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T2: Sistemas mecánicos
Estática y resistencia de materiales
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
3.1
Examen
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS

De la viga que se muestra en la figura:

Imagen del ejercicio
a) Calcule las reacciones en los apoyos.b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.
VigasReaccionesMomento flector
BLOQUE 3. SISTEMAS MECÁNICOS
a) Calcule las reacciones en los apoyos.

Se identifica la viga como una viga continua o voladizo con dos apoyos. El apoyo A es una articulación fija (permitiendo reacciones verticales y horizontales) y el apoyo B es un apoyo de rodillo (permitiendo solo reacción vertical). Se considera el eje x horizontal a lo largo de la viga y el eje y vertical, con sentido positivo hacia arriba.Se aplican las ecuaciones de equilibrio estático para determinar las reacciones en los apoyos A y B.Datos

P=400 N(carga puntual hacia abajo en el extremo derecho)P = 400 \text{ N} \quad\text{(carga puntual hacia abajo en el extremo derecho)}
Distancia de A a B $= 2 \text{ m}
Distancia de B al punto de aplicación de $P = 1 \text{ m}
Longitud total de la viga $= 3 \text{ m}

Fórmulas

∑Fx=0\sum F_x = 0
∑Fy=0\sum F_y = 0
∑Mpunto=0\sum M_{\text{punto}} = 0

Sustitución 1. Equilibrio de fuerzas horizontales:

∑Fx=0⇒RAx=0 N\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Ax} = 0 \text{ N}

2. Equilibrio de momentos respecto al apoyo A (sentido antihorario positivo):

∑MA=0\sum M_A = 0
RBy⋅(2 m)−P⋅(2 m+1 m)=0R_{By} \cdot (2 \text{ m}) - P \cdot (2 \text{ m} + 1 \text{ m}) = 0
RBy⋅(2 m)−400 N⋅(3 m)=0R_{By} \cdot (2 \text{ m}) - 400 \text{ N} \cdot (3 \text{ m}) = 0
RBy⋅(2 m)=1200 N⋅mR_{By} \cdot (2 \text{ m}) = 1200 \text{ N} \cdot \text{m}
RBy=1200 N⋅m2 mR_{By} = \frac{1200 \text{ N} \cdot \text{m}}{2 \text{ m}}
RBy=600 NR_{By} = 600 \text{ N}

3. Equilibrio de fuerzas verticales (sentido hacia arriba positivo):

∑Fy=0\sum F_y = 0
RAy+RBy−P=0R_{Ay} + R_{By} - P = 0
RAy+600 N−400 N=0R_{Ay} + 600 \text{ N} - 400 \text{ N} = 0
RAy=400 N−600 NR_{Ay} = 400 \text{ N} - 600 \text{ N}
RAy=−200 NR_{Ay} = -200 \text{ N}

El signo negativo indica que la reacción RAyR_{Ay} actúa hacia abajo.Resultado

RAx=0 NR_{Ax} = 0 \text{ N}
RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}
R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}
b) Represente los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Para la representación de los diagramas, se dividirá la viga en tramos y se determinarán las ecuaciones de esfuerzo cortante y momento flector para cada uno. Se utiliza la convención de signos estándar: esfuerzo cortante positivo si las fuerzas a la izquierda de la sección sumadas son hacia arriba, y momento flector positivo si causa tracción en las fibras inferiores de la viga.Datos

RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}
R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}
P=400 N(hacia abajo)P = 400 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Secciones de la viga:

Tramo 1: $0 \le x < 2 \text{ m} \quad\text{(desde el apoyo A hasta el apoyo B)}
Tramo 2: $2 \le x \le 3 \text{ m} \quad\text{(desde el apoyo B hasta el extremo final)}

Esfuerzo Cortante V(x)V(x) Tramo 1: 0≤x<2 m0 \le x < 2 \text{ m} Datos

RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Fórmulas

V(x)=∑FyV(x) = \sum F_y

Sustitución

V1(x)=−RAyV_1(x) = -R_{Ay}
V1(x)=−200 NV_1(x) = -200 \text{ N}

Resultado

V1(x)=−200 NV_1(x) = -200 \text{ N}
V(0)=−200 NV(0) = -200 \text{ N}
V(2−)=−200 NV(2^-) = -200 \text{ N}

Tramo 2: 2≤x≤3 m2 \le x \le 3 \text{ m} Datos

RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}
R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

Fórmulas

V(x)=∑FyV(x) = \sum F_y

Sustitución

V2(x)=−RAy+RByV_2(x) = -R_{Ay} + R_{By}
V2(x)=−200 N+600 NV_2(x) = -200 \text{ N} + 600 \text{ N}
V2(x)=400 NV_2(x) = 400 \text{ N}

Resultado

V2(x)=400 NV_2(x) = 400 \text{ N}
V(2+)=400 NV(2^+) = 400 \text{ N}
V(3−)=400 NV(3^-) = 400 \text{ N}
En $x=3 \text{ m}$ se aplica la carga $P = 400 \text{ N}$ hacia abajo, por lo que el cortante finaliza en $V(3) = 400 - 400 = 0 \text{ N}$. Esto verifica que el diagrama cierra correctamente.

Momento Flector M(x)M(x) Tramo 1: 0≤x<2 m0 \le x < 2 \text{ m} Datos

RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}

Fórmulas

M(x)=∫V(x)dxM(x) = \int V(x) dx
M(x)=−RAy⋅xM(x) = -R_{Ay} \cdot x

Sustitución

M1(x)=−200xM_1(x) = -200x

Resultado

M1(x)=−200x N⋅mM_1(x) = -200x \text{ N} \cdot \text{m}
M(0)=0 N⋅m(momento nulo en apoyo articulado)M(0) = 0 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(momento nulo en apoyo articulado)}
M(2)=−200⋅2=−400 N⋅mM(2) = -200 \cdot 2 = -400 \text{ N} \cdot \text{m}

Tramo 2: 2≤x≤3 m2 \le x \le 3 \text{ m} Datos

RAy=200 N(hacia abajo)R_{Ay} = 200 \text{ N} \quad\text{(hacia abajo)}
R_{By} = 600 \text{ N} \quad\text{(hacia arriba)}

Fórmulas

M(x)=∑Mizquierda de la seccioˊnM(x) = \sum M_{\text{izquierda de la sección}}
M(x)=−RAy⋅x+RBy⋅(x−2 m)M(x) = -R_{Ay} \cdot x + R_{By} \cdot (x - 2 \text{ m})

Sustitución

M2(x)=−200x+600(x−2)M_2(x) = -200x + 600(x - 2)
M2(x)=−200x+600x−1200M_2(x) = -200x + 600x - 1200
M2(x)=400x−1200M_2(x) = 400x - 1200

Resultado

M2(x)=400x−1200 N⋅mM_2(x) = 400x - 1200 \text{ N} \cdot \text{m}
M(2)=400⋅2−1200=800−1200=−400 N⋅m(coincide con el valor al final del Tramo 1)M(2) = 400 \cdot 2 - 1200 = 800 - 1200 = -400 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(coincide con el valor al final del Tramo 1)}
M(3)=400⋅3−1200=1200−1200=0 N⋅m(momento nulo en extremo libre)M(3) = 400 \cdot 3 - 1200 = 1200 - 1200 = 0 \text{ N} \cdot \text{m} \quad\text{(momento nulo en extremo libre)}

Descripción de los diagramas:Diagrama de Esfuerzo Cortante (V(x)V(x)):Desde x=0 mx=0 \text{ m} hasta x=2 mx=2 \text{ m}, el esfuerzo cortante es constante y negativo, con un valor de −200 N-200 \text{ N}.En x=2 mx=2 \text{ m} (apoyo B), hay un salto positivo debido a la reacción RByR_{By}. El valor cambia de −200 N-200 \text{ N} a 400 N400 \text{ N} (−200+600=400-200 + 600 = 400).Desde x=2 mx=2 \text{ m} hasta x=3 mx=3 \text{ m}, el esfuerzo cortante es constante y positivo, con un valor de 400 N400 \text{ N}.En x=3 mx=3 \text{ m} (extremo final), el esfuerzo cortante disminuye a 0 N0 \text{ N} debido a la carga PP de 400 N400 \text{ N}.Diagrama de Momento Flector (M(x)M(x)):En x=0 mx=0 \text{ m} (apoyo A), el momento flector es 0 N⋅m0 \text{ N} \cdot \text{m}.Desde x=0 mx=0 \text{ m} hasta x=2 mx=2 \text{ m}, el momento flector varía linealmente, disminuyendo desde 0 N⋅m0 \text{ N} \cdot \text{m} hasta −400 N⋅m-400 \text{ N} \cdot \text{m}.En x=2 mx=2 \text{ m} (apoyo B), el momento flector tiene un valor de −400 N⋅m-400 \text{ N} \cdot \text{m} (momento negativo indica tracción en las fibras superiores).Desde x=2 mx=2 \text{ m} hasta x=3 mx=3 \text{ m}, el momento flector varía linealmente, aumentando desde −400 N⋅m-400 \text{ N} \cdot \text{m} hasta 0 N⋅m0 \text{ N} \cdot \text{m}.En x=3 mx=3 \text{ m} (extremo final), el momento flector es 0 N⋅m0 \text{ N} \cdot \text{m} (extremo libre sin momento aplicado).