Física moderna

Para resolver este ejercicio utilizaremos la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, fundamentada en el principio de conservación de la energía, donde la energía del fotón incidente se emplea en vencer el trabajo de extracción del metal y en dotar de energía cinética al electrón emitido.

La frecuencia umbral ($u_0$ o $f_0$) es la frecuencia mínima necesaria para que se produzca la emisión de electrones. Se relaciona con la longitud de onda umbral ($\lambda_0$) mediante la velocidad de la luz:

Sustituyendo los valores proporcionados ($\lambda_0 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ m}$ y $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$):

El trabajo de extracción ($W_0$) es la energía mínima necesaria para liberar un electrón del metal y se calcula como:

Cuando la superficie se ilumina con una frecuencia $f = 4,5 \cdot 10^{15} \text{ Hz}$, aplicamos la ecuación de Einstein:

Despejamos la energía cinética máxima ($E_{k,\text{máx}}$):

Para hallar la velocidad máxima ($v_{\text{máx}}$), utilizamos la expresión de la energía cinética clásica, ya que la velocidad resultante no es fraccionalmente comparable de forma crítica a la de la luz:

Al acelerar una carga eléctrica $q$ inicialmente en reposo mediante una diferencia de potencial $V$, el trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética $E_c$, de acuerdo con el principio de conservación de la energía:

El momento lineal $p$ está relacionado con la energía cinética mediante la expresión $E_c = \frac{p^2}{2m}$. Despejando el momento lineal para el electrón:

La longitud de onda de De Broglie $\lambda$ se define como el cociente entre la constante de Planck $h$ y el momento lineal $p$ de la partícula:

Puesto que el protón tiene la misma carga en valor absoluto que el electrón ($e$), al ser acelerado por la misma diferencia de potencial, adquirirá la misma energía cinética $E_{c,p} = 6,4 \cdot 10^{-16} \text{ J}$. Su longitud de onda será:

Sustituyendo los valores proporcionados para el metal:

Una vez obtenida la energía cinética, calculamos la velocidad máxima de los electrones utilizando la masa del electrón ($m_e$):

A partir de la energía total del fotón, obtenemos la frecuencia ($f$) de la radiación incidente:

Finalmente, calculamos la longitud de onda ($\lambda$) de dicha radiación utilizando la velocidad de la luz en el vacío ($c$):

Partimos de los datos proporcionados por el enunciado, donde la masa del mesón es $m_{\pi} = 274 \cdot m_e$ y ambas partículas poseen la misma longitud de onda de De Broglie $\lambda_{\pi} = \lambda_e$.

La hipótesis de De Broglie establece que la longitud de onda $\lambda$ asociada a una partícula es inversamente proporcional a su momento lineal $p$:

Igualamos las expresiones para el mesón y el electrón según la condición del enunciado:

Simplificando la constante de Planck $h$ y despejando la relación de velocidades:

Sustituyendo la relación de masas dada:

Por lo tanto, la velocidad del electrón es 274 veces mayor que la del mesón.

La energía cinética $E_c$ se puede expresar en función del momento lineal $p$ de la siguiente forma:

Como $\lambda_{\pi} = \lambda_e$, entonces sus momentos lineales son iguales ($p_{\pi} = p_e$). Calculamos la relación entre sus energías cinéticas:

Sustituyendo el valor de la masa del mesón respecto a la del electrón:

La energía cinética del electrón es 274 veces la energía cinética del mesón.

La energía cinética máxima de los electrones emitidos está relacionada con el potencial de frenado ($V_0$) necesario para detener la corriente fotoeléctrica. El trabajo realizado por el campo eléctrico para frenar a los electrones más energéticos es igual a su energía cinética inicial, según el teorema de las fuerzas vivas:

Sustituyendo los valores de la carga del electrón ($e$) y el potencial de frenado proporcionado:

De acuerdo con la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, la energía de los fotones incidentes ($E_{f}$) se emplea en vencer el trabajo de extracción del metal ($W_e$) y en comunicar energía cinética a los electrones:

La energía del fotón incidente se calcula a partir de la longitud de onda ($\lambda$) de la luz ultravioleta mediante la expresión $E_{f} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$. Despejando el trabajo de extracción:

Introducimos los valores numéricos en unidades del Sistema Internacional:

La longitud de onda umbral ($\lambda_0$) es la longitud de onda máxima de la radiación incidente capaz de extraer electrones del metal, lo cual ocurre cuando la energía del fotón es exactamente igual al trabajo de extracción:

Despejamos $\lambda_0$ de la expresión anterior:

Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:

El efecto fotoeléctrico se explica mediante la interacción individual de fotones con los electrones del metal. Según la hipótesis de Einstein, la energía de un fotón incidente se utiliza para arrancar el electrón del metal (trabajo de extracción) y el exceso se manifiesta como energía cinética máxima de dicho electrón:

Para calcular la resolución, debemos determinar la longitud de onda de De Broglie $\lambda$ asociada a los electrones. El primer paso es encontrar la energía cinética que adquieren los electrones al ser acelerados desde el reposo por una diferencia de potencial $V = 5000 \text{ V}$. Basándonos en el principio de conservación de la energía, el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte en energía cinética:

A partir de la relación entre energía cinética y momento lineal $p = m_e v$, podemos expresar el momento en función del potencial de aceleración:

Sustituyendo esta expresión en la hipótesis de De Broglie $\lambda = \frac{h}{p}$, obtenemos la fórmula para la longitud de onda asociada:

Sustituimos los valores numéricos del enunciado en unidades del Sistema Internacional ($V = 5 \cdot 10^3 \text{ V}$):

Para encontrar la velocidad necesaria partimos nuevamente de la relación de De Broglie $\lambda = \frac{h}{m_e v}$ y despejamos la velocidad $v$:

Sustituyendo el valor de la longitud de onda deseada:

En el efecto fotoeléctrico, cuando una radiación incide sobre un metal, se emiten electrones con una determinada energía cinética. El potencial de frenado, \(V_f\), se define como la diferencia de potencial mínima necesaria para detener incluso a los electrones que poseen la energía cinética máxima (\(E_{c,max}\)). El trabajo realizado por el campo eléctrico para frenar al electrón debe ser igual a su energía cinética inicial, siguiendo el principio de conservación de la energía.

i) Para deducir la velocidad máxima de los electrones emitidos, relacionamos la expresión de la energía cinética clásica con el trabajo eléctrico realizado por el potencial de frenado, donde \(m_e\) es la masa del electrón y \(e\) su carga elemental.

Despejando la velocidad máxima de la ecuación anterior, obtenemos la expresión final en función del potencial de frenado:

ii) Para encontrar la relación entre las velocidades máximas cuando el potencial de frenado se reduce a la mitad, definimos dos estados. En el primer estado tenemos un potencial \(V_{f1}\) y en el segundo estado un potencial \(V_{f2} = \frac{V_{f1}}{2}\).

Sustituimos la relación del potencial de frenado en la expresión de la segunda velocidad:

Relacionando ambas expresiones, observamos que la nueva velocidad máxima es igual a la velocidad original dividida por la raíz cuadrada de dos.

Por tanto, si el potencial de frenado se reduce a la mitad, la velocidad máxima de los electrones emitidos se reduce en un factor de \(\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}\).

i) Para calcular la longitud de onda de De Broglie, partimos de la dualidad onda-corpúsculo, que relaciona la longitud de onda con el momento lineal de la partícula mediante la constante de Planck:

Dado que conocemos la energía cinética y esta se define en términos del momento lineal, podemos expresar la longitud de onda en función de dicha energía:

Calculamos la longitud de onda para el electrón utilizando su masa específica:

Realizamos el mismo cálculo para el protón empleando su masa correspondiente:

ii) Para detener las partículas, el trabajo realizado por el campo eléctrico debe ser igual a la variación de su energía cinética. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica o el teorema de la energía cinética, tenemos que la energía cinética inicial se transforma íntegramente en energía potencial eléctrica al detenerse:

Sustituyendo los valores para ambas partículas (ya que ambas tienen la misma carga en valor absoluto y la misma energía cinética):

Justificación del signo del potencial: Para el protón (carga positiva), para detenerlo se debe aplicar una fuerza opuesta a su movimiento. Esto ocurre cuando se desplaza hacia regiones de mayor potencial (el campo eléctrico va de mayor a menor potencial y ejerce fuerza en ese sentido sobre cargas positivas). Por tanto, para el protón el potencial debe aumentar. En el caso del electrón (carga negativa), la fuerza eléctrica tiene sentido opuesto al campo. Para frenarlo, debe dirigirse hacia regiones de menor potencial, de modo que la fuerza eléctrica se oponga a su velocidad. Por tanto, para el electrón el potencial debe disminuir.El resultado final para el potencial necesario es:

De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula de masa $m$ que se desplaza con una velocidad $v$ tiene una longitud de onda asociada $\lambda$, cuya expresión viene dada por la relación entre la constante de Planck $h$ y el momento lineal de la partícula $p$:

Si la velocidad $v$ es constante para ambas partículas, la longitud de onda es inversamente proporcional a la masa. Dado que el enunciado establece que la masa del protón $m_p$ es mayor que la masa del electrón $m_e$ ($m_p > m_e$):

Esto implica que $\lambda_p < \lambda_e$, por lo que la afirmación es VERDADERA.

Para analizar este caso, relacionamos la longitud de onda con la energía cinética $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. Expresando el momento lineal en función de la energía cinética, tenemos $p = \sqrt{2 \cdot m \cdot E_c}$. Sustituyendo en la fórmula de De Broglie:

Se nos indica que $m_e < m_p$ y que $E_{c,e} < E_{c,p}$. Multiplicando ambas desigualdades (ya que todos los términos son positivos):

Dado que el denominador de la expresión para el electrón es menor que el del protón, la longitud de onda resultante será mayor:

Por tanto, la afirmación es VERDADERA.

Despejamos la velocidad $v$ de la expresión anterior y sustituimos los valores del protón proporcionados:

Sustituyendo los datos correspondientes:

Sustituimos la masa calculada en el apartado anterior y la velocidad común:

Como el trabajo de extracción $W_{0}$ es una propiedad característica de cada metal y siempre tiene un valor positivo, la energía cinética del electrón emitido será siempre inferior a la energía del fotón incidente. Por lo tanto, la energía no es la misma; la del electrón es menor.

En el espectro de la luz blanca, la luz roja es la que posee la menor frecuencia (mayor longitud de onda), mientras que la luz violeta posee la mayor frecuencia (menor longitud de onda). Dado que $h$ es la constante de Planck y es un valor positivo, a mayor frecuencia $f$ corresponde una mayor energía cinética $E_{c,max}$. En consecuencia, los fotoelectrones de mayor energía cinética serán los emitidos por las componentes de mayor frecuencia (región del violeta) y no por las de la región del rojo.

Para resolver este ejercicio aplicamos la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico, que establece que la energía del fotón incidente ($E_{f}$) se reparte entre el trabajo de extracción del metal ($W_0$) y la energía cinética máxima de los electrones emitidos ($E_{c,max}$):

Planteamos el sistema restando ambas ecuaciones para eliminar el término del trabajo de extracción ($W_0$):

Despejamos la constante de Planck $h$ y sustituimos los valores numéricos:

Opcionalmente, podemos expresar este valor en electronvoltios ($eV$):

En esta expresión, $h f$ representa la energía del fotón incidente ($h$ es la constante de Planck y $f$ la frecuencia), $W_0$ es el trabajo de extracción o energía mínima para liberar un electrón del metal, y $E_{c,max}$ es la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. i) Aumento de la intensidad del haz luminoso: La intensidad de la radiación es proporcional al número de fotones que inciden sobre la superficie metálica por unidad de tiempo. Si la frecuencia de la luz es superior a la frecuencia umbral ($f > f_0$), cada fotón incidente es capaz de extraer un electrón. Por lo tanto, al aumentar la intensidad, aumenta el número de fotones y, consecuentemente, aumenta el número de fotoelectrones emitidos (lo que se traduce en una mayor intensidad de corriente eléctrica). Sin embargo, la energía cinética máxima de los electrones no se modifica, ya que el balance energético de cada interacción individual fotón-electrón depende solo de la frecuencia y no del número total de fotones.ii) Aumento de la frecuencia de la luz incidente: Al aumentar la frecuencia $f$, aumenta la energía de cada fotón individual según la relación $E = h f$. De acuerdo con la ecuación de Einstein, si el trabajo de extracción $W_0$ permanece constante (pues depende solo del material), el incremento en la energía del fotón se traduce íntegramente en un aumento de la energía cinética máxima ($E_{c,max}$) de los electrones emitidos. En cuanto al número de fotoelectrones, este no se verá afectado por el cambio de frecuencia, siempre y cuando el número de fotones que llegan al metal por segundo (la intensidad) permanezca constante.

Calculamos primero el valor de la longitud de onda umbral para el metal dado:

Comparando las longitudes de onda de las líneas espectrales de la lámpara de $\ce{Cd}$ con $\lambda_{umbral}$, aquellas que sean menores o iguales provocarán el efecto:Línea roja: $6,438 \cdot 10^{-7} \text{ m} > \lambda_{umbral}$ (No produce efecto) Línea verde: $5,382 \cdot 10^{-7} \text{ m} < \lambda_{umbral}$ (Produce efecto) Línea azul: $4,800 \cdot 10^{-7} \text{ m} < \lambda_{umbral}$ (Produce efecto) Línea violeta: $3,729 \cdot 10^{-7} \text{ m} < \lambda_{umbral}$ (Produce efecto)Por tanto, las líneas que provocarán el efecto fotoeléctrico son la verde, la azul y la violeta.

Sustituyendo los valores numéricos:

El potencial de frenado ($V_0$) es el potencial necesario para anular la energía cinética máxima de los electrones emitidos, cumpliéndose la relación $E_{c,máx} = e \cdot V_0$:

Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula con un momento lineal $p$ tiene asociada una longitud de onda $\lambda$ dada por la expresión:

Donde $h$ es la constante de Planck. La energía cinética de una partícula no relativista se define como $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, que se puede expresar en función del momento lineal como:

Despejando el momento lineal de la relación de De Broglie, $p = h/\lambda$, y sustituyéndolo en la fórmula de la energía cinética, obtenemos la relación directa entre $E_k$ y $\lambda$:

Aplicamos esta expresión a las dos partículas descritas en el enunciado para obtener sus respectivas energías cinéticas:Para la primera partícula, con masa $m_1 = m$ y longitud de onda $\lambda_1 = 2\lambda$:

Para la segunda partícula, con masa $m_2 = 4m$ y longitud de onda $\lambda_2 = \lambda$:

Finalmente, calculamos la relación entre ambas energías cinéticas dividiendo sus expresiones:

Deducimos, por tanto, que ambas partículas poseen la misma energía cinética, existiendo una relación de igualdad entre ellas: $E_{k1} = E_{k2}$.

Sustituimos los valores proporcionados para el electrón para determinar su longitud de onda asociada:

Dado que la velocidad del electrón ($1,5 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$) es mucho menor que la velocidad de la luz en el vacío ($c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$), podemos calcular su energía cinética utilizando la expresión de la mecánica clásica:

Despejamos la velocidad del protón $v_p$ e introducimos los datos conocidos:

Calculamos la energía cinética del protón con la velocidad obtenida anteriormente: