 2000x = 6000 - 2000x

M_2(x) = 1500x + 4500(x-2) - 1000x^2

Resultado (valores en puntos clave del tramo 2)

V_2(2^+) = 6000 - 2000(2) = 2000 \text{ N}

V_2(3) = 6000 - 2000(3) = 0 \text{ N}

M_2(2) = 1500(2) + 4500(2-2) - 1000(2^2) = 3000 + 0 - 4000 = -1000 \text{ Nm}

M_2(3) = 1500(3) + 4500(3-2) - 1000(3^2) = 4500 + 4500 - 9000 = 0 \text{ Nm}

Diagramas Diagrama de Esfuerzo Cortante $V(x)$ :Comienza en $x=0$ con un valor positivo de $1500 \text{ N}$ ( $R_{Ay}$ ). Decrece linealmente debido a la carga distribuida. Cruza el eje cero en $x = 0.75 \text{ m}$ . Continúa decreciendo hasta un valor de $-2500 \text{ N}$ justo antes de $x=2 \text{ m}$ . En $x=2 \text{ m}$ hay un salto positivo debido a la reacción $R_{By}$ de $4500 \text{ N}$ , lo que eleva el valor a $-2500 + 4500 = 2000 \text{ N}$ . Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el cortante decrece linealmente hasta un valor de $0 \text{ N}$ en el extremo final de la viga ( $x=3 \text{ m}$ ). Diagrama de Momento Flector $M(x)$ :Comienza en $x=0$ con un valor de $0 \text{ Nm}$ (apoyo articulado). Aumenta parabólicamente hasta un máximo positivo de $562.5 \text{ Nm}$ en $x = 0.75 \text{ m}$ (donde el cortante es cero). A partir de ahí, disminuye parabólicamente, pasando por $M=0$ y alcanzando un mínimo negativo de $-1000 \text{ Nm}$ en $x=2 \text{ m}$ (sobre el apoyo B). Desde $x=2 \text{ m}$ hasta $x=3 \text{ m}$ , el momento aumenta parabólicamente (volviéndose menos negativo) hasta un valor de $0 \text{ Nm}$ en el extremo final de la viga ( $x=3 \text{ m}$ ), como corresponde a un extremo libre sin momento concentrado.