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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2024 · Ordinaria · Suplente
D2-b
Examen

Un electrón se mueve a una velocidad de 1,5⋅107 m⋅s−11,5 \cdot 10^{7} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.

i) Determine razonadamente la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón y su energía cinética.ii) Determine razonadamente la velocidad y energía cinética que tendría un protón con la misma longitud de onda que el electrón.

Datos: me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}

Longitud de onda de De BroglieElectrónProtón+1
i) Según la hipótesis de De Broglie, toda partícula de masa mm que se mueve con una velocidad vv tiene asociada una onda cuya longitud de onda λ\lambda es inversamente proporcional a su momento lineal pp. La expresión general es:
λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Sustituimos los valores proporcionados para el electrón para determinar su longitud de onda asociada:

λe=6,63⋅10−34 J⋅s9,1⋅10−31 kg⋅1,5⋅107 m⋅s−1=4,86⋅10−11 m\lambda_e = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,5 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}} = 4,86 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Dado que la velocidad del electrón (1,5⋅107 m⋅s−11,5 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) es mucho menor que la velocidad de la luz en el vacío (c≈3⋅108 m⋅s−1c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}), podemos calcular su energía cinética utilizando la expresión de la mecánica clásica:

Ec=12me⋅ve2E_c = \frac{1}{2} m_e \cdot v_e^2
Ec=12⋅9,1⋅10−31 kg⋅(1,5⋅107 m⋅s−1)2=1,02⋅10−16 JE_c = \frac{1}{2} \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot (1,5 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 1,02 \cdot 10^{-16} \text{ J}
ii) Para que un protón tenga la misma longitud de onda que el electrón (λp=λe\lambda_p = \lambda_e), sus momentos lineales deben ser iguales, ya que la constante de Planck hh es universal:
pp=pe⇒mp⋅vp=me⋅vep_p = p_e \Rightarrow m_p \cdot v_p = m_e \cdot v_e

Despejamos la velocidad del protón vpv_p e introducimos los datos conocidos:

vp=me⋅vemp=9,1⋅10−31 kg⋅1,5⋅107 m⋅s−11,67⋅10−27 kg=8,17⋅103 m⋅s−1v_p = \frac{m_e \cdot v_e}{m_p} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,5 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}} = 8,17 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Calculamos la energía cinética del protón con la velocidad obtenida anteriormente:

Ec,p=12mp⋅vp2=12⋅1,67⋅10−27 kg⋅(8,17⋅103 m⋅s−1)2=5,57⋅10−20 JE_{c,p} = \frac{1}{2} m_p \cdot v_p^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot (8,17 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 5,57 \cdot 10^{-20} \text{ J}