Interacción electromagnética

La energía potencial electrostática $U$ de una carga $q$ en un punto con potencial eléctrico $V$ viene dada por la expresión:

Un protón tiene una carga positiva ($q > 0$). El campo eléctrico $\vec{E}$ apunta en la dirección en la que el potencial eléctrico disminuye más rápidamente. La fuerza eléctrica sobre una carga positiva es $\vec{F} = q\vec{E}$, por lo tanto, la fuerza sobre el protón tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico.

Si el protón se mueve en sentido contrario al campo eléctrico, se está moviendo hacia regiones de mayor potencial eléctrico $V$. Dado que la carga del protón $q$ es positiva, y $U = qV$, un aumento en el potencial $V$ implica un aumento en la energía potencial electrostática $U$. Alternativamente, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo sobre el protón al moverse en sentido contrario a la fuerza que ejerce el campo, y el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = - \Delta U$. Si $W_E < 0$, entonces $\Delta U > 0$. Por lo tanto, su energía potencial electrostática aumenta.

Cuando una carga se mueve en dirección perpendicular a un campo eléctrico uniforme, se mueve a lo largo de una superficie equipotencial. Esto significa que no hay cambio en el potencial eléctrico $V$ (es decir, $\Delta V = 0$). Como la energía potencial electrostática está dada por $U = qV$, si $V$ no varía, entonces $U$ tampoco varía ($\Delta U = q\Delta V = 0$). Otra forma de verlo es que la fuerza eléctrica $\vec{F} = q\vec{E}$ es perpendicular al desplazamiento. Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = 0$, y como $W_E = - \Delta U$, la energía potencial electrostática no varía (permanece constante).

Primero, identificamos los datos proporcionados:Número de espiras, $N = 1000$ Radio de las espiras, $r = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}$ Campo magnético en función del tiempo, $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ Ángulo entre la dirección del campo y el plano de las espiras, $\alpha = 60^\circ$. El ángulo $\theta$ entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector normal a la superficie $\vec{A}$ es complementario a $\alpha$: $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.Calculamos el área de una espira:

Calculamos el módulo del campo magnético en el instante $t = 2 \text{ s}$:

La expresión general para el flujo magnético a través de $N$ espiras es:

Sustituimos los valores para $t = 2 \text{ s}$:

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida (FEM) se calcula como la derivada temporal negativa del flujo magnético:

Primero, escribimos la expresión del flujo magnético en función del tiempo:

Ahora derivamos $\Phi(t)$ con respecto al tiempo:

Evaluamos esta derivada en $t = 2 \text{ s}$:

Finalmente, calculamos la fuerza electromotriz inducida:

El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida es:

Para un conductor rectilíneo indefinido, el módulo del campo magnético $B$ a una distancia $r$ se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

Despejamos la intensidad de corriente $I$ y sustituimos los datos proporcionados ($B = 2 \cdot 10^{-4} \text{ T}$ y $r = 0,02 \text{ m}$):

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos por los que circulan corrientes $I_1$ e $I_2$ separados una distancia $d$ viene dada por:

Para que exista atracción, las corrientes en ambos conductores deben circular en el mismo sentido. Despejamos la intensidad del segundo conductor $I_2$ utilizando los valores conocidos ($I_1 = 20 \text{ A}$, $d = 0,08 \text{ m}$, $F/L = 10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}$):

Justificación del sentido: Según la regla de la mano derecha, el primer conductor genera un campo magnético cuyas líneas son perpendiculares al segundo conductor. Aplicando la fuerza de Lorentz sobre las cargas en movimiento del segundo hilo ($F = I_2 \cdot (L \times B)$), se comprueba que para que la fuerza sea atractiva (dirigida hacia el primer hilo), el sentido de $I_2$ debe ser el mismo que el de $I_1$.

Sean las cargas $q_1 = +q$ y $q_2 = -4q$, separadas una distancia $d$. Para que el campo eléctrico neto sea nulo en algún punto de la línea que une las cargas, se deben cumplir dos condiciones principales:1. Los campos eléctricos individuales generados por cada carga en ese punto deben tener direcciones opuestas.2. Las magnitudes de los campos eléctricos individuales generados por cada carga deben ser iguales.Analizamos las tres regiones posibles en la línea que pasa por ambas cargas, asumiendo que $+q$ está en el origen y $-4q$ en $x=d$:Región I: $x < 0$ (a la izquierda de la carga $+q$). En un punto P en esta región, el campo $E_1$ (debido a $+q$) apunta hacia la izquierda (alejándose de la carga positiva). El campo $E_2$ (debido a $-4q$) apunta hacia la derecha (hacia la carga negativa). Dado que los campos tienen sentidos opuestos, es posible que se anulen si sus magnitudes son iguales.Región II: $0 < x < d$ (entre las cargas $+q$ y $-4q$). En esta región, el campo $E_1$ apunta hacia la derecha (alejándose de $+q$) y el campo $E_2$ también apunta hacia la derecha (hacia $-4q$). Ambos campos tienen el mismo sentido, por lo que su suma vectorial nunca puede ser cero. El campo eléctrico no puede anularse en esta región.Región III: $x > d$ (a la derecha de la carga $-4q$). En esta región, el campo $E_1$ apunta hacia la derecha (alejándose de $+q$) y el campo $E_2$ apunta hacia la izquierda (hacia $-4q$). Los campos tienen sentidos opuestos. Sin embargo, la carga $-4q$ tiene una magnitud cuatro veces mayor que $+q$ y cualquier punto en esta región está más cerca de $-4q$ que de $+q$. Por lo tanto, la magnitud de $E_2$ siempre será mayor que la de $E_1$, y el campo eléctrico neto no puede anularse.Conclusión: El campo eléctrico solo puede ser nulo en la Región I (a la izquierda de la carga $+q$). En esta región, el punto de anulación debe estar más cerca de la carga de menor magnitud ($+q$) para que su campo, que decrece con la distancia al cuadrado, pueda compensar el campo de la carga de mayor magnitud ($-4q$), que está más lejos.

El esquema muestra las direcciones de los campos eléctricos $E_1$ (debido a $+q$) y $E_2$ (debido a $-4q$) en un punto P situado a la izquierda de la carga $+q$. Como se observa, los vectores $E_1$ y $E_2$ apuntan en sentidos opuestos, lo que permite la posibilidad de que el campo neto sea nulo.

Colocamos la carga $q_1 = +q$ en el origen ($x=0$) y la carga $q_2 = -4q$ en $x=d$. Sea $x$ la posición del punto donde el campo eléctrico es nulo. Según el análisis del apartado anterior, este punto debe estar a la izquierda de $q_1$, es decir, $x < 0$.El módulo del campo eléctrico generado por una carga puntual $Q$ a una distancia $r$ viene dado por la expresión $E = k \frac{|Q|}{r^2}$.En el punto $x < 0$, las distancias a las cargas son:

Los módulos de los campos eléctricos en el punto $x$ son:

Para que el campo eléctrico total sea nulo, las magnitudes de $E_1$ y $E_2$ deben ser iguales, ya que sus direcciones son opuestas en esta región:

Simplificamos los términos comunes $k$ y $q$ (asumiendo $q \neq 0$):

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados. Debemos considerar el valor absoluto de las distancias, pero ya hemos establecido $x<0$ y $d-x>0$:

Dado que $x < 0$, tenemos $|x| = -x$. Además, como $d > 0$ y $x < 0$, $d-x$ es positivo, por lo que $|d-x| = d-x$. Sustituimos estos valores:

Ahora, resolvemos para $x$:

La posición donde el campo eléctrico es nulo es $x = -d$. Esto significa que el punto está a una distancia $d$ a la izquierda de la carga $+q$ (o a una distancia $2d$ a la izquierda de la carga $-4q$). Esta posición es consistente con nuestro análisis de la Región I.

El flujo es máximo cuando el campo B es perpendicular al plano de la bobina (el vector normal al área es paralelo a B). En ese caso, el flujo a través de la bobina de N vueltas es:

donde $A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}01\pi \text{ m}^2$, $N = 20$, $B_0 = 20 \text{ T}$, $\omega = 4\pi \text{ rad/s}$.La fuerza electromotriz (fem) inducida se obtiene aplicando la Ley de Faraday:

El módulo de la fem máxima es:

Sustituimos en la expresión de la fem inducida:

En el instante $t = 0{,}125 \text{ s}$, la fem inducida es $\varepsilon = 0 \text{ V}$, ya que el campo B es máximo (pasa por su máximo de variación) y en ese instante su derivada temporal es nula.

Por tanto, el vector campo magnético es $\vec{B}_1 = -1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}$. La fuerza de Lorentz sobre la carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v} = 4 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ es:

El segundo conductor está en $y = 0,2 \text{ m}$, por lo que la distancia al punto $y = 0,04 \text{ m}$ es $r_2 = 0,2 - 0,04 = 0,16 \text{ m}$. Despejamos la intensidad $I_2$:

Para que el campo $\vec{B}_2$ sea saliente ($+\vec{k}$) en un punto situado por debajo del conductor ($y = 0,04 < 0,2$), según la regla de la mano derecha, la corriente $I_2$ debe circular en el sentido positivo del eje $OX$ (dirección $+\vec{i}$).

Esta afirmación es FALSA. El flujo magnético $\Phi$ a través de una superficie plana de área $S$ situada en un campo magnético uniforme $\vec{B}$ se define mediante el producto escalar de ambos vectores:

Donde $\theta$ es el ángulo que forma el vector campo magnético con el vector superficie (vector normal a la superficie). El flujo puede ser nulo por dos motivos: porque el campo sea nulo ($B=0$) o porque el campo sea perpendicular al vector superficie (paralelo a la propia superficie), de modo que $\theta = 90^\circ$ y $\cos(90^\circ) = 0$. Por lo tanto, puede existir un campo magnético intenso y que el flujo sea cero si la orientación es la adecuada.

Esta afirmación es FALSA. Según la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (fem) inducida $\varepsilon$ en un circuito es igual a la variación temporal del flujo magnético que lo atraviesa cambiada de signo:

La fem inducida no depende del valor absoluto del flujo magnético, sino de su ritmo de cambio con respecto al tiempo. Si una espira está sometida a un flujo magnético muy grande pero este es constante en el tiempo ($d\Phi/dt = 0$), la fuerza electromotriz inducida será nula. Por el contrario, un flujo pequeño que varíe muy rápidamente puede generar una fem muy elevada.

El campo magnético $\vec{B}$ creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente $I$, en un punto situado a una distancia $r$, viene dado por la ley de Ampère. La dirección se determina mediante la regla de la mano derecha (sentido antihorario para una corriente saliente del plano):

Calculamos las distancias de cada hilo al punto $C(0,3)$ y determinamos los vectores unitarios de sus campos individuales. Para $I_1 = 1 \text{ A}$ en $A(0,1)$, la distancia es $r_1 = |3 - 1| = 2 \text{ m}$. El campo en $C$ apunta hacia la izquierda ($-\vec{i}$). Para $I_2 = 2 \text{ A}$ en $B(0,4)$, la distancia es $r_2 = |3 - 4| = 1 \text{ m}$. El campo en $C$ apunta hacia la derecha ($\vec{i}$).

Por el principio de superposición, el campo total en $C$ es la suma vectorial de ambos campos:

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos que transportan corrientes $I_1$ e $I_2$ separados por una distancia $d$ se calcula como:

La distancia entre los conductores es $d = |4 - 1| = 3 \text{ m}$. Según la ley de Ampère-Lorentz, corrientes en el mismo sentido se atraen. Por tanto, el hilo 2 (en $B$) experimenta una fuerza atractiva hacia el hilo 1 (en $A$), lo que corresponde a la dirección negativa del eje $Y$ ($-\vec{j}$).

En notación vectorial, la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor de $2 \text{ A}$ es:

El campo eléctrico resultante en el punto $B$ es la suma vectorial de los campos creados por cada carga individualmente, según el principio de superposición:

Calculamos las distancias y los vectores unitarios desde cada carga hasta el punto $B(4,0)$. Para $q_1$ en $(0,0)$, la distancia es $r_{1B} = 4 \text{ m}$ y el vector unitario es $\vec{i}$. Para $q_2$ en $(2,0)$, la distancia es $r_{2B} = 4 - 2 = 2 \text{ m}$ y el vector unitario es $\vec{i}$.

Sumando ambos vectores obtenemos el campo total en $B$:

El trabajo realizado por el campo eléctrico se calcula como la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final, o mediante el potencial eléctrico $V$:

Calculamos el potencial en $B(4,0)$:

Calculamos el potencial en $C(0,4)$. La distancia de $q_1(0,0)$ a $C$ es $r_{1C} = 4 \text{ m}$. La distancia de $q_2(2,0)$ a $C$ es:

Sustituimos para hallar el trabajo:

Interpretación del signo: El trabajo es negativo ($W < 0$), lo que indica que las fuerzas del campo se oponen al movimiento. Al ser la carga $q_3$ positiva y desplazarse hacia un punto de mayor potencial ($V_C > V_B$), la energía potencial del sistema aumenta, por lo que es necesario un aporte de trabajo externo para realizar el traslado.

A partir de la igualdad anterior, podemos despejar el radio $R$ de la trayectoria circular:

Para obtener la relación entre las masas, despejamos $m$ para cada partícula, sabiendo que el valor absoluto de sus cargas es el mismo ($|q_1| = |q_2| = q$), que sus velocidades son iguales ($v_1 = v_2 = v$) y que el campo $B$ es uniforme:

Dividiendo ambas expresiones para hallar la relación $m_2/m_1$:

Sustituyendo la relación de radios proporcionada por el enunciado, $R_2 = 2 R_1$:

Por lo tanto, la relación entre las masas es $m_2 = 2 m_1$.

El flujo magnético en un instante dado, considerando que la espira ha penetrado una distancia $x$ en el campo (siendo $x = v \cdot t$), se define como:

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida $\epsilon$ es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

Sustituyendo los valores numéricos con $L = 0,3 \text{ m}$, $v = 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $B = 0,05 \text{ T}$:

Aplicando la ley de Ohm, calculamos la intensidad de la corriente inducida $I$ con $R = 1 \ \Omega$:

Según la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo magnético $\vec{B}_{ind}$ que se opone al aumento del flujo. Como $\vec{B}$ es saliente y el flujo aumenta, $\vec{B}_{ind}$ debe ser entrante (sentido $-\vec{k}$). Por la regla de la mano derecha, la corriente $I$ circula en sentido horario. El esquema de fuerzas de Lorentz sobre las cargas del conductor lateral derecho que entra en el campo es el siguiente:

En esta situación, tanto el módulo del campo magnético $B$ como la superficie $S$ de la espira atravesada por las líneas de campo permanecen constantes, ya que toda la superficie $S = L^2$ está dentro de la región con campo uniforme.

Al ser el flujo constante, su derivada respecto al tiempo es nula, por lo que no se induce fuerza electromotriz ni corriente:

Al no haber variación de flujo, no existe campo magnético inducido ni corriente en el interior de la espira en este tramo.

Para calcular el vector campo eléctrico $\vec{E}$, aplicamos la segunda ley de Newton y la definición de fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Puesto que la única fuerza actuando es la eléctrica:

Sustituyendo la expresión de la fuerza eléctrica $\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$, donde para un electrón $q = -e$:

Sustituyendo los valores numéricos con la aceleración en el eje positivo $OX$, $\vec{a} = 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$:

Utilizando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre el electrón es igual a la variación de su energía cinética. Como parte del reposo ($E_{c,0} = 0$):