Leyes de conservación

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

A-a

a) Razone la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) para que la energía mecánica se conserve es necesario que la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo sea nula; ii) la energía mecánica se conserva cuando sobre un cuerpo actúan solo fuerzas conservativas.

Conservación de la energía mecánicaFuerzas conservativas

T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

A-b

b) Un niño de 15 kg resbala desde el reposo a lo largo de un tobogán de 2 m de altura cuya inclinación con respecto a la horizontal es de 30º. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.25: i) realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el niño y determine el trabajo de la fuerza de rozamiento. ii) Calcule la energía cinética del niño al final del tobogán y la velocidad con la que llega. Responda razonadamente.$g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

TrabajoEnergía cinéticaRozamiento

b) Tobogán con rozamiento: fuerzas, trabajo de rozamiento, energía cinética y velocidad final.

Datos del problema:Masa del niño: $m = 15$ kg, altura del tobogán: $h = 2$ m, ángulo de inclinación: $\alpha = 30^\circ$ , coeficiente de rozamiento dinámico: $\mu_d = 0{,}25$ , $g = 9{,}8$ m/s².Longitud del tobogán (plano inclinado):

L = \frac{h}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4 \text{ m}

i) Esquema de fuerzas y trabajo de la fuerza de rozamiento.

Las fuerzas que actúan sobre el niño son:

· Peso

P = mg

, descompuesto en componente paralela al plano

P_\parallel = mg\sin\alpha

(hacia abajo del plano) y componente perpendicular

P_\perp = mg\cos\alpha

(hacia el plano).· Normal

N

, perpendicular al plano y opuesta a

P_\perp

.· Fuerza de rozamiento

f_r

, paralela al plano y opuesta al movimiento (hacia arriba del plano).

Equilibrio en la dirección perpendicular al plano:

N = mg\cos\alpha = 15 \times 9{,}8 \times \cos 30^\circ = 147 \times 0{,}866 = 127{,}3 \text{ N}

Fuerza de rozamiento:

f_r = \mu_d \cdot N = 0{,}25 \times 127{,}3 = 31{,}8 \text{ N}

Trabajo de la fuerza de rozamiento (la fuerza es opuesta al desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo):

W_{f_r} = -f_r \cdot L = -31{,}8 \times 4 = -127{,}3 \text{ J}

ii) Energía cinética al final del tobogán y velocidad de llegada.

Aplicamos el teorema trabajo-energía (o principio de conservación de la energía con rozamiento). El niño parte del reposo ( $E_{k0} = 0$ ), por lo que:

E_{k} = E_{p} + W_{f_r}

donde $E_p = mgh$ es la energía potencial gravitatoria que se convierte en cinética y trabajo (parte se disipa por rozamiento).Energía potencial inicial:

E_p = mgh = 15 \times 9{,}8 \times 2 = 294 \text{ J}

Energía cinética al llegar al final del tobogán:

E_k = E_p + W_{f_r} = 294 + (-127{,}3) = 166{,}7 \text{ J}

Velocidad al llegar al final del tobogán, a partir de $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2$ :

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 166{,}7}{15}} = \sqrt{22{,}23} \approx 4{,}7 \text{ m/s}

Razonamiento: La energía cinética final es menor que la energía potencial inicial porque la fuerza de rozamiento realiza trabajo negativo (disipa energía en forma de calor). Si no hubiera rozamiento, toda la energía potencial se convertiría en cinética ( $E_k = 294$ J, $v \approx 6{,}3$ m/s). El rozamiento reduce la velocidad de llegada a aproximadamente $4{,}7$ m/s.

T2: Interacción electromagnética

Flujo magnético y FEM inducida

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

B-a1

a1) Indique, razonando sus respuestas, si los siguientes enunciados son ciertos: i) si el flujo magnético a través de una superficie es cero entonces necesariamente el campo magnético es nulo; ii) la fuerza electromotriz inducida será no nula si el flujo es no nulo.

Flujo magnéticoCampo magnéticoFEM inducida

T2: Interacción electromagnética

Energía potencial electrostática

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

B-a2

a2) Dos partículas idénticas, de carga q y masa m, están separadas una distancia d. Se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje por acción de la fuerza electrostática hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) Determine la expresión del módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) Indique como cambiaría el módulo de la velocidad si se duplicase el valor de las cargas.

Conservación de la energíaFuerza electrostáticaCarga

Dos partículas cargadas: una fija y otra libre

Se aplica el principio de conservación de la energía mecánica. La energía potencial eléctrica entre dos cargas puntuales es:

U = k \frac{q^2}{r}

La partícula libre parte del reposo (velocidad inicial $v_0 = 0$ ) a distancia $d$ y se aleja hasta distancia $2d$ .

i) Expresión del módulo de la velocidad en el punto final

Aplicando conservación de energía mecánica entre el estado inicial (distancia $d$ , $v=0$ ) y el estado final (distancia $2d$ , velocidad $v$ ):

E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}

\frac{1}{2}m \cdot 0^2 + k\frac{q^2}{d} = \frac{1}{2}mv^2 + k\frac{q^2}{2d}

Despejando la energía cinética final:

\frac{1}{2}mv^2 = k\frac{q^2}{d} - k\frac{q^2}{2d} = k\frac{q^2}{2d}

v^2 = \frac{kq^2}{md}

\boxed{v = q\sqrt{\frac{k}{md}}}

ii) ¿Cómo cambia la velocidad si se duplican las cargas?

Si las cargas pasan a ser $q' = 2q$ , la nueva velocidad $v'$ se obtiene sustituyendo en la expresión anterior:

v' = q'\sqrt{\frac{k}{md}} = 2q\sqrt{\frac{k}{md}} = 2v

Al duplicar el valor de las cargas, el módulo de la velocidad adquirida por la partícula libre se duplica. Esto se debe a que la energía potencial eléctrica es proporcional a $q^2$ , por lo que al duplicar $q$ la diferencia de energía potencial se cuadruplica, y al relacionarla con la energía cinética ( $\frac{1}{2}mv^2 \propto q^2$ ), la velocidad resulta proporcional a $q$ , duplicándose.

T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

B-b1

b1) En un parque eólico del estrecho de Gibraltar, un aerogenerador posee una espira circular de área 40 \text{ cm}^2 que gira a 1500 \text{ rpm} alrededor de un eje que pasa por su diámetro y es perpendicular a un campo magnético uniforme de módulo 0.25 \text{ T}. La espira tiene una resistencia de 10 \Omega. Considere que en $t = 0 \text{ s}$ el flujo es máximo. i) Determine el flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule la fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducida en la espira en función del tiempo. ¿La corriente en la espira es continua o alterna?

Flujo magnéticoFEM inducidaIntensidad de corriente+1

Aerogenerador: espira giratoria en campo magnético

Datos del problema:

Área de la espira:

A = 40 \text{ cm}^2 = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 4 \times 10^{-3} \text{ m}^2

Velocidad de giro:

n = 1500 \text{ rpm}

Campo magnético:

B = 0{,}25 \text{ T}

Resistencia:

R = 10 \ \Omega

Condición inicial: en

t = 0

, el flujo es máximo (espira paralela a

\vec{B}

, es decir, el vector normal a la espira es paralelo a

\vec{B}

).

Cálculo de la frecuencia angular

Convertimos las rpm a radianes por segundo:

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot \frac{n}{60} = 2\pi \cdot \frac{1500}{60} = 2\pi \cdot 25 = 50\pi \ \text{rad/s} \approx 157{,}08 \ \text{rad/s}

Apartado i) Flujo magnético en función del tiempo

El flujo magnético a través de la espira que gira con velocidad angular $\omega$ en un campo $B$ uniforme es:

\Phi(t) = B \cdot A \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)

Como en $t = 0$ el flujo es máximo, el ángulo entre el vector normal y $\vec{B}$ es cero en ese instante, por lo que $\varphi_0 = 0$ . El flujo máximo vale:

\Phi_{\max} = B \cdot A = 0{,}25 \ \text{T} \cdot 4 \times 10^{-3} \ \text{m}^2 = 1 \times 10^{-3} \ \text{Wb} = 10^{-3} \ \text{Wb}

Por tanto, el flujo en función del tiempo es:

\boxed{\Phi(t) = 10^{-3} \cos(50\pi \, t) \ \text{Wb}}

Apartado ii) Fuerza electromotriz e intensidad inducida

Aplicando la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz (fem) inducida es:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\left[10^{-3}\cos(50\pi \, t)\right]

\varepsilon(t) = 10^{-3} \cdot 50\pi \cdot \sin(50\pi \, t)

Calculamos la fem máxima (amplitud):

\varepsilon_{\max} = B \cdot A \cdot \omega = 10^{-3} \cdot 50\pi = 0{,}05\pi \ \text{V} \approx 0{,}157 \ \text{V}

La expresión de la fem en función del tiempo es:

\boxed{\varepsilon(t) = 0{,}05\pi \cdot \sin(50\pi \, t) \ \text{V} \approx 0{,}157 \sin(50\pi \, t) \ \text{V}}

La intensidad de corriente inducida se obtiene aplicando la Ley de Ohm:

I(t) = \frac{\varepsilon(t)}{R} = \frac{0{,}05\pi \cdot \sin(50\pi \, t)}{10}

\boxed{I(t) = 5\pi \times 10^{-3} \cdot \sin(50\pi \, t) \ \text{A} \approx 0{,}0157 \sin(50\pi \, t) \ \text{A}}

La corriente inducida en la espira es ALTERNA, ya que varía sinusoidalmente con el tiempo (cambia de signo periódicamente), con una frecuencia de $f = 25 \ \text{Hz}$ . Este es precisamente el principio de funcionamiento de un alternador o generador de corriente alterna.

T2: Interacción electromagnética

Energía y fuerza electrostática

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

B-b2

b2) Un electrón se lanza desde el infinito con una velocidad inicial de $1 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ hacia una carga puntual de $-5 \ \mu \text{C}$ que permanece fija. i) Determine la distancia a la carga puntual en la que se anula la velocidad del electrón. ii) Calcule el módulo y carácter (atractiva o repulsiva) de la fuerza a esa distancia.$k = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Conservación de la energíaPotencial eléctricoFuerza electrostática

Electrón lanzado hacia una carga puntual negativa

Un electrón (carga $-e$ ) se lanza desde el infinito hacia una carga $Q = -5\ \mu\text{C}$ . Como ambas cargas son negativas, la fuerza entre ellas es repulsiva. El electrón irá frenándose hasta que su velocidad sea nula.

i) Distancia a la que se anula la velocidad del electrón

Aplicamos conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (infinito) y el punto final (donde $v = 0$ ):

E_{\text{cinética, inicial}} + E_{\text{potencial, inicial}} = E_{\text{cinética, final}} + E_{\text{potencial, final}}

En el infinito, la energía potencial es cero. En el punto final, la velocidad es cero, por lo que la energía cinética es cero:

\frac{1}{2}m_e v_0^2 + 0 = 0 + E_{p,f}

La energía potencial eléctrica del electrón (carga $q = -e$ ) a distancia $r$ de la carga $Q$ es:

E_p = k\frac{Q \cdot q}{r} = k\frac{(-5\times10^{-6})\cdot(-1{,}6\times10^{-19})}{r}

Igualando las energías:

\frac{1}{2}m_e v_0^2 = k\frac{Q \cdot q}{r}

Despejando $r$ :

r = \frac{k\cdot Q \cdot q}{\frac{1}{2}m_e v_0^2} = \frac{2k\cdot |Q|\cdot e}{m_e v_0^2}

Sustituyendo valores:

r = \frac{2 \times 9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{9{,}1\times10^{-31} \times (1\times10^7)^2}

r = \frac{2 \times 9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{9{,}1\times10^{-31} \times 10^{14}}

r = \frac{2 \times 7{,}2\times10^{-15}}{9{,}1\times10^{-17}} = \frac{1{,}44\times10^{-14}}{9{,}1\times10^{-17}}

\boxed{r \approx 158{,}2 \text{ m}}

ii) Módulo y carácter de la fuerza a esa distancia

Aplicamos la ley de Coulomb para calcular el módulo de la fuerza entre la carga $Q = -5\ \mu\text{C}$ y el electrón (carga $q = -e = -1{,}6\times10^{-19}$ C) a la distancia $r \approx 158{,}2$ m:

F = k\frac{|Q|\cdot|q|}{r^2}

F = \frac{9\times10^9 \times 5\times10^{-6} \times 1{,}6\times10^{-19}}{(158{,}2)^2}

F = \frac{9\times10^9 \times 8\times10^{-25}}{2{,}502\times10^4}

F = \frac{7{,}2\times10^{-15}}{2{,}502\times10^4}

\boxed{F \approx 2{,}88\times10^{-19} \text{ N}}

En cuanto al carácter de la fuerza: como el electrón y la carga fija tienen el mismo signo (ambos negativos), la interacción entre ellos es REPULSIVA. Esta fuerza repulsiva es la que ha frenado al electrón hasta detenerlo.

T4: Óptica

Lentes divergentes

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

C-a1

a1) Se sitúa un objeto luminoso delante de una lente divergente. Dibuje el trazado de rayos e indique razonadamente las características de la imagen obtenida.

Trazado de rayosImagenLente divergente

T3: Vibraciones y ondas

Propagación de ondas

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

C-a2

a2) Una onda armónica pasa de un medio a otro. La longitud de onda en el segundo medio es la mitad del primero. Obtenga de forma justificada la relación entre: i) las velocidades de propagación de la onda en ambos medios; ii) la velocidad máxima de oscilación en ambos medios si no cambia la amplitud.

Onda armónicaLongitud de ondaVelocidad de propagación+1

Onda armónica que pasa de un medio a otro

Dato fundamental: la longitud de onda en el segundo medio es la mitad que en el primero:

\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}

Principio clave: al pasar de un medio a otro, la frecuencia de la onda NO cambia (la fuente impone la frecuencia y la onda debe cumplir condiciones de continuidad en la interfaz):

f_1 = f_2 = f

i) Relación entre las velocidades de propagación

La velocidad de propagación de una onda está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda mediante:

v = \lambda \cdot f

Para cada medio:

v_1 = \lambda_1 \cdot f \qquad v_2 = \lambda_2 \cdot f

Dividiendo ambas expresiones:

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2 \cdot f}{\lambda_1 \cdot f} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\lambda_1 / 2}{\lambda_1} = \frac{1}{2}

Por tanto, la velocidad de propagación en el segundo medio es la mitad que en el primero:

v_2 = \frac{v_1}{2}

ii) Relación entre las velocidades máximas de oscilación

La velocidad máxima de oscilación (velocidad de las partículas del medio, no de propagación) de una onda armónica es:

v_{\text{máx}} = A \cdot \omega = A \cdot 2\pi f

donde $A$ es la amplitud y $\omega = 2\pi f$ es la frecuencia angular. Como la amplitud no cambia ( $A_1 = A_2 = A$ ) y la frecuencia tampoco cambia ( $f_1 = f_2 = f$ ), se tiene:

v_{\text{máx},1} = A \cdot 2\pi f \qquad v_{\text{máx},2} = A \cdot 2\pi f

\frac{v_{\text{máx},2}}{v_{\text{máx},1}} = 1

La velocidad máxima de oscilación de las partículas es igual en ambos medios, ya que depende únicamente de la amplitud y la frecuencia, y ninguna de las dos varía al cambiar de medio:

v_{\text{máx},1} = v_{\text{máx},2}

T4: Óptica

Lentes convergentes

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

C-b1

b1) Se quiere proyectar un objeto de 0.2 milímetros de altura con una lente convergente en una pantalla. Se coloca la pantalla a 28 cm a la derecha del objeto. Entre el objeto y la pantalla, a 3.8 cm del objeto, se coloca la lente convergente. Realice un esquema y determine razonadamente, indicando el criterio de signos utilizado: i) la distancia focal de la lente necesaria para que la imagen del objeto se enfoque sobre la pantalla; ii) el tamaño de la imagen formada sobre la pantalla.

Lente convergenteDistancia focalTamaño de imagen+1

b1) Lente convergente: proyección sobre pantalla

Criterio de signos utilizado (convención de la óptica de lentes delgadas): las distancias se miden desde la lente. La distancia objeto $u$ es negativa si el objeto está a la izquierda de la lente (objeto real). La distancia imagen $v$ es positiva si la imagen se forma a la derecha de la lente (imagen real).

Datos del problema

Altura del objeto: $h_o = 0{,}2 \ \text{mm}$ Distancia objeto–pantalla: $28 \ \text{cm}$ La lente se coloca a $3{,}8 \ \text{cm}$ del objeto, por lo que:Distancia objeto–lente: $|u| = 3{,}8 \ \text{cm}$ → con el criterio de signos: $u = -3{,}8 \ \text{cm}$ Distancia lente–pantalla: $v = 28 - 3{,}8 = 24{,}2 \ \text{cm}$ → $v = +24{,}2 \ \text{cm}$ (imagen real a la derecha)

Esquema óptico

Apartado i) Distancia focal de la lente

Se aplica la ecuación de la lente delgada (ecuación de Gauss):

\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}

Sustituyendo los valores $u = -3{,}8 \ \text{cm}$ y $v = +24{,}2 \ \text{cm}$ :

\frac{1}{f} = \frac{1}{24{,}2} - \frac{1}{-3{,}8} = \frac{1}{24{,}2} + \frac{1}{3{,}8}

\frac{1}{f} = 0{,}04132 + 0{,}26316 = 0{,}30447 \ \text{cm}^{-1}

f = \frac{1}{0{,}30447} \approx 3{,}28 \ \text{cm}

La distancia focal necesaria es $f \approx 3{,}28 \ \text{cm}$ . El valor positivo confirma que se trata de una lente convergente, tal como se indica en el enunciado.

Apartado ii) Tamaño de la imagen

El aumento lateral (o amplificación transversal) viene dado por:

m = \frac{h_i}{h_o} = \frac{v}{u} = \frac{24{,}2}{-3{,}8} \approx -6{,}37

El signo negativo indica que la imagen es real e invertida (proyectada sobre la pantalla), lo cual es coherente con el funcionamiento de un proyector.El tamaño de la imagen es:

h_i = |m| \cdot h_o = 6{,}37 \times 0{,}2 \ \text{mm} \approx 1{,}27 \ \text{mm}

La imagen formada sobre la pantalla tiene una altura de aproximadamente $1{,}27 \ \text{mm}$ , es real, invertida y amplificada (unas 6,37 veces respecto al objeto original).

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

C-b2

b2) La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación:$y(x,t) = 0.01 \text{ sen}(10 \pi x) \cos(200 \pi t)$ (S.I.).\n i) Indique qué tipo de onda es. ii) Calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición da lugar a dicha onda. iii) Determine la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situada en el punto $x = 10 \text{ cm}$. Razone su respuesta.

Onda estacionariaAmplitudVelocidad de propagación+1

Onda estacionaria en una cuerda de guitarra

La ecuación de la onda es: $y(x,t) = 0{,}01 \ \text{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t)$ (S.I.)

i) Tipo de onda

La ecuación tiene la forma $y(x,t) = A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$ , que es el producto de una función solo de $x$ por una función solo de $t$ . Esto es la forma característica de una onda estacionaria (u onda estacionaria de vibración). Se forma por la superposición de dos ondas progresivas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en sentidos opuestos.

ii) Amplitud y velocidad de propagación de las ondas componentes

Una onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas viajeras:

y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t) \quad \text{e} \quad y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t)

cuya suma da: $y = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)$ Comparando con $y(x,t) = 0{,}01\,\text{sen}(10\pi x)\cos(200\pi t)$ , se identifican:

2A = 0{,}01 \ \text{m} \implies A = 0{,}005 \ \text{m} = 5 \times 10^{-3} \ \text{m}

k = 10\pi \ \text{rad/m} \qquad \omega = 200\pi \ \text{rad/s}

La velocidad de propagación de cada onda componente es:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{10\pi} = 20 \ \text{m/s}

iii) Velocidad de oscilación en

x = 10

cm

= 0{,}10

m

La velocidad de oscilación (velocidad transversal) de un punto de la cuerda es la derivada parcial de $y$ respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}01 \cdot 200\pi \ \text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t)

v_y(x,t) = -2\pi \ \text{sen}(10\pi x)\,\text{sen}(200\pi t) \ \text{(m/s)}

En $x = 0{,}10$ m:

\text{sen}(10\pi \cdot 0{,}10) = \text{sen}(\pi) = 0

Por tanto:

v_y(0{,}10, t) = -2\pi \cdot 0 \cdot \text{sen}(200\pi t) = 0 \ \text{m/s}

El punto $x = 0{,}10$ m es un nodo de la onda estacionaria, ya que $\text{sen}(10\pi \cdot 0{,}10) = \text{sen}(\pi) = 0$ . Los nodos son puntos que permanecen en reposo en todo momento, por lo que su velocidad de oscilación es nula para cualquier instante $t$ .

T5: Física moderna

Efecto fotoeléctrico

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

D-a1

a1) Se produce emisión de fotoelectrones en una superficie metálica cuando la frecuencia mínima de la radiación monocromática incidente corresponde a luz amarilla. Razone: i) ¿qué sucede si se irradia el metal con luz roja? ii) ¿Y si se aumenta la intensidad de la radiación monocromática amarilla?

Efecto fotoeléctricoFrecuencia umbralIntensidad+1

Efecto Fotoeléctrico — Análisis de situaciones

La frecuencia umbral o mínima $\nu_0$ corresponde a la luz amarilla. Esto significa que la función de trabajo del metal es:

\phi = h\nu_0

Para que haya emisión fotoeléctrica, la frecuencia de la radiación incidente debe cumplir $\nu \geq \nu_0$ . La energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos viene dada por la ecuación de Einstein:

E_k = h\nu - \phi = h(\nu - \nu_0)

i) ¿Qué sucede si se irradia el metal con luz roja?

La luz roja tiene una frecuencia menor que la luz amarilla en el espectro visible:

\nu_{\text{roja}} < \nu_{\text{amarilla}} = \nu_0

Como la frecuencia de la luz roja es inferior a la frecuencia umbral $\nu_0$ , cada fotón incidente no posee la energía mínima necesaria ( $h\nu < \phi$ ) para arrancar un electrón de la superficie metálica. Por tanto, NO se produce emisión fotoeléctrica, independientemente de la intensidad de la luz roja utilizada. Aumentar la intensidad solo aumenta el número de fotones, pero ninguno de ellos tiene energía suficiente para liberar electrones.

ii) ¿Qué sucede si se aumenta la intensidad de la radiación amarilla?

La luz amarilla tiene exactamente la frecuencia umbral $\nu = \nu_0$ , por lo que sí produce efecto fotoeléctrico (los electrones son emitidos con energía cinética nula o mínima).

E_k = h\nu_0 - \phi = 0

Al aumentar la intensidad de la luz amarilla, aumenta el número de fotones que inciden por unidad de tiempo sobre la superficie, pero la energía de cada fotón ( $h\nu_0$ ) no varía. Por lo tanto:

— La energía cinética máxima de cada fotoelectrón NO cambia (sigue siendo cero para

\nu = \nu_0

), ya que depende únicamente de la frecuencia.— El número de fotoelectrones emitidos por unidad de tiempo SÍ aumenta, ya que una mayor intensidad implica mayor número de fotones que pueden arrancar electrones, lo que se traduce en una mayor corriente fotoeléctrica.

T5: Física moderna

Hipótesis de De Broglie

Teoría

2026 · Ordinaria · Titular

D-a2

a2) Un protón tiene una masa 1,9 veces mayor que la de un mesón K. Razone: i) si tuviesen la misma longitud de onda asociada de De Broglie, ¿cuál de ellos tendría menor velocidad?; ii) si tuviesen la misma velocidad, ¿cuál de ellos tendría menor longitud de onda asociada?

Longitud de onda de De BroglieMasaVelocidad

La longitud de onda de De Broglie se define como:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

donde $h$ es la constante de Planck, $m$ la masa y $v$ la velocidad de la partícula. Sabemos que $m_p = 1{,}9 \cdot m_K$ , por lo que el protón es más masivo que el mesón K.

i) Misma longitud de onda asociada (

\lambda_p = \lambda_K

):

Si $\lambda$ es la misma para ambas partículas:

\frac{h}{m_p \cdot v_p} = \frac{h}{m_K \cdot v_K}

m_p \cdot v_p = m_K \cdot v_K \implies v_p = \frac{m_K}{m_p} \cdot v_K = \frac{m_K}{1{,}9 \cdot m_K} \cdot v_K = \frac{v_K}{1{,}9}

Como $v_p = \dfrac{v_K}{1{,}9} < v_K$ , el protón tendría menor velocidad. Al ser más masivo, necesita menos velocidad para tener el mismo momento lineal y, por tanto, la misma longitud de onda de De Broglie.

ii) Misma velocidad (

v_p = v_K = v

):

\lambda_p = \frac{h}{m_p \cdot v} = \frac{h}{1{,}9 \cdot m_K \cdot v}

\lambda_K = \frac{h}{m_K \cdot v}

\frac{\lambda_p}{\lambda_K} = \frac{1}{1{,}9} \implies \lambda_p = \frac{\lambda_K}{1{,}9} < \lambda_K

El protón tendría menor longitud de onda asociada. Al ser más masivo y tener la misma velocidad, tiene mayor momento lineal, y por tanto su longitud de onda de De Broglie es menor. En general, a mayor masa con igual velocidad, menor longitud de onda.

T5: Física moderna

Efecto fotoeléctrico

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

D-b1

b1) El cátodo de una célula fotoeléctrica de cobre se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas de frecuencias $f_1 = 9.6 \cdot 10^{14} \text{ Hz}$ y $f_2 = 5.5 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$. Si el trabajo de extracción del cobre es $4.7 \text{ eV}$: i) ¿cuál de las dos radiaciones produce efecto fotoeléctrico?; ii) calcule la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos por la radiación que produce dicho efecto. Razone sus respuestas.$h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Frecuencia umbralTrabajo de extracciónVelocidad máxima+1

Efecto fotoeléctrico en cobre

El efecto fotoeléctrico se produce cuando la energía del fotón incidente es mayor o igual que el trabajo de extracción del metal. La condición es:

E_{fotón} = h \cdot f \geq W_0

Primero convertimos el trabajo de extracción a julios:

W_0 = 4{,}7 \text{ eV} \times 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV} = 7{,}52 \cdot 10^{-19} \text{ J}

i) ¿Cuál de las dos radiaciones produce efecto fotoeléctrico?

Calculamos la energía de cada fotón:

E_1 = h \cdot f_1 = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 9{,}6 \cdot 10^{14} = 6{,}36 \cdot 10^{-19} \text{ J}

E_2 = h \cdot f_2 = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 5{,}5 \cdot 10^{15} = 3{,}65 \cdot 10^{-18} \text{ J}

Comparando con el trabajo de extracción $W_0 = 7{,}52 \cdot 10^{-19}$ J:

Radiación 1:

E_1 = 6{,}36 \cdot 10^{-19}

J

< W_0 = 7{,}52 \cdot 10^{-19}

J → NO produce efecto fotoeléctrico.Radiación 2:

E_2 = 3{,}65 \cdot 10^{-18}

J

> W_0 = 7{,}52 \cdot 10^{-19}

J → SÍ produce efecto fotoeléctrico.

Por tanto, únicamente la radiación de frecuencia $f_2 = 5{,}5 \cdot 10^{15}$ Hz produce efecto fotoeléctrico, ya que su energía supera el trabajo de extracción del cobre.

ii) Velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos por

f_2

Aplicamos el teorema de Einstein para el efecto fotoeléctrico, donde el exceso de energía del fotón se convierte en energía cinética del fotoelectrón:

E_{cin,máx} = \frac{1}{2} m_e v_{máx}^2 = h \cdot f_2 - W_0

\frac{1}{2} m_e v_{máx}^2 = 3{,}65 \cdot 10^{-18} - 7{,}52 \cdot 10^{-19} = 2{,}90 \cdot 10^{-18} \text{ J}

Despejando la velocidad máxima:

v_{máx} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{cin,máx}}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 2{,}90 \cdot 10^{-18}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}}

v_{máx} = \sqrt{\frac{5{,}80 \cdot 10^{-18}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{6{,}37 \cdot 10^{12}} \approx 2{,}52 \cdot 10^6 \text{ m/s}

La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos por la radiación $f_2$ es $v_{máx} \approx 2{,}52 \cdot 10^6$ m/s.

T5: Física moderna

Energía y longitud de onda de De Broglie

Problema

2026 · Ordinaria · Titular

D-b2

b2) Un protón y un electrón son acelerados por una diferencia de potencial de $0.075 \text{ V}$. i) Determine la energía cinética de ambas partículas. ii) Determine, razonadamente, las longitudes de onda de De Broglie asociadas a ambas partículas.$h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Energía cinéticaDe BroglieProtón+2

i) Energía cinética de ambas partículas

Cuando una partícula cargada es acelerada por una diferencia de potencial $\Delta V$ , el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte en energía cinética:

E_k = q \cdot \Delta V

Tanto el protón como el electrón tienen la misma carga en valor absoluto $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ C, por lo que ambos adquieren la misma energía cinética:

E_k = e \cdot \Delta V = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \times 0{,}075 \text{ V} = 1{,}2 \cdot 10^{-20} \text{ J}

La energía cinética de ambas partículas es $E_k = 1{,}2 \cdot 10^{-20}$ J.

ii) Longitudes de onda de De Broglie

La longitud de onda de De Broglie se define como:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Expresamos el momento lineal $p$ en función de la energía cinética. Como $E_k = \dfrac{p^2}{2m}$ , se tiene:

p = \sqrt{2 \cdot m \cdot E_k}

Por tanto:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_k}}

Longitud de onda del electrón ( $m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg):

\lambda_e = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9{,}1 \cdot 10^{-31} \times 1{,}2 \cdot 10^{-20}}}

\lambda_e = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2{,}184 \cdot 10^{-50}}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{1{,}478 \cdot 10^{-25}}

\lambda_e \approx 4{,}49 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 4{,}49 \text{ nm}

Longitud de onda del protón ( $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}$ kg):

\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1{,}67 \cdot 10^{-27} \times 1{,}2 \cdot 10^{-20}}}

\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{4{,}008 \cdot 10^{-47}}} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{6{,}331 \cdot 10^{-24}}

\lambda_p \approx 1{,}047 \cdot 10^{-10} \text{ m} \approx 0{,}105 \text{ nm}

Razonamiento: dado que ambas partículas tienen la misma energía cinética, la longitud de onda de De Broglie es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa, $\lambda \propto \dfrac{1}{\sqrt{m}}$ . Como el protón es mucho más masivo que el electrón ( $m_p \approx 1836 \cdot m_e$ ), su longitud de onda es considerablemente menor. En efecto:

\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}} = \sqrt{\frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{1835} \approx 42{,}8

Efectivamente, $\lambda_e \approx 4{,}49$ nm es aproximadamente 42,8 veces mayor que $\lambda_p \approx 0{,}105$ nm, lo que confirma el resultado.

T1: Interacción gravitatoria

Energía potencial y trabajo

Teoría

2025 · Ordinaria · Reserva

A-a

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre, y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Campo gravitatorioTrabajoEnergía+1

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre (

h \ll R_T

), y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Dado que la altura $h$ es mucho menor que el radio de la Tierra, podemos considerar que el campo gravitatorio es uniforme en la proximidad de la superficie. En estas condiciones, la aceleración de la gravedad $g$ es constante y la fuerza peso se define como $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ .

i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto;

El trabajo $W$ realizado por una fuerza constante se calcula como el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento $\Delta \vec{r}$ . En una caída libre vertical, el peso $\vec{P}$ y el desplazamiento tienen la misma dirección y el mismo sentido, por lo que el ángulo entre ambos es $0^\circ$ .

W_P = \vec{P} \cdot \Delta\vec{r} = P \cdot \Delta r \cdot \cos(0^\circ)

W_P = m \cdot g \cdot h

También se puede obtener a partir de la relación entre el trabajo de una fuerza conservativa y la energía potencial gravitatoria ( $E_p = m \cdot g \cdot h$ ):

W_P = -\Delta E_p = -(E_{p,final} - E_{p,inicial}) = -(0 - m \cdot g \cdot h) = m \cdot g \cdot h

ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Al no existir fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía mecánica del sistema se conserva durante todo el trayecto. Por tanto, la energía mecánica en el punto inicial (altura $h$ ) es igual a la energía mecánica en el punto final (suelo).

E_{m,inicial} = E_{m,final}

E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}

Considerando que el objeto se deja caer desde el reposo ( $v_0 = 0$ ) y que en el suelo la energía potencial es nula ( $h = 0$ ):

0 + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + 0

Simplificando la masa $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v^2

v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}

T1: Interacción gravitatoria

Potencial y Trabajo

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b1

b1) Dos masas puntuales de

400 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(2, 2) \text{ m}

y

B(2, -2) \text{ m}

. Calcule razonadamente: i) el potencial gravitatorio en el punto

C(2, 0) \text{ m}

; ii) el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de

3 \text{ kg}

, inicialmente en reposo en

C

, hasta dejarla en reposo en el origen de coordenadas.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Potencial gravitatorioTrabajoMasas puntuales

i) El potencial gravitatorio en un punto debido a una distribución de masas puntuales se calcula como la suma escalar de los potenciales individuales:

V = \sum V_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

. Primero, calculamos las distancias desde las masas situadas en

A(2, 2)

y

B(2, -2)

hasta el punto

C(2, 0)

:

r_{AC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2} = 2 \text{ m}; \quad r_{BC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = 2 \text{ m}

V_C = -G \left( \frac{M_A}{r_{AC}} + \frac{M_B}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 400 = -2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por una fuerza externa para desplazar la masa

m = 3 \text{ kg}

desde el punto

C

hasta el origen

O(0, 0)

, manteniendo la masa en reposo en ambos puntos (es decir,

\Delta E_k = 0

), es igual a la variación de su energía potencial:

W = \Delta E_p = m(V_O - V_C)

. Calculamos primero el potencial en el origen

O(0, 0)

determinando las nuevas distancias:

r_{AO} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}; \quad r_{BO} = \sqrt{(2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}

V_O = -G \left( \frac{400}{\sqrt{8}} + \frac{400}{\sqrt{8}} \right) = -G \frac{800}{\sqrt{8}} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 282,84 \approx -1,887 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Finalmente, sustituimos los valores de los potenciales para hallar el trabajo realizado por la fuerza externa:

W = m(V_O - V_C) = 3 \text{ kg} \cdot (-1,887 \cdot 10^{-8} - (-2,668 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W = 3 \cdot 0,781 \cdot 10^{-8} = 2,343 \cdot 10^{-8} \text{ J}

T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b2

b2) Para salir de la Luna, los astronautas del Apolo tuvieron que despegar de su superficie en su módulo lunar de

15000 \text{ kg}

. Calcule razonadamente: i) la velocidad de escape de la Luna; ii) la energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape de la Luna; iii) la velocidad con que llegaría a la Tierra una nave, inicialmente en reposo, desde una altura de

2,5 \cdot 10^4 \text{ km}

sobre la superficie terrestre. Considere despreciable el rozamiento con el aire y el efecto de la Luna.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_L = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}; R_L = 1740 \text{ km}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Velocidad de escapeEnergía cinéticaGravedad

i) La velocidad de escape de un cuerpo celeste es la velocidad mínima que debe comunicarse a un objeto para que este escape de la atracción gravitatoria del mismo, alcanzando el infinito con velocidad nula. Según el principio de conservación de la energía mecánica, la energía total en la superficie debe ser igual a la energía total en el infinito (

E_{\infty} = 0

).

E_{m(sup)} = E_{m(\infty)} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_L m}{R_L} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ , obtenemos la expresión general:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}

Sustituimos los valores de la Luna en unidades del S.I. ( $R_L = 1,74 \cdot 10^6 \text{ m}$ ):

v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}}{1,74 \cdot 10^6 \text{ m}}} = 2373,81 \text{ m/s}

ii) La energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape corresponde a la energía que permite al módulo lunar alcanzar el infinito con velocidad nula. Esta energía cinética coincide con el valor absoluto de su energía potencial en la superficie de la Luna.

E_c = \frac{1}{2} m v_e^2 = G \frac{M_L m}{R_L}

Utilizando la masa del módulo $m = 15000 \text{ kg}$ :

E_c = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \cdot 15000}{1,74 \cdot 10^6} = 4,226 \cdot 10^{10} \text{ J}

iii) Para calcular la velocidad de llegada a la Tierra, aplicamos de nuevo el principio de conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (altura

h

) y el punto final (superficie terrestre). La distancia inicial al centro de la Tierra es

r_1 = R_T + h

y la final es

r_2 = R_T

.

E_{m1} = E_{m2} \Rightarrow -G \frac{M_T m}{R_T + h} + 0 = -G \frac{M_T m}{R_T} + \frac{1}{2} m v^2

Simplificando la masa de la nave $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

v = \sqrt{2 G M_T \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h} \right)}

Sustituimos los datos de la Tierra ( $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ y $h = 2,5 \cdot 10^7 \text{ m}$ ):

v = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{1}{3,137 \cdot 10^7} \right)}

v = \sqrt{7,977 \cdot 10^{14} \cdot (1,5698 \cdot 10^{-7} - 3,1878 \cdot 10^{-8})} = 9989,61 \text{ m/s}

T2: Interacción electromagnética

Movimiento de cargas en campo magnético

Teoría

2025 · Ordinaria · Reserva

B-a

a) Dos partículas cargadas, con el mismo valor absoluto de carga eléctrica, entran perpendicularmente con la misma velocidad en el seno de un campo magnético uniforme. Las partículas describen trayectorias circulares de sentidos contrarios y radios

R_1

y

R_2

(

R_2 = 2 R_1

). i) Explique qué puede decirse del signo de las cargas eléctricas de estas partículas. ii) Obtenga la relación entre sus masas (

m_2/m_1

). Razone sus respuestas.

Campo magnéticoRadio de curvaturaFuerza de Lorentz

a) i) La fuerza magnética sobre una carga en movimiento viene descrita por la expresión de Lorentz:

\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})

. El sentido de esta fuerza depende del producto vectorial

\vec{v} \times \vec{B}

y del signo de la carga eléctrica

q

. Dado que ambas partículas entran en el mismo campo magnético

\vec{B}

con la misma velocidad

\vec{v}

, el hecho de que describan trayectorias en sentidos contrarios implica que la fuerza magnética sobre ellas tiene sentidos opuestos. Por lo tanto, las partículas deben tener signos de carga opuestos: una posee carga positiva y la otra carga negativa.

a) ii) Para una partícula cargada que entra perpendicularmente en un campo magnético uniforme, la fuerza de Lorentz actúa como fuerza centrípeta, lo que genera un movimiento circular uniforme. Igualamos los módulos de la fuerza magnética y la fuerza centrípeta:

|q| v B = m \frac{v^2}{R}

A partir de la igualdad anterior, podemos despejar el radio $R$ de la trayectoria circular:

R = \frac{m v}{|q| B}

Para obtener la relación entre las masas, despejamos $m$ para cada partícula, sabiendo que el valor absoluto de sus cargas es el mismo ( $|q_1| = |q_2| = q$ ), que sus velocidades son iguales ( $v_1 = v_2 = v$ ) y que el campo $B$ es uniforme:

m_1 = \frac{q B R_1}{v}

m_2 = \frac{q B R_2}{v}

Dividiendo ambas expresiones para hallar la relación $m_2/m_1$ :

\frac{m_2}{m_1} = \frac{\frac{q B R_2}{v}}{\frac{q B R_1}{v}} = \frac{R_2}{R_1}

Sustituyendo la relación de radios proporcionada por el enunciado, $R_2 = 2 R_1$ :

\frac{m_2}{m_1} = \frac{2 R_1}{R_1} = 2

Por lo tanto, la relación entre las masas es $m_2 = 2 m_1$ .

T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

B-b1

b1) Una espira cuadrada contenida en el plano

XY

, de

30 \text{ cm}

de lado y

1 \ \Omega

de resistencia, se mueve con una velocidad

\vec{v} = 10\vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. La espira penetra en un campo magnético

\vec{B} = 0,05\vec{k} \text{ T}

. Calcule razonadamente el valor de la corriente inducida en la espira en los siguientes casos: i) mientras está entrando en el campo; ii) mientras se mueve en el seno del campo. En ambas situaciones, realice un esquema indicando el campo inducido en el interior de la espira y la corriente inducida.

Ley de FaradayLey de LenzCorriente inducida

i) Mientras la espira está entrando en el campo magnético, el flujo magnético

\Phi

a través de ella varía debido al incremento de la superficie

S

que se encuentra sumergida en la región del campo

\vec{B}

.

El flujo magnético en un instante dado, considerando que la espira ha penetrado una distancia $x$ en el campo (siendo $x = v \cdot t$ ), se define como:

\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot (L \cdot x) \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot L \cdot x

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida $\epsilon$ es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\epsilon = - \frac{d\Phi}{dt} = - B \cdot L \cdot \frac{dx}{dt} = - B \cdot L \cdot v

Sustituyendo los valores numéricos con $L = 0,3 \text{ m}$ , $v = 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $B = 0,05 \text{ T}$ :

|\epsilon| = 0,05 \text{ T} \cdot 0,3 \text{ m} \cdot 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 0,15 \text{ V}

Aplicando la ley de Ohm, calculamos la intensidad de la corriente inducida $I$ con $R = 1 \ \Omega$ :

I = \frac{|\epsilon|}{R} = \frac{0,15 \text{ V}}{1 \ \Omega} = 0,15 \text{ A}

Según la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo magnético $\vec{B}_{ind}$ que se opone al aumento del flujo. Como $\vec{B}$ es saliente y el flujo aumenta, $\vec{B}_{ind}$ debe ser entrante (sentido $-\vec{k}$ ). Por la regla de la mano derecha, la corriente $I$ circula en sentido horario. El esquema de fuerzas de Lorentz sobre las cargas del conductor lateral derecho que entra en el campo es el siguiente:

ii) Mientras la espira se mueve íntegramente dentro del campo magnético.

En esta situación, tanto el módulo del campo magnético $B$ como la superficie $S$ de la espira atravesada por las líneas de campo permanecen constantes, ya que toda la superficie $S = L^2$ está dentro de la región con campo uniforme.

\Phi = B \cdot S = B \cdot L^2 = \text{constante}

Al ser el flujo constante, su derivada respecto al tiempo es nula, por lo que no se induce fuerza electromotriz ni corriente:

\epsilon = - \frac{d\Phi}{dt} = 0 \implies I = 0 \text{ A}

Al no haber variación de flujo, no existe campo magnético inducido ni corriente en el interior de la espira en este tramo.

T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico uniforme

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

B-b2

b2) Un electrón, inicialmente en reposo, que está situado en el seno de un campo eléctrico uniforme adquiere una aceleración de

10^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

, en sentido positivo del eje

OX

, por acción del campo. Obtenga razonadamente: i) el vector campo eléctrico; ii) el módulo de la velocidad y la energía cinética, a partir de consideraciones energéticas, cuando ha recorrido

0,5 \text{ m}

.

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Campo eléctricoAceleración de cargaEnergía cinética

Movimiento de un electrón en un campo eléctrico uniforme

i) El vector campo eléctrico.

Para calcular el vector campo eléctrico $\vec{E}$ , aplicamos la segunda ley de Newton y la definición de fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Puesto que la única fuerza actuando es la eléctrica:

\vec{F}_e = m_e \cdot \vec{a}

Sustituyendo la expresión de la fuerza eléctrica $\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$ , donde para un electrón $q = -e$ :

q \cdot \vec{E} = m_e \cdot \vec{a} \implies \vec{E} = \frac{m_e \cdot \vec{a}}{q}

Sustituyendo los valores numéricos con la aceleración en el eje positivo $OX$ , $\vec{a} = 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$ :

\vec{E} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}{-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}}

\vec{E} = -5,69 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

ii) El módulo de la velocidad y la energía cinética tras recorrer

0,5 \text{ m}

.

Utilizando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre el electrón es igual a la variación de su energía cinética. Como parte del reposo ( $E_{c,0} = 0$ ):

W = \Delta E_c = E_{c,f} - 0

El trabajo realizado por una fuerza constante es $W = F \cdot d$ , donde $F = m_e \cdot a$ :

E_c = m_e \cdot a \cdot d

E_c = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 0,5 \text{ m} = 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}

A partir de la energía cinética, despejamos el módulo de la velocidad final:

E_c = \frac{1}{2} m_e v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_c}{m_e}}

v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = \sqrt{10^{12}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}