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T2: Sistemas mecánicos
Estática
Problema
2024 · Ordinaria · Suplente
3.1
Examen
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

Imagen del ejercicio
a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
VigasReacciones en apoyosEsfuerzo cortante+1
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS
a) Cálculo de las reacciones en los apoyos

Tipo de viga: Viga simplemente apoyada con voladizo. El apoyo A es una articulación, por lo que presenta dos reacciones (RAxR_{Ax}, RAyR_{Ay}). El apoyo B es un rodillo, por lo que presenta una reacción vertical (RByR_{By}). La carga PP es una fuerza puntual descendente.

Datos
P=400 NP = 400\,N
L1=2 m(distancia de A a B)L_1 = 2\,m \quad\text{(distancia de A a B)}
L2=1 m(distancia de B a P)L_2 = 1\,m \quad\text{(distancia de B a P)}
Ltotal=L1+L2=3 mL_{\text{total}} = L_1 + L_2 = 3\,m
Fórmulas

Para el equilibrio estático de la viga, se aplican las ecuaciones de equilibrio:

∑Fx=0(Sumatorio de fuerzas horizontales)\sum F_x = 0 \quad \text{(Sumatorio de fuerzas horizontales)}
∑Fy=0(Sumatorio de fuerzas verticales)\sum F_y = 0 \quad \text{(Sumatorio de fuerzas verticales)}
∑MA=0(Sumatorio de momentos respecto al apoyo A)\sum M_A = 0 \quad \text{(Sumatorio de momentos respecto al apoyo A)}
Sustitución

1. Sumatorio de fuerzas horizontales:

∑Fx=RAx=0\sum F_x = R_{Ax} = 0

2. Sumatorio de momentos respecto al apoyo A (sentido antihorario positivo):

∑MA=RBy⋅L1−P⋅(L1+L2)=0\sum M_A = R_{By} \cdot L_1 - P \cdot (L_1 + L_2) = 0
RBy⋅(2 m)−400 N⋅(2 m+1 m)=0R_{By} \cdot (2\,m) - 400\,N \cdot (2\,m + 1\,m) = 0
2RBy−400 N⋅3 m=02 R_{By} - 400\,N \cdot 3\,m = 0
2RBy−1200 N⋅m=02 R_{By} - 1200\,N \cdot m = 0
RBy=1200 N⋅m2 mR_{By} = \frac{1200\,N \cdot m}{2\,m}
RBy=600 NR_{By} = 600\,N

3. Sumatorio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

∑Fy=RAy+RBy−P=0\sum F_y = R_{Ay} + R_{By} - P = 0
RAy+600 N−400 N=0R_{Ay} + 600\,N - 400\,N = 0
RAy+200 N=0R_{Ay} + 200\,N = 0
RAy=−200 NR_{Ay} = -200\,N
Resultado
RAx=0 NR_{Ax} = 0\,N
RAy=−200 N(La direccioˊn real es hacia abajo)R_{Ay} = -200\,N \quad \text{(La dirección real es hacia abajo)}
R_{By} = 600\,N \quad \text{(La dirección real es hacia arriba)}
b) Representación de los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector

Se define el origen de coordenadas en el apoyo A (x=0 mx=0\,m). Los tramos a considerar son desde x=0 mx=0\,m hasta x=2 mx=2\,m (apoyo B) y desde x=2 mx=2\,m hasta x=3 mx=3\,m (carga P).

Funciones del esfuerzo cortante V(x)
Tramo 1: $0 \le x < 2\,m$ (desde A hasta antes de B)

Se considera la fuerza RAyR_{Ay} que actúa a la izquierda de la sección.

Fórmulas
V(x)=RAyV(x) = R_{Ay}
Sustitución
V(x)=−200 NV(x) = -200\,N
Resultado
V(x)=−200 NV(x) = -200\,N
Tramo 2: $2\,m \le x < 3\,m$ (desde después de B hasta antes de P)

Se consideran las fuerzas RAyR_{Ay} y RByR_{By} que actúan a la izquierda de la sección.

