Interacción electromagnética

Se aplica el principio de conservación de la energía mecánica. La energía potencial eléctrica entre dos cargas puntuales es:

La partícula libre parte del reposo (velocidad inicial $v_0 = 0$) a distancia $d$ y se aleja hasta distancia $2d$.

Aplicando conservación de energía mecánica entre el estado inicial (distancia $d$, $v=0$) y el estado final (distancia $2d$, velocidad $v$):

Despejando la energía cinética final:

Si las cargas pasan a ser $q' = 2q$, la nueva velocidad $v'$ se obtiene sustituyendo en la expresión anterior:

Al duplicar el valor de las cargas, el módulo de la velocidad adquirida por la partícula libre se duplica. Esto se debe a que la energía potencial eléctrica es proporcional a $q^2$, por lo que al duplicar $q$ la diferencia de energía potencial se cuadruplica, y al relacionarla con la energía cinética ($\frac{1}{2}mv^2 \propto q^2$), la velocidad resulta proporcional a $q$, duplicándose.

Datos del problema:

Convertimos las rpm a radianes por segundo:

El flujo magnético a través de la espira que gira con velocidad angular $\omega$ en un campo $B$ uniforme es:

Como en $t = 0$ el flujo es máximo, el ángulo entre el vector normal y $\vec{B}$ es cero en ese instante, por lo que $\varphi_0 = 0$. El flujo máximo vale:

Por tanto, el flujo en función del tiempo es:

Aplicando la Ley de Faraday, la fuerza electromotriz (fem) inducida es:

Calculamos la fem máxima (amplitud):

La expresión de la fem en función del tiempo es:

La intensidad de corriente inducida se obtiene aplicando la Ley de Ohm:

La corriente inducida en la espira es ALTERNA, ya que varía sinusoidalmente con el tiempo (cambia de signo periódicamente), con una frecuencia de $f = 25 \ \text{Hz}$. Este es precisamente el principio de funcionamiento de un alternador o generador de corriente alterna.

Un electrón (carga $-e$) se lanza desde el infinito hacia una carga $Q = -5\ \mu\text{C}$. Como ambas cargas son negativas, la fuerza entre ellas es repulsiva. El electrón irá frenándose hasta que su velocidad sea nula.

Aplicamos conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (infinito) y el punto final (donde $v = 0$):

En el infinito, la energía potencial es cero. En el punto final, la velocidad es cero, por lo que la energía cinética es cero:

La energía potencial eléctrica del electrón (carga $q = -e$) a distancia $r$ de la carga $Q$ es:

Igualando las energías:

Despejando $r$:

Sustituyendo valores:

Aplicamos la ley de Coulomb para calcular el módulo de la fuerza entre la carga $Q = -5\ \mu\text{C}$ y el electrón (carga $q = -e = -1{,}6\times10^{-19}$ C) a la distancia $r \approx 158{,}2$ m:

En cuanto al carácter de la fuerza: como el electrón y la carga fija tienen el mismo signo (ambos negativos), la interacción entre ellos es REPULSIVA. Esta fuerza repulsiva es la que ha frenado al electrón hasta detenerlo.

A partir de la igualdad anterior, podemos despejar el radio $R$ de la trayectoria circular:

Para obtener la relación entre las masas, despejamos $m$ para cada partícula, sabiendo que el valor absoluto de sus cargas es el mismo ($|q_1| = |q_2| = q$), que sus velocidades son iguales ($v_1 = v_2 = v$) y que el campo $B$ es uniforme:

Dividiendo ambas expresiones para hallar la relación $m_2/m_1$:

Sustituyendo la relación de radios proporcionada por el enunciado, $R_2 = 2 R_1$:

Por lo tanto, la relación entre las masas es $m_2 = 2 m_1$.

El flujo magnético en un instante dado, considerando que la espira ha penetrado una distancia $x$ en el campo (siendo $x = v \cdot t$), se define como:

De acuerdo con la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida $\epsilon$ es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

Sustituyendo los valores numéricos con $L = 0,3 \text{ m}$, $v = 10 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $B = 0,05 \text{ T}$:

Aplicando la ley de Ohm, calculamos la intensidad de la corriente inducida $I$ con $R = 1 \ \Omega$:

Según la ley de Lenz, la corriente inducida crea un campo magnético $\vec{B}_{ind}$ que se opone al aumento del flujo. Como $\vec{B}$ es saliente y el flujo aumenta, $\vec{B}_{ind}$ debe ser entrante (sentido $-\vec{k}$). Por la regla de la mano derecha, la corriente $I$ circula en sentido horario. El esquema de fuerzas de Lorentz sobre las cargas del conductor lateral derecho que entra en el campo es el siguiente:

En esta situación, tanto el módulo del campo magnético $B$ como la superficie $S$ de la espira atravesada por las líneas de campo permanecen constantes, ya que toda la superficie $S = L^2$ está dentro de la región con campo uniforme.

Al ser el flujo constante, su derivada respecto al tiempo es nula, por lo que no se induce fuerza electromotriz ni corriente:

Al no haber variación de flujo, no existe campo magnético inducido ni corriente en el interior de la espira en este tramo.

Para calcular el vector campo eléctrico $\vec{E}$, aplicamos la segunda ley de Newton y la definición de fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Puesto que la única fuerza actuando es la eléctrica:

Sustituyendo la expresión de la fuerza eléctrica $\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$, donde para un electrón $q = -e$:

Sustituyendo los valores numéricos con la aceleración en el eje positivo $OX$, $\vec{a} = 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$:

Utilizando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre el electrón es igual a la variación de su energía cinética. Como parte del reposo ($E_{c,0} = 0$):

El trabajo realizado por una fuerza constante es $W = F \cdot d$, donde $F = m_e \cdot a$:

A partir de la energía cinética, despejamos el módulo de la velocidad final:

El campo magnético $\vec{B}$ generado por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente $I$ se determina mediante la ley de Biot-Savart. Para un punto situado a la derecha del conductor (eje $OY$, sentido $+y$), según la regla de la mano derecha, las líneas de campo son perpendiculares al plano $XY$ y tienen sentido entrante (hacia dentro del papel, dirección $-\vec{k}$ o $\otimes$). El módulo del campo es:

La aparición de una corriente inducida en la espira se rige por la ley de Faraday-Lenz, que establece que la fuerza electromotriz inducida $\varepsilon$ es proporcional a la rapidez con la que varía el flujo magnético $\Phi$ a través de la espira, y tiene un sentido tal que se opone a dicha variación:

Al aumentar la intensidad de corriente $I$ en el conductor, el módulo del campo magnético $B$ aumenta en todos los puntos de la espira. Esto provoca un incremento del flujo magnético $\Phi$ que atraviesa la superficie de la espira con sentido entrante. Según la ley de Lenz, la corriente inducida debe generar un campo magnético inducido $\vec{B}_{ind}$ que se oponga a este incremento; por lo tanto, el campo inducido debe ser saliente del plano (sentido $\odot$). Aplicando la regla de la mano derecha para la espira, se concluye que la corriente inducida circula en sentido antihorario.

Si la espira se aleja del conductor, la distancia $r$ de sus puntos respecto al hilo aumenta. Como el campo magnético es inversamente proporcional a la distancia ($B \propto 1/r$), el flujo magnético $\Phi$ entrante que atraviesa la espira disminuye con el tiempo. Para contrarrestar esta disminución (Lenz), la corriente inducida debe generar un campo magnético inducido $\vec{B}_{ind}$ que refuerce al original, es decir, un campo con sentido entrante ($\otimes$). Según la regla de la mano derecha, para que la espira genere un campo hacia dentro del plano, la corriente inducida debe circular en sentido horario.

Dado que la fuerza es perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético, y su módulo es constante, el electrón describe un movimiento circular uniforme (MCU). La trayectoria es una circunferencia situada en el plano $XZ$, ya que la fuerza inicial apunta en la dirección $-\vec{k}$.

Sustituimos los valores de la masa del electrón ($m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$), velocidad y campo:

El periodo $T$ es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta completa, definido por $T = \frac{2 \pi R}{v}$:

Despejamos el potencial $V$:

Para que una carga $q_3$ permanezca en reposo en presencia de otras dos cargas, la fuerza neta sobre ella debe ser nula. Esto ocurre en el punto donde el campo eléctrico total creado por $q_1$ y $q_2$ sea cero. Dado que ambas cargas son del mismo signo (positivas), este punto debe encontrarse en el segmento que las une. Si situamos la carga $q_3$ en una posición $(x, 0)$ entre $A(0,0)$ y $B(6,0)$, las distancias a las cargas son $r_1 = x$ y $r_2 = 6 - x$.

Igualamos el módulo de las intensidades de campo eléctrico generadas por cada carga en dicho punto:

Sustituimos los valores de las cargas $q_1 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $q_2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y simplificamos:

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados para hallar la solución física entre las cargas:

El punto de equilibrio se encuentra en $(2,485, 0) \text{ m}$.

La fuerza que ejerce $q_1$ sobre $q_3$ se calcula mediante la ley de Coulomb en forma vectorial:

La fuerza que ejerce $q_2$ sobre $q_3$, al estar $q_3$ en el punto de equilibrio, debe ser de igual magnitud y sentido opuesto:

La energía potencial de la carga $q_3$ es la suma de las energías potenciales debidas a su interacción con $q_1$ y $q_2$ (principio de superposición):

Sustituimos los valores numéricos con $r_{13} = 2,485 \text{ m}$ y $r_{23} = 3,515 \text{ m}$:

La energía potencial total de la carga $q_3$ en el punto de equilibrio es de $5,25 \cdot 10^{-2} \text{ J}$.

i) Cuando una partícula con carga q se mueve con una velocidad v a través de un campo magnético uniforme B, experimenta una fuerza magnética descrita por la ley de Lorentz:

Dado que el enunciado indica que la velocidad es perpendicular al campo magnético, el módulo de esta fuerza es constante y máximo. Al ser la fuerza perpendicular al vector velocidad en todo momento, esta actúa como una fuerza centrípeta, obligando a la partícula a describir una trayectoria circular de radio R. Según la segunda ley de Newton:

Como el seno de 90 grados es la unidad, simplificamos la expresión para despejar el radio de la trayectoria:

ii) El periodo T se define como el tiempo necesario para completar una revolución completa. En un movimiento circular uniforme, la relación entre la velocidad, el radio y el periodo es:

Sustituyendo la expresión obtenida para el radio R en la ecuación del periodo, obtenemos la dependencia de este con la masa y la carga:

Para encontrar la razón entre los periodos de las dos partículas, establecemos la relación dada entre sus masas y cargