Leyes de Kepler y gravitación universal

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-a

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Órbitas circularesLeyes de KeplerPeríodo orbital

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Para analizar la veracidad de la afirmación, utilizaremos la Tercera Ley de Kepler, que relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con su distancia media al Sol $r$ . Esta ley establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita:

\frac{T^2}{r^3} = C

Donde $C$ es una constante que depende de la masa del astro central (el Sol). Para dos planetas que orbitan el mismo astro, podemos establecer la siguiente relación:

\frac{T_J^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Siendo $T_J$ y $r_J$ el periodo y el radio orbital de Júpiter, y $T_T$ y $r_T$ los correspondientes a la Tierra. El enunciado establece que el periodo de Júpiter es 12 veces el de la Tierra, es decir, $T_J = 12 T_T$ . Sustituimos esta relación en la igualdad:

\frac{(12 T_T)^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Operando en la ecuación para despejar la relación entre las distancias:

\frac{144 T_T^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3} \implies 144 = \frac{r_J^3}{r_T^3}

Para hallar el factor de proporción entre las distancias, aplicamos la raíz cúbica a ambos lados de la igualdad:

\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{144}

Calculando el valor numérico obtenemos:

\frac{r_J}{r_T} \approx 5,24

Por lo tanto, la distancia de Júpiter al Sol es aproximadamente $5,24$ veces la distancia de la Tierra al Sol. La afirmación del enunciado, que indicaba un factor de $3,2$ , es FALSA.

T1: Interacción gravitatoria

Potencial gravitatorio y trabajo

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-b1

Dos masas puntuales de $300 \text{ kg}$ y $400 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(0,4) \text{ m}$ y $B(3,0) \text{ m}$ , respectivamente. Calcule razonadamente:

i) El potencial gravitatorio en el punto

C(3,4) \text{ m}

, apoyándose de un esquema.ii) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una tercera masa de

1,2 \text{ kg}

desde el origen de coordenadas al punto

C

.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesPotencial gravitatorioTrabajo gravitatorio

i) El potencial gravitatorio en un punto creado por un sistema de masas puntuales es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales individuales creados por cada masa en dicho punto. La expresión general es

V = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

.

Calculamos primero las distancias desde las masas $m_1$ (en $A$ ) y $m_2$ (en $B$ ) hasta el punto $C(3,4)$ :

r_{AC} = \sqrt{(3-0)^2 + (4-4)^2} = 3 \text{ m}

r_{BC} = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = 4 \text{ m}

Sustituimos en la fórmula del potencial gravitatorio en $C$ :

V_C = -G \left( \frac{m_1}{r_{AC}} + \frac{m_2}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot \left( \frac{300 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{4 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (100 + 100) = -1,334 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) para desplazar una masa

m

desde un punto inicial hasta un punto final es igual a la diferencia de energía potencial entre dichos puntos, o bien, el producto de la masa por la diferencia de potencial:

W = -\Delta E_p = m(V_{inicial} - V_{final})

.

Calculamos el potencial en el origen $O(0,0)$ , donde las distancias son $r_{AO} = 4 \text{ m}$ y $r_{BO} = 3 \text{ m}$ :

V_O = -G \left( \frac{m_1}{r_{AO}} + \frac{m_2}{r_{BO}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \left( \frac{300}{4} + \frac{400}{3} \right) \approx -1,3896 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el trabajo para desplazar la masa $m_3 = 1,2 \text{ kg}$ desde $O$ hasta $C$ :

W_{O \to C} = m_3 (V_O - V_C) = 1,2 \text{ kg} \cdot (-1,3896 \cdot 10^{-8} - (-1,334 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W_{O \to C} = 1,2 \cdot (-5,56 \cdot 10^{-10}) = -6,67 \cdot 10^{-10} \text{ J}

El signo negativo indica que el trabajo es realizado en contra del campo gravitatorio, ya que el potencial en $C$ es mayor (menos negativo) que en $O$ .

T1: Interacción gravitatoria

Energía mecánica y fuerzas en planos inclinados

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-b2

Un bloque de $5 \text{ kg}$ asciende con velocidad inicial de $8 \text{ m/s}$ por un plano inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal y con rozamiento. El bloque se detiene después de recorrer $2,5 \text{ m}$ a lo largo del plano.

i) Realice un esquema de las fuerzas que intervienen durante el ascenso.ii) Determine el aumento de energía potencial.iii) Calcule, por razonamientos energéticos, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Plano inclinadoEnergía potencialTrabajo de rozamiento+1

Bloque ascendiendo por plano inclinado con rozamiento

i) Esquema de fuerzas durante el ascenso

Durante el ascenso actúan: el peso $P = mg$ (vertical hacia abajo), la normal $N$ (perpendicular al plano), la componente del peso paralela al plano $P_x = mg\sin 35^\circ$ (cuesta abajo) y la fuerza de rozamiento $f_r = \mu N$ (cuesta abajo, opuesta al movimiento de subida).

ii) Aumento de energía potencial

La altura ganada por el bloque al recorrer $d = 2{,}5\text{ m}$ a lo largo del plano:

h = d \cdot \sin 35^\circ = 2{,}5 \cdot \sin 35^\circ = 2{,}5 \times 0{,}5736 = 1{,}434\text{ m}

El aumento de energía potencial gravitatoria es:

\Delta E_p = mgh = 5 \times 9{,}8 \times 1{,}434 = 70{,}26\text{ J}

iii) Coeficiente de rozamiento (razonamiento energético)

Aplicamos el teorema trabajo-energía. La energía cinética inicial es:

E_{c,i} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 8^2 = 160\text{ J}

La energía cinética final es $E_{c,f} = 0$ (el bloque se detiene). Por el principio de conservación de la energía con rozamiento:

E_{c,i} = \Delta E_p + W_{rozamiento}

donde $W_{rozamiento}$ es el trabajo disipado por rozamiento (calor generado, siempre positivo en energía disipada):

W_{rozamiento} = E_{c,i} - \Delta E_p = 160 - 70{,}26 = 89{,}74\text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es:

W_{rozamiento} = f_r \cdot d = \mu N \cdot d = \mu \cdot mg\cos 35^\circ \cdot d

Despejando $\mu$ :

\mu = \frac{W_{rozamiento}}{mg\cos 35^\circ \cdot d} = \frac{89{,}74}{5 \times 9{,}8 \times \cos 35^\circ \times 2{,}5}

\mu = \frac{89{,}74}{5 \times 9{,}8 \times 0{,}8192 \times 2{,}5} = \frac{89{,}74}{100{,}35} \approx 0{,}894

El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $\mu \approx 0{,}89$ .

T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico uniforme

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

B-a

Un protón entra en un campo eléctrico uniforme. Razone cómo varía su energía potencial electrostática si:

i) Se mueve en la misma dirección y en sentido contrario del campo eléctrico.ii) Se mueve en dirección perpendicular al campo eléctrico.

Energía potencial electrostáticaProtónTrabajo eléctrico

La energía potencial electrostática $U$ de una carga $q$ en un punto con potencial eléctrico $V$ viene dada por la expresión:

U = qV

Un protón tiene una carga positiva ( $q > 0$ ). El campo eléctrico $\vec{E}$ apunta en la dirección en la que el potencial eléctrico disminuye más rápidamente. La fuerza eléctrica sobre una carga positiva es $\vec{F} = q\vec{E}$ , por lo tanto, la fuerza sobre el protón tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico.

i) Se mueve en la misma dirección y en sentido contrario del campo eléctrico.

Si el protón se mueve en sentido contrario al campo eléctrico, se está moviendo hacia regiones de mayor potencial eléctrico $V$ . Dado que la carga del protón $q$ es positiva, y $U = qV$ , un aumento en el potencial $V$ implica un aumento en la energía potencial electrostática $U$ . Alternativamente, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo sobre el protón al moverse en sentido contrario a la fuerza que ejerce el campo, y el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = - \Delta U$ . Si $W_E < 0$ , entonces $\Delta U > 0$ . Por lo tanto, su energía potencial electrostática aumenta.

ii) Se mueve en dirección perpendicular al campo eléctrico.

Cuando una carga se mueve en dirección perpendicular a un campo eléctrico uniforme, se mueve a lo largo de una superficie equipotencial. Esto significa que no hay cambio en el potencial eléctrico $V$ (es decir, $\Delta V = 0$ ). Como la energía potencial electrostática está dada por $U = qV$ , si $V$ no varía, entonces $U$ tampoco varía ( $\Delta U = q\Delta V = 0$ ). Otra forma de verlo es que la fuerza eléctrica $\vec{F} = q\vec{E}$ es perpendicular al desplazamiento. Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = 0$ , y como $W_E = - \Delta U$ , la energía potencial electrostática no varía (permanece constante).

T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

B-b1

Una bobina formada por $1000$ espiras circulares de $2,5 \text{ cm}$ de radio se encuentra dentro de un campo magnético variable con el tiempo de módulo: $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ . La dirección del campo forma un ángulo de $60^\circ$ con el plano de las espiras. Calcule razonadamente:

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

.ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

.

Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

.

Primero, identificamos los datos proporcionados:Número de espiras, $N = 1000$ Radio de las espiras, $r = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}$ Campo magnético en función del tiempo, $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ Ángulo entre la dirección del campo y el plano de las espiras, $\alpha = 60^\circ$ . El ángulo $\theta$ entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector normal a la superficie $\vec{A}$ es complementario a $\alpha$ : $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .Calculamos el área de una espira:

A = \pi r^2 = \pi (0,025 \text{ m})^2 = 1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2

Calculamos el módulo del campo magnético en el instante $t = 2 \text{ s}$ :

B(2) = 1 + 0,5(2) - 0,2(2)^2 = 1 + 1 - 0,2(4) = 2 - 0,8 = 1,2 \text{ T}

La expresión general para el flujo magnético a través de $N$ espiras es:

\Phi = N B A \cos\theta

Sustituimos los valores para $t = 2 \text{ s}$ :

\Phi = 1000 \cdot (1,2 \text{ T}) \cdot (1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2) \cdot \cos(30^\circ)

\Phi = 1000 \cdot 1,2 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \cdot 0,866 = 2,037 \text{ Wb}

ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

.

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida (FEM) se calcula como la derivada temporal negativa del flujo magnético:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

Primero, escribimos la expresión del flujo magnético en función del tiempo:

\Phi(t) = N A \cos\theta \cdot B(t)

\Phi(t) = (1000 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \cdot \cos(30^\circ)) \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2)

\Phi(t) = (1000 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \cdot 0,866) \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2)

\Phi(t) = 1,700 \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2) \text{ Wb}

Ahora derivamos $\Phi(t)$ con respecto al tiempo:

\frac{d\Phi}{dt} = 1,700 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 0,5t - 0,2t^2)

\frac{d\Phi}{dt} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,4t) \text{ Wb/s}

Evaluamos esta derivada en $t = 2 \text{ s}$ :

\frac{d\Phi}{dt}\Big|_{t=2} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,4(2))

\frac{d\Phi}{dt}\Big|_{t=2} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,8) = 1,700 \cdot (-0,3) = -0,510 \text{ Wb/s}

Finalmente, calculamos la fuerza electromotriz inducida:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -(-0,510 \text{ V}) = 0,510 \text{ V}

El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida es:

|\varepsilon| = 0,510 \text{ V}

T2: Interacción electromagnética

Campo y fuerza magnética entre conductores

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

B-b2

Un conductor rectilíneo muy largo crea un campo magnético de $2 \cdot 10^{-4} \text{ T}$ a una distancia de $0,02 \text{ m}$ .

i) Determine la intensidad de corriente que circula por el hilo.ii) Se coloca paralelamente un segundo conductor rectilíneo a

0,08 \text{ m}

del primero. Calcule la intensidad y sentido de la corriente que tiene que circular por el segundo alambre para que se atraigan debido a una fuerza magnética por unidad de longitud de

10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

. Justifique sus respuestas apoyándose en un esquema.

Dato: $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Conductores rectilíneosLey de AmpèreFuerza de interacción

i) Determine la intensidad de corriente que circula por el hilo.

Para un conductor rectilíneo indefinido, el módulo del campo magnético $B$ a una distancia $r$ se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}

Despejamos la intensidad de corriente $I$ y sustituimos los datos proporcionados ( $B = 2 \cdot 10^{-4} \text{ T}$ y $r = 0,02 \text{ m}$ ):

I = \frac{B \cdot 2 \pi r}{\mu_0} = \frac{2 \cdot 10^{-4} \text{ T} \cdot 2 \pi \cdot 0,02 \text{ m}}{4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}} = 20 \text{ A}

ii) Se coloca paralelamente un segundo conductor rectilíneo a

0,08 \text{ m}

del primero. Calcule la intensidad y sentido de la corriente que tiene que circular por el segundo alambre para que se atraigan debido a una fuerza magnética por unidad de longitud de

10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

.

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos por los que circulan corrientes $I_1$ e $I_2$ separados una distancia $d$ viene dada por:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}

Para que exista atracción, las corrientes en ambos conductores deben circular en el mismo sentido. Despejamos la intensidad del segundo conductor $I_2$ utilizando los valores conocidos ( $I_1 = 20 \text{ A}$ , $d = 0,08 \text{ m}$ , $F/L = 10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}$ ):

I_2 = \frac{(F/L) \cdot 2 \pi d}{\mu_0 I_1} = \frac{10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1} \cdot 2 \pi \cdot 0,08 \text{ m}}{4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 20 \text{ A}}

I_2 = \frac{1,6 \pi \cdot 10^{-4}}{80 \pi \cdot 10^{-7}} = \frac{1,6}{80 \cdot 10^{-3}} = 20 \text{ A}

Justificación del sentido: Según la regla de la mano derecha, el primer conductor genera un campo magnético cuyas líneas son perpendiculares al segundo conductor. Aplicando la fuerza de Lorentz sobre las cargas en movimiento del segundo hilo ( $F = I_2 \cdot (L \times B)$ ), se comprueba que para que la fuerza sea atractiva (dirigida hacia el primer hilo), el sentido de $I_2$ debe ser el mismo que el de $I_1$ .

T4: Óptica

Refracción de la luz

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-a

Un haz de luz monocromático pasa de un medio con índice de refracción $n_1$ a otro medio con índice de refracción $n_2$ , siendo la velocidad en el medio $1$ menor que en el medio $2$ . Justifique razonadamente si las siguientes afirmaciones son correctas:

i)

n_1 < n_2

.ii) Se puede producir el fenómeno de reflexión total.

Índice de refracciónLey de SnellReflexión total

Refracción de la luz entre dos medios

Recordamos la relación entre el índice de refracción de un medio y la velocidad de propagación de la luz en ese medio:

n = \dfrac{c}{v}

donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío y $v$ es la velocidad de la luz en el medio. Cuanto mayor es $v$ , menor es $n$ , y viceversa.

i) Afirmación:

n_1 < n_2

Se nos dice que la velocidad de la luz en el medio 1 es menor que en el medio 2, es decir: $v_1 < v_2$ .Usando la definición del índice de refracción:

n_1 = \dfrac{c}{v_1} \qquad n_2 = \dfrac{c}{v_2}

Como $v_1 < v_2$ , entonces $\dfrac{c}{v_1} > \dfrac{c}{v_2}$ , lo que implica que $n_1 > n_2$ .La afirmación $n_1 < n_2$ es INCORRECTA. El medio 1 tiene mayor índice de refracción que el medio 2 ( $n_1 > n_2$ ), es decir, el medio 1 es ópticamente más denso que el medio 2.

ii) Afirmación: Se puede producir el fenómeno de reflexión total

La reflexión total interna se produce cuando un rayo de luz pasa de un medio ópticamente más denso (mayor $n$ ) a uno menos denso (menor $n$ ), y el ángulo de incidencia supera el ángulo límite o crítico $\theta_c$ .En nuestro caso, el rayo va del medio 1 (mayor $n_1$ ) al medio 2 (menor $n_2$ ). Esta es precisamente la condición necesaria para que pueda producirse la reflexión total. El ángulo límite se obtiene aplicando la Ley de Snell con $\theta_2 = 90^\circ$ :

n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2

\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1}

Como $n_2 < n_1$ , se tiene $\sin\theta_c < 1$ , por lo que existe un ángulo crítico real $\theta_c$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$ . Para cualquier ángulo de incidencia $\theta_1 > \theta_c$ , el rayo no se refracta y se refleja completamente en la interfaz.

La afirmación de que se puede producir reflexión total es CORRECTA, siempre que el ángulo de incidencia desde el medio 1 hacia el medio 2 sea mayor o igual que el ángulo crítico $\theta_c$ .

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-b1

Con una lente divergente se obtiene una imagen de altura igual a un tercio de la altura del objeto. La imagen se forma a $20 \text{ cm}$ de la lente.

i) Indique el criterio de signos utilizado y halle la posición del objeto.ii) Calcule la distancia focal de la lente.iii) Realice el trazado de rayos y explique su construcción.

Lentes divergentesAumento lateralTrazado de rayos

Una lente divergente siempre forma imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto cuando el objeto es real. La imagen se forma en el mismo lado que el objeto (lado de incidencia de la luz).

Criterio de signos (convenio europeo o de la óptica moderna)

Se adopta el siguiente criterio de signos:

Las distancias se miden desde la lente como origen.La luz viaja de izquierda a derecha. Las distancias en el sentido de la luz (hacia la derecha) son positivas; en sentido contrario (hacia la izquierda), negativas.Objeto real: se sitúa a la izquierda de la lente, por lo que

s_o < 0

(distancia objeto negativa).Imagen virtual (mismo lado que el objeto, lado izquierdo):

s_i < 0

.Lente divergente: distancia focal

f < 0

.

Apartado i) Posición del objeto

Datos del problema: la imagen tiene altura igual a un tercio de la altura del objeto, y la imagen se forma a 20 cm de la lente. Dado que la lente es divergente, la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto, por tanto $s_i = -20 \text{ cm}$ .La ampliación transversal $m$ se define como:

m = \frac{y'}{y} = \frac{s_i}{s_o}

Como la imagen es derecha (una lente divergente con objeto real siempre da imagen derecha) y su altura es un tercio de la del objeto:

m = +\frac{1}{3}

Despejando la posición del objeto:

\frac{s_i}{s_o} = \frac{1}{3} \implies s_o = 3 \cdot s_i = 3 \cdot (-20) = -60 \text{ cm}

El objeto se encuentra a 60 cm a la izquierda de la lente ( $s_o = -60 \text{ cm}$ ).

Apartado ii) Distancia focal de la lente

Aplicamos la ecuación de conjugación de lentes (ecuación del fabricante de lentes o ecuación de Gauss):

\frac{1}{f} = \frac{1}{s_i} - \frac{1}{s_o}

Sustituyendo $s_i = -20 \text{ cm}$ y $s_o = -60 \text{ cm}$ :

\frac{1}{f} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-60} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{-3 + 1}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}

f = -30 \text{ cm}

La distancia focal de la lente divergente es $f = -30 \text{ cm}$ . El signo negativo es coherente con el carácter divergente de la lente.La potencia de la lente es:

P = \frac{1}{f(\text{m})} = \frac{1}{-0{,}30} \approx -3{,}33 \text{ dioptrías}

Apartado iii) Trazado de rayos

Construcción del trazado de rayos para una lente divergente:

Rayo 1: Sale del extremo superior del objeto paralelo al eje óptico. Al atravesar la lente divergente, se refracta como si procediera del foco imagen virtual

F'

(situado en el lado del objeto, a 30 cm a la izquierda de la lente). El rayo emergente se aleja del eje, y su prolongación hacia atrás pasa por

F'

.Rayo 2: Sale del extremo superior del objeto dirigido hacia el foco objeto

F

(situado en el lado derecho de la lente, a 30 cm). Al alcanzar la lente, emerge paralelo al eje óptico (porque se dirige hacia el foco que está al otro lado de la lente divergente).Rayo 3 (comprobación): Pasa por el centro óptico de la lente sin desviarse.

Los rayos refractados divergen y no se cortan en el lado derecho. Sin embargo, sus prolongaciones hacia atrás (líneas discontinuas) se cortan en el lado izquierdo, a 20 cm de la lente, formando una imagen virtual, derecha y reducida (un tercio del tamaño del objeto).

T3: Vibraciones y ondas

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-b2

Una masa de $2 \text{ kg}$ está unida a un muelle sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Dicho muelle se alarga $5 \text{ cm}$ y se suelta en el instante inicial $t = 0 \text{ s}$ , oscilando con un período de $2 \text{ s}$ . Determine razonadamente:

i) La constante elástica del muelle.ii) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo.iii) La aceleración máxima de oscilación.

Oscilador armónicoMuelleCinemática del MAS

i) La constante elástica

k

se determina a partir de la relación entre el periodo de oscilación

T

y la masa

m

del sistema muelle-masa. La fórmula del periodo para un oscilador armónico simple es:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}

Sustituyendo los valores del enunciado ( $m = 2 \text{ kg}$ y $T = 2 \text{ s}$ ):

k = \frac{4\pi^2 \cdot 2}{2^2} = 2\pi^2 \approx 19,74 \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

ii) Para obtener la expresión de la posición en función del tiempo

x(t)

, utilizamos la ecuación general del movimiento armónico simple:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)

Calculamos primero la frecuencia angular $\omega$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

Dado que en $t = 0 \text{ s}$ la masa se suelta desde su máxima elongación ( $x(0) = A = 0,05 \text{ m}$ ), determinamos la fase inicial $\phi_0$ :

0,05 = 0,05 \cos(\pi \cdot 0 + \phi_0) \implies 1 = \cos(\phi_0) \implies \phi_0 = 0 \text{ rad}

Por tanto, la expresión de la posición en unidades del S.I. es:

x(t) = 0,05 \cos(\pi t) \text{ (m)}

iii) La aceleración se obtiene derivando dos veces la posición respecto al tiempo:

a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x(t)

. La aceleración máxima se produce cuando el desplazamiento es máximo (

x = A

):

a_{\text{max}} = \omega^2 A

Sustituyendo los valores de $\omega$ y $A$ :

a_{\text{max}} = \pi^2 \cdot 0,05 \approx 0,493 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

T6: Física nuclear

Radiactividad y desintegración

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

D-a

Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula alfa, se obtiene un núcleo cuyo número másico es dos unidades menor y su número atómico es cuatro unidades menor.ii) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula beta negativa, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y no varía su número másico.

Desintegración alfaDesintegración betaLeyes de Soddy-Fajans

i) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula alfa, se obtiene un núcleo cuyo número másico es dos unidades menor y su número atómico es cuatro unidades menor.

Esta afirmación es FALSA. Según las leyes de desplazamiento radiactivo de Soddy y Fajans, una partícula alfa ( $\alpha$ ) es un núcleo de helio, constituido por dos protones y dos neutrones, lo que se representa simbólicamente como $\ce{^4_2He}$ .Debido a la conservación del número de nucleones y de la carga eléctrica, cuando un núcleo emite una partícula alfa, su número másico ( $A$ ) debe disminuir en 4 unidades y su número atómico ( $Z$ ) debe disminuir en 2 unidades. El proceso se describe mediante la siguiente ecuación general:

\ce{^A_Z X} -> \ce{^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2He}

La afirmación propuesta invierte erróneamente el cambio en las magnitudes: indica que el número másico disminuye en 2 y el atómico en 4, cuando es exactamente al revés.

ii) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula beta negativa, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y no varía su número másico.

Esta afirmación es VERDADERA. La emisión beta negativa ( $\beta^-$ ) consiste en la emisión de un electrón de alta energía desde el núcleo atómico. Este fenómeno ocurre cuando un neutrón se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino electrónico ( $\bar{\nu}_e$ ):

\ce{^1_0n} -> \ce{^1_1p + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e}

Como el neutrón se convierte en un protón, el número total de partículas pesadas (nucleones) en el núcleo no varía, por lo que el número másico ( $A$ ) permanece constante. Sin embargo, al aparecer un nuevo protón, el número atómico ( $Z$ ) aumenta en una unidad, desplazando el elemento una posición hacia la derecha en la tabla periódica:

\ce{^A_Z X} -> \ce{^A_{Z+1} Y + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e}

T5: Física moderna

Efecto fotoeléctrico

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

D-b1

Se comprueba experimentalmente que una célula fotoeléctrica comienza a emitir electrones cuando sobre ella incide radiación de longitud de onda $2 \cdot 10^{-7} \text{ m}$ . Posteriormente, se ilumina la superficie de la célula con luz de frecuencia $4,5 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$ .

i) Calcule el trabajo de extracción de la célula y la frecuencia umbral.ii) Calcule la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos y su velocidad.

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ; $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ ; $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$

Trabajo de extracciónFrecuencia umbralEnergía cinética máxima

Resolución del Efecto Fotoeléctrico

Para resolver este ejercicio utilizaremos la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, fundamentada en el principio de conservación de la energía, donde la energía del fotón incidente se emplea en vencer el trabajo de extracción del metal y en dotar de energía cinética al electrón emitido.

i) Calcule el trabajo de extracción de la célula y la frecuencia umbral.

La frecuencia umbral ( $u_0$ o $f_0$ ) es la frecuencia mínima necesaria para que se produzca la emisión de electrones. Se relaciona con la longitud de onda umbral ( $\lambda_0$ ) mediante la velocidad de la luz:

f_0 = \frac{c}{\lambda_0}

Sustituyendo los valores proporcionados ( $\lambda_0 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ m}$ y $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ ):

f_0 = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{2 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 1,5 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

El trabajo de extracción ( $W_0$ ) es la energía mínima necesaria para liberar un electrón del metal y se calcula como:

W_0 = h \cdot f_0

W_0 = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s} \cdot 1,5 \cdot 10^{15} \text{ s}^{-1} = 9,945 \cdot 10^{-19} \text{ J}

ii) Calcule la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos y su velocidad.

Cuando la superficie se ilumina con una frecuencia $f = 4,5 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$ , aplicamos la ecuación de Einstein:

E_{\text{fotón}} = W_0 + E_{k,\text{máx}}

Despejamos la energía cinética máxima ( $E_{k,\text{máx}}$ ):

E_{k,\text{máx}} = h \cdot f - W_0

E_{k,\text{máx}} = (6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 4,5 \cdot 10^{15}) - 9,945 \cdot 10^{-19}

E_{k,\text{máx}} = 2,9835 \cdot 10^{-18} - 9,945 \cdot 10^{-19} = 1,989 \cdot 10^{-18} \text{ J}

Para hallar la velocidad máxima ( $v_{\text{máx}}$ ), utilizamos la expresión de la energía cinética clásica, ya que la velocidad resultante no es fraccionalmente comparable de forma crítica a la de la luz:

E_{k,\text{máx}} = \frac{1}{2} m_e \cdot v_{\text{máx}}^2 \Rightarrow v_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{k,\text{máx}}}{m_e}}

v_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,989 \cdot 10^{-18} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}}

v_{\text{máx}} = \sqrt{4,3714 \cdot 10^{12}} \approx 2,09 \cdot 10^6 \text{ m/s}

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

D-b2

Un electrón, inicialmente en reposo, es acelerado al aplicar una diferencia de potencial de $4 \text{ kV}$ .

i) Calcule razonadamente su energía cinética, su momento lineal y su longitud de onda de De Broglie.ii) Posteriormente se aceleran protones, inicialmente en reposo, utilizando la misma diferencia de potencial. Determine la longitud de onda asociada a los protones.

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ; $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ ; $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Longitud de onda de De BrogliePotencial de aceleraciónProtón y electrón

i) Calcule razonadamente su energía cinética, su momento lineal y su longitud de onda de De Broglie.

Al acelerar una carga eléctrica $q$ inicialmente en reposo mediante una diferencia de potencial $V$ , el trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética $E_c$ , de acuerdo con el principio de conservación de la energía:

W = q \cdot V = \Delta E_c = E_c - 0

E_c = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 4000 \text{ V} = 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}

El momento lineal $p$ está relacionado con la energía cinética mediante la expresión $E_c = \frac{p^2}{2m}$ . Despejando el momento lineal para el electrón:

p = \sqrt{2 \cdot m_e \cdot E_c}

p = \sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}} = 3,41 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}

La longitud de onda de De Broglie $\lambda$ se define como el cociente entre la constante de Planck $h$ y el momento lineal $p$ de la partícula:

\lambda = \frac{h}{p}

\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{3,41 \cdot 10^{-23} \text{ kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-1}} = 1,94 \cdot 10^{-11} \text{ m}

ii) Posteriormente se aceleran protones, inicialmente en reposo, utilizando la misma diferencia de potencial. Determine la longitud de onda asociada a los protones.

Puesto que el protón tiene la misma carga en valor absoluto que el electrón ( $e$ ), al ser acelerado por la misma diferencia de potencial, adquirirá la misma energía cinética $E_{c,p} = 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}$ . Su longitud de onda será:

\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_p \cdot E_{c,p}}}

\lambda_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{\sqrt{2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}}}

\lambda_p = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{1,475 \cdot 10^{-21}} = 4,49 \cdot 10^{-13} \text{ m}

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-a

CAMPO GRAVITATORIO

a) La intensidad gravitatoria en la superficie de la Luna es

0,163

veces la de la Tierra y el radio de la Luna es

0,27

veces el de la Tierra. Razone la veracidad de la siguiente afirmación: la velocidad de escape de la Luna es la mitad que la velocidad de escape de la Tierra.

Velocidad de escapeIntensidad de campo gravitatorio

a) La intensidad gravitatoria en la superficie de la Luna es

0,163

veces la de la Tierra y el radio de la Luna es

0,27

veces el de la Tierra. Razone la veracidad de la siguiente afirmación: la velocidad de escape de la Luna es la mitad que la velocidad de escape de la Tierra.

Para determinar la veracidad de la afirmación, partimos de la expresión general de la velocidad de escape ( $v_e$ ) de un objeto desde la superficie de un cuerpo celeste de masa $M$ y radio $R$ :

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Considerando que la intensidad de la gravedad en la superficie ( $g$ ) viene dada por la expresión $g = \frac{GM}{R^2}$ , podemos despejar el producto gravitatorio como $GM = g R^2$ . Sustituyendo esta relación en la fórmula de la velocidad de escape, obtenemos:

v_e = \sqrt{\frac{2(g R^2)}{R}} = \sqrt{2gR}

A continuación, establecemos la relación entre la velocidad de escape de la Luna ( $v_{e,L}$ ) y la de la Tierra ( $v_{e,T}$ ) utilizando los datos proporcionados: $g_L = 0,163 \cdot g_T$ y $R_L = 0,27 \cdot R_T$ .

\frac{v_{e,L}}{v_{e,T}} = \frac{\sqrt{2 g_L R_L}}{\sqrt{2 g_T R_T}} = \sqrt{\frac{g_L}{g_T} \cdot \frac{R_L}{R_T}}

Sustituyendo los valores numéricos de las proporciones:

\frac{v_{e,L}}{v_{e,T}} = \sqrt{0,163 \cdot 0,27} = \sqrt{0,04401} \approx 0,21

El resultado indica que la velocidad de escape de la Luna es aproximadamente $0,21$ veces la de la Tierra (es decir, un $21 \%$ ), y no la mitad ( $0,5$ o $50 \%$ ). Por tanto, la afirmación propuesta es falsa.

T1: Interacción gravitatoria

Campo y fuerza gravitatoria

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-b1

b1) Dos masas puntuales, de masas

2 \text{ kg}

y

3 \text{ kg}

, están colocadas en los puntos

A(2,0) \text{ m}

y

B(0,2) \text{ m}

, respectivamente. i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto

C(3,1) \text{ m}

. ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto. iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de

3 \text{ kg}

.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesVector campo gravitatorioLey de gravitación universal

i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto

C(3,1) \text{ m}

.

El campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de los campos creados por cada masa. Dado que las masas son atractivas, los vectores campo $\vec{g}_A$ y $\vec{g}_B$ apuntarán desde el punto $C$ hacia las masas $m_A$ y $m_B$ respectivamente.

ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto.

Aplicamos el principio de superposición, donde el campo total es $\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B$ . La expresión general del campo es:

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r = -G \frac{M}{r^3} \vec{r}

Para la masa $m_A = 2 \text{ kg}$ en $A(2,0)$ respecto a $C(3,1)$ : $\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (3-2) \vec{i} + (1-0) \vec{j} = (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) \text{ m}$ $r_{AC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$

\vec{g}_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2}{(\sqrt{2})^3} (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) = -4,72 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,72 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Para la masa $m_B = 3 \text{ kg}$ en $B(0,2)$ respecto a $C(3,1)$ : $\vec{r}_{BC} = \vec{r}_C - \vec{r}_B = (3-0) \vec{i} + (1-2) \vec{j} = (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) \text{ m}$ $r_{BC} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \text{ m}$

\vec{g}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{(\sqrt{10})^3} (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) = -1,90 \cdot 10^{-11} \vec{i} + 0,63 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Sumando ambas contribuciones vectoriales:

\vec{g}_C = (-4,72 - 1,90) \cdot 10^{-11} \vec{i} + (-4,72 + 0,63) \cdot 10^{-11} \vec{j} = -6,62 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,09 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de

3 \text{ kg}

.

La fuerza sobre la masa $m_B$ es debida exclusivamente a la interacción con $m_A$ . Utilizamos la ley de gravitación universal:

\vec{F}_B = -G \frac{m_A m_B}{r_{AB}^3} \vec{r}_{AB}

Siendo $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0-2) \vec{i} + (2-0) \vec{j} = (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) \text{ m}$ y la distancia $r_{AB} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \text{ m}$ :

\vec{F}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2 \cdot 3}{(\sqrt{8})^3} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) = -1,77 \cdot 10^{-11} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j})

\vec{F}_B = 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N}

T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-b2

b2) Un bloque de

3 \text{ kg}

se halla en reposo en la parte superior de un plano rugoso de

4 \text{ m}

de altura que está inclinado

37^\circ

respecto a la horizontal. Al liberar el bloque, desliza por el plano y llega al final con una velocidad de

5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Determine mediante razonamientos energéticos: i) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. ii) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Datos: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Plano inclinadoFuerzas de rozamientoTeorema del trabajo y la energía+1

Bloque deslizando por un plano inclinado rugoso

Datos del problema: masa $m = 3$ kg, altura $h = 4$ m, ángulo $\theta = 37^\circ$ , velocidad final $v = 5$ m/s, velocidad inicial $v_0 = 0$ (parte del reposo), $g = 9{,}8$ m/s².La longitud del plano inclinado se obtiene a partir de la altura:

L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{4}{\sin 37^\circ} = \frac{4}{0{,}6} \approx 6{,}67 \text{ m}

i) Trabajo realizado por cada fuerza

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: el peso ( $\vec{P}$ ), la normal ( $\vec{N}$ ) y la fuerza de rozamiento cinético ( $\vec{f_r}$ ).Trabajo del peso: el peso realiza un trabajo positivo igual a la variación de energía potencial gravitatoria (con signo cambiado), ya que el bloque desciende una altura $h = 4$ m.

W_P = mgh = 3 \times 9{,}8 \times 4 = 117{,}6 \text{ J}

Trabajo de la normal: la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento en todo momento, por lo que su trabajo es nulo.

W_N = 0 \text{ J}

Trabajo de la fuerza de rozamiento: aplicando el teorema trabajo-energía (teorema de las fuerzas vivas), la suma del trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética del bloque.

W_{total} = \Delta E_c = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 5^2 - 0 = 37{,}5 \text{ J}

W_P + W_N + W_{f_r} = \Delta E_c

117{,}6 + 0 + W_{f_r} = 37{,}5

W_{f_r} = 37{,}5 - 117{,}6 = -80{,}1 \text{ J}

El trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo (se opone al movimiento), como era de esperar.

ii) Coeficiente de rozamiento cinético

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento también puede expresarse como:

W_{f_r} = -f_r \cdot L = -\mu_c \cdot N \cdot L

Como el bloque no tiene aceleración en la dirección perpendicular al plano, la normal es:

N = mg\cos\theta = 3 \times 9{,}8 \times \cos 37^\circ = 3 \times 9{,}8 \times 0{,}8 = 23{,}52 \text{ N}

Sustituyendo en la expresión del trabajo de rozamiento:

-80{,}1 = -\mu_c \times 23{,}52 \times 6{,}67

\mu_c = \frac{80{,}1}{23{,}52 \times 6{,}67} = \frac{80{,}1}{156{,}88} \approx 0{,}51

El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es $\mu_c \approx 0{,}51$ .

T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Teoría

2025 · Extraordinaria · Suplente

B-a

CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

a) Dos cargas de valores

+q

y

-4q

se encuentran separadas una distancia

d

. i) Explique, con ayuda de un esquema, si puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto de la línea que pasa por ambas cargas. ii) En caso afirmativo, determine su posición en función de la distancia

d

.

Cargas puntualesPrincipio de superposiciónIntensidad de campo eléctrico

Campo Electromagnético

a) i) Explique, con ayuda de un esquema, si puede ser nulo el campo eléctrico en algún punto de la línea que pasa por ambas cargas.

Sean las cargas $q_1 = +q$ y $q_2 = -4q$ , separadas una distancia $d$ . Para que el campo eléctrico neto sea nulo en algún punto de la línea que une las cargas, se deben cumplir dos condiciones principales:1. Los campos eléctricos individuales generados por cada carga en ese punto deben tener direcciones opuestas.2. Las magnitudes de los campos eléctricos individuales generados por cada carga deben ser iguales.Analizamos las tres regiones posibles en la línea que pasa por ambas cargas, asumiendo que $+q$ está en el origen y $-4q$ en $x=d$ :Región I: $x < 0$ (a la izquierda de la carga $+q$ ). En un punto P en esta región, el campo $E_1$ (debido a $+q$ ) apunta hacia la izquierda (alejándose de la carga positiva). El campo $E_2$ (debido a $-4q$ ) apunta hacia la derecha (hacia la carga negativa). Dado que los campos tienen sentidos opuestos, es posible que se anulen si sus magnitudes son iguales.Región II: $0 < x < d$ (entre las cargas $+q$ y $-4q$ ). En esta región, el campo $E_1$ apunta hacia la derecha (alejándose de $+q$ ) y el campo $E_2$ también apunta hacia la derecha (hacia $-4q$ ). Ambos campos tienen el mismo sentido, por lo que su suma vectorial nunca puede ser cero. El campo eléctrico no puede anularse en esta región.Región III: $x > d$ (a la derecha de la carga $-4q$ ). En esta región, el campo $E_1$ apunta hacia la derecha (alejándose de $+q$ ) y el campo $E_2$ apunta hacia la izquierda (hacia $-4q$ ). Los campos tienen sentidos opuestos. Sin embargo, la carga $-4q$ tiene una magnitud cuatro veces mayor que $+q$ y cualquier punto en esta región está más cerca de $-4q$ que de $+q$ . Por lo tanto, la magnitud de $E_2$ siempre será mayor que la de $E_1$ , y el campo eléctrico neto no puede anularse.Conclusión: El campo eléctrico solo puede ser nulo en la Región I (a la izquierda de la carga $+q$ ). En esta región, el punto de anulación debe estar más cerca de la carga de menor magnitud ( $+q$ ) para que su campo, que decrece con la distancia al cuadrado, pueda compensar el campo de la carga de mayor magnitud ( $-4q$ ), que está más lejos.

El esquema muestra las direcciones de los campos eléctricos $E_1$ (debido a $+q$ ) y $E_2$ (debido a $-4q$ ) en un punto P situado a la izquierda de la carga $+q$ . Como se observa, los vectores $E_1$ y $E_2$ apuntan en sentidos opuestos, lo que permite la posibilidad de que el campo neto sea nulo.

a) ii) En caso afirmativo, determine su posición en función de la distancia

d

.

Colocamos la carga $q_1 = +q$ en el origen ( $x=0$ ) y la carga $q_2 = -4q$ en $x=d$ . Sea $x$ la posición del punto donde el campo eléctrico es nulo. Según el análisis del apartado anterior, este punto debe estar a la izquierda de $q_1$ , es decir, $x < 0$ .El módulo del campo eléctrico generado por una carga puntual $Q$ a una distancia $r$ viene dado por la expresión $E = k \frac{|Q|}{r^2}$ .En el punto $x < 0$ , las distancias a las cargas son:

r_1 = |0 - x| = -x \quad (\text{ya que } x < 0)

r_2 = |d - x| = d - x \quad (\text{ya que } x < 0 \Rightarrow d-x > d)

Los módulos de los campos eléctricos en el punto $x$ son:

E_1 = k \frac{|+q|}{(-x)^2} = k \frac{q}{x^2}

E_2 = k \frac{|-4q|}{(d-x)^2} = k \frac{4q}{(d-x)^2}

Para que el campo eléctrico total sea nulo, las magnitudes de $E_1$ y $E_2$ deben ser iguales, ya que sus direcciones son opuestas en esta región:

E_1 = E_2 \Rightarrow k \frac{q}{x^2} = k \frac{4q}{(d-x)^2}

Simplificamos los términos comunes $k$ y $q$ (asumiendo $q \neq 0$ ):

\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(d-x)^2}

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados. Debemos considerar el valor absoluto de las distancias, pero ya hemos establecido $x<0$ y $d-x>0$ :

\sqrt{\frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{4}{(d-x)^2}}

\frac{1}{|x|} = \frac{2}{|d-x|}

Dado que $x < 0$ , tenemos $|x| = -x$ . Además, como $d > 0$ y $x < 0$ , $d-x$ es positivo, por lo que $|d-x| = d-x$ . Sustituimos estos valores:

\frac{1}{-x} = \frac{2}{d-x}

Ahora, resolvemos para $x$ :

d - x = -2x

d = -2x + x

d = -x

x = -d

La posición donde el campo eléctrico es nulo es $x = -d$ . Esto significa que el punto está a una distancia $d$ a la izquierda de la carga $+q$ (o a una distancia $2d$ a la izquierda de la carga $-4q$ ). Esta posición es consistente con nuestro análisis de la Región I.

T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

B-b1

b1) Una bobina circular, de

20

vueltas y

0,1 \text{ m}

de radio, se encuentra situada en un campo magnético, de forma que el flujo es máximo. Si el módulo del campo magnético es

B(t) = 20 \cdot \text{sen} (4\pi t) \text{ (SI)}

, calcule: i) la fuerza electromotriz máxima en la bobina. ii) la fuerza electromotriz inducida, en el instante

t = 0,125 \text{ s}

.

Ley de Faraday-LenzFlujo magnéticoFuerza electromotriz

El flujo es máximo cuando el campo B es perpendicular al plano de la bobina (el vector normal al área es paralelo a B). En ese caso, el flujo a través de la bobina de N vueltas es:

\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot A = N \cdot B_0 \cdot \text{sen}(\omega t) \cdot A

donde $A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}01\pi \text{ m}^2$ , $N = 20$ , $B_0 = 20 \text{ T}$ , $\omega = 4\pi \text{ rad/s}$ .La fuerza electromotriz (fem) inducida se obtiene aplicando la Ley de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot A \cdot B_0 \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)

El módulo de la fem máxima es:

\varepsilon_{\max} = N \cdot A \cdot B_0 \cdot \omega

i) Cálculo de la fem máxima:

\varepsilon_{\max} = N \cdot \pi r^2 \cdot B_0 \cdot \omega = 20 \cdot \pi \cdot (0{,}1)^2 \cdot 20 \cdot 4\pi

\varepsilon_{\max} = 20 \cdot 0{,}01\pi \cdot 20 \cdot 4\pi = 20 \cdot 0{,}01 \cdot 20 \cdot 4 \cdot \pi^2

\varepsilon_{\max} = 16\pi^2 \approx 157{,}9 \text{ V}

ii) Fem inducida en

t = 0{,}125 \text{ s}

:

Sustituimos en la expresión de la fem inducida:

\varepsilon(t) = -\varepsilon_{\max} \cdot \cos(\omega t) = -16\pi^2 \cdot \cos(4\pi t)

\varepsilon(0{,}125) = -16\pi^2 \cdot \cos(4\pi \cdot 0{,}125) = -16\pi^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)

\varepsilon(0{,}125) = -16\pi^2 \cdot 0 = 0 \text{ V}

En el instante $t = 0{,}125 \text{ s}$ , la fem inducida es $\varepsilon = 0 \text{ V}$ , ya que el campo B es máximo (pasa por su máximo de variación) y en ese instante su derivada temporal es nula.

T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

B-b2

b2) i) Un conductor rectilíneo muy largo está situado en el eje

OX

y está recorrido por una corriente

I = 3 \text{ A}

en sentido negativo del mismo. Determine, apoyándose en un esquema, el vector fuerza que actúa sobre una carga

q = 4 \cdot 10^{-6} \text{ C}

, que se encuentra en el eje

OY

en el punto

y = 0,04 \text{ m}

y tiene una velocidad de módulo

4 \cdot 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

en sentido positivo del eje

OY

. ii) Un segundo conductor, igual que el anterior, se coloca paralelamente al primero y corta el eje

OY

en

y = 0,2 \text{ m}

. Calcule, apoyándose en un esquema, la intensidad que debe circular por el segundo conductor, indicando su sentido, para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula.

Dato: $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Fuerza de LorentzCampo magnético de un hilo conductorSuperposición de campos

i) Un conductor rectilíneo muy largo situado en el eje

OX

crea un campo magnético en el espacio circundante. Para un punto en el eje

OY

(

y = 0,04 \text{ m}

), el vector campo magnético

\vec{B}_1

se calcula mediante la ley de Ampere. Dado que la corriente

I_1 = 3 \text{ A}

circula en sentido negativo del eje

OX

(dirección

-\vec{i}

), aplicamos la regla de la mano derecha para determinar que el campo en el punto

(0, 0,04, 0)

tiene dirección entrante al plano (sentido

-\vec{k}

).

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 3 \text{ A}}{2 \pi \cdot 0,04 \text{ m}} = 1,5 \cdot 10^{-5} \text{ T}

Por tanto, el vector campo magnético es $\vec{B}_1 = -1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}$ . La fuerza de Lorentz sobre la carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v} = 4 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ es:

\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}_1) = (4 \cdot 10^{-6} \text{ C}) [ (4 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \times (-1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}) ]

\vec{F} = 4 \cdot 10^{-6} \cdot (-6 \vec{i}) = -2,4 \cdot 10^{-5} \vec{i} \text{ N}

ii) Para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula, la fuerza magnética total debe ser cero. Dado que

\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}_{total})

, esto ocurre si el campo magnético neto en el punto es nulo:

\vec{B}_{total} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0

. Esto implica que el segundo conductor debe generar un campo

\vec{B}_2 = -\vec{B}_1 = 1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}

.

El segundo conductor está en $y = 0,2 \text{ m}$ , por lo que la distancia al punto $y = 0,04 \text{ m}$ es $r_2 = 0,2 - 0,04 = 0,16 \text{ m}$ . Despejamos la intensidad $I_2$ :

B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} \implies 1,5 \cdot 10^{-5} \text{ T} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot I_2}{0,16 \text{ m}}

I_2 = \frac{1,5 \cdot 10^{-5} \cdot 0,16}{2 \cdot 10^{-7}} = 12 \text{ A}

Para que el campo $\vec{B}_2$ sea saliente ( $+\vec{k}$ ) en un punto situado por debajo del conductor ( $y = 0,04 < 0,2$ ), según la regla de la mano derecha, la corriente $I_2$ debe circular en el sentido positivo del eje $OX$ (dirección $+\vec{i}$ ).

T3: Vibraciones y ondas

Propagación de la luz

Teoría

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C-a

VIBRACIONES Y ONDAS

a) Un haz de luz monocromática triplica su longitud de onda al pasar del medio

1

al medio

2

. Determine razonadamente: i) la relación entre las velocidades y entre los índices de refracción en ambos medios. ii) si puede darse el fenómeno de reflexión total.

RefracciónÍndice de refracciónReflexión total

a) i) Relación entre las velocidades y los índices de refracción.

Cuando una onda electromagnética cambia de medio, su frecuencia $f$ permanece invariable, ya que esta depende exclusivamente del foco emisor. La velocidad de propagación $v$ y la longitud de onda $\lambda$ están relacionadas mediante la ecuación:

v = \lambda \cdot f

Dada la condición del enunciado, donde la longitud de onda se triplica al pasar al medio 2 ( $\lambda_2 = 3\lambda_1$ ), calculamos la relación de velocidades:

\frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2 \cdot f}{\lambda_1 \cdot f} = \frac{3\lambda_1}{\lambda_1} = 3 \implies v_2 = 3v_1

El índice de refracción $n$ se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío $c$ y la velocidad en el medio $v$ ( $n = c/v$ ). Aplicando esto a ambos medios:

\frac{n_1}{n_2} = \frac{c/v_1}{c/v_2} = \frac{v_2}{v_1} = 3 \implies n_1 = 3n_2

a) ii) Posibilidad del fenómeno de reflexión total.

Para que se produzca la reflexión total, deben cumplirse dos condiciones: que el rayo pase de un medio con mayor índice de refracción a uno con menor índice ( $n_{incidente} > n_{refractado}$ ) y que el ángulo de incidencia sea superior al ángulo límite o crítico $\theta_c$ .En este caso, como $n_1 = 3n_2$ , es evidente que $n_1 > n_2$ . Por tanto, sí puede darse el fenómeno de reflexión total cuando la luz incide desde el medio 1 hacia el medio 2.El ángulo crítico $\theta_c$ se define como aquel ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es de $90^\circ$ :

n_1 \cdot \sin(\theta_c) = n_2 \cdot \sin(90^\circ) \implies \sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1}{3}

\theta_c = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19,47^\circ

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

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C-b1

b1) Un objeto de

3 \text{ cm}

de altura se sitúa

25 \text{ cm}

delante de una lente delgada convergente. Si la distancia focal es

20 \text{ cm}

, calcule: i) la posición de la imagen, indicando el criterio de signos utilizado y justificando si la misma es real o virtual. ii) la altura de la imagen y la potencia de la lente.

Lentes convergentesEcuación de GaussPotencia de una lente

Óptica geométrica: Lente delgada convergente

Datos del problema: altura del objeto $y = 3 \text{ cm}$ , distancia del objeto a la lente $s_o = 25 \text{ cm}$ , distancia focal $f = 20 \text{ cm}$ .Criterio de signos utilizado (convenio de signos cartesiano): Las distancias se miden desde el centro óptico de la lente. Las distancias en el mismo sentido que la luz incidente (hacia la derecha) son positivas. Por tanto, el objeto está a la izquierda de la lente y su distancia es positiva: $s_o = +25 \text{ cm}$ . La distancia focal de una lente convergente es positiva: $f = +20 \text{ cm}$ .

i) Posición de la imagen

Se aplica la ecuación de conjugación de la lente delgada (ecuación del fabricante de lentes):

\frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s_o}

Sustituyendo los valores:

\frac{1}{s_i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{5}{100} - \frac{4}{100} = \frac{1}{100}

s_i = 100 \text{ cm}

La imagen se forma a $100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente (signo positivo, a la derecha de la lente, en el mismo sentido de propagación de la luz).La imagen es REAL porque $s_i > 0$ , es decir, se forma en el lado opuesto al objeto (el rayo de luz realmente converge en ese punto). Además, al ser $s_o > f$ , el objeto está más allá del foco, condición necesaria para que una lente convergente forme imagen real.

ii) Altura de la imagen y potencia de la lente

La altura de la imagen se obtiene a través del aumento lateral $m$ :

m = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{100}{25} = -4

La altura de la imagen es:

y' = m \cdot y = -4 \times 3 \text{ cm} = -12 \text{ cm}

El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto al objeto. La imagen tiene una altura de $12 \text{ cm}$ en valor absoluto, y es 4 veces mayor que el objeto.La potencia de la lente se define como la inversa de la distancia focal expresada en metros:

P = \frac{1}{f(\text{m})} = \frac{1}{0{,}20 \text{ m}} = 5 \text{ D (dioptrías)}

Resultados resumen: la imagen se forma a $s_i = 100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente, es real e invertida; la altura de la imagen es $|y'| = 12 \text{ cm}$ ; y la potencia de la lente es $P = 5 \text{ D}$ .