Fórmulas
V(x)=RAy+RByV(x) = R_{Ay} + R_{By}
Sustitución
V(x)=−200 N+600 NV(x) = -200\,N + 600\,N
Resultado
V(x)=400 NV(x) = 400\,N
Funciones del momento flector M(x)
Tramo 1: $0 \le x < 2\,m$ (desde A hasta antes de B)

Se considera el momento generado por la fuerza RAyR_{Ay} a la izquierda de la sección.

Fórmulas
M(x)=RAy⋅xM(x) = R_{Ay} \cdot x
Sustitución
M(x)=−200 N⋅xM(x) = -200\,N \cdot x
Resultado
M(x)=−200x N⋅mM(x) = -200x \text{ N}\cdot\text{m}
Tramo 2: $2\,m \le x \le 3\,m$ (desde después de B hasta P)

Se consideran los momentos generados por las fuerzas RAyR_{Ay} y RByR_{By} a la izquierda de la sección.

Fórmulas
M(x)=RAy⋅x+RBy⋅(x−L1)M(x) = R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x - L_1)
Sustitución
M(x)=−200 N⋅x+600 N⋅(x−2 m)M(x) = -200\,N \cdot x + 600\,N \cdot (x - 2\,m)
M(x)=−200x+600x−1200M(x) = -200x + 600x - 1200
Resultado
M(x)=(400x−1200) N⋅mM(x) = (400x - 1200) \text{ N}\cdot\text{m}
Valores significativos para los diagramas
Esfuerzo cortante V(x)
Sustitución
V(0)=−200 NV(0) = -200\,N
V(2−)=−200 NV(2^-) = -200\,N
V(2+)=400 NV(2^+) = 400\,N
V(3−)=400 NV(3^-) = 400\,N
V(3+)=V(3−)−P=400 N−400 N=0 NV(3^+) = V(3^-) - P = 400\,N - 400\,N = 0\,N
Momento flector M(x)
Sustitución
M(0)=−200⋅0=0 N⋅mM(0) = -200 \cdot 0 = 0\,N \cdot m
M(2)=−200⋅2=−400 N⋅mM(2) = -200 \cdot 2 = -400\,N \cdot m
M(3)=400⋅3−1200=1200−1200=0 N⋅mM(3) = 400 \cdot 3 - 1200 = 1200 - 1200 = 0\,N \cdot m
Descripción de los diagramas
Diagrama de Esfuerzo Cortante (V(x))

El diagrama de esfuerzo cortante presenta un valor constante de −200 N-200\,N desde x=0 mx=0\,m hasta el apoyo B en x=2 mx=2\,m. En el apoyo B (x=2 mx=2\,m), experimenta un salto vertical ascendente de 600 N600\,N debido a la reacción RByR_{By}, pasando de −200 N-200\,N a 400 N400\,N. Desde x=2 mx=2\,m hasta el extremo final de la viga en x=3 mx=3\,m, el valor del esfuerzo cortante se mantiene constante en 400 N400\,N. En el extremo final (x=3 mx=3\,m), el diagrama cierra a cero debido a la carga puntual PP de 400 N400\,N aplicada hacia abajo.

Diagrama de Momento Flector (M(x))

El diagrama de momento flector comienza en M(0)=0 N⋅mM(0)=0\,N \cdot m en el apoyo A (articulación). Decrece linealmente desde 0 N⋅m0\,N \cdot m hasta un valor de M(2)=−400 N⋅mM(2)=-400\,N \cdot m en el apoyo B. La pendiente de esta sección es de −200 N-200\,N. Desde el apoyo B (x=2 mx=2\,m) hasta el extremo final de la viga en x=3 mx=3\,m, el momento flector aumenta linealmente desde −400 N⋅m-400\,N \cdot m hasta M(3)=0 N⋅mM(3)=0\,N \cdot m en el punto de aplicación de la carga PP. La pendiente de esta sección es de 400 N400\,N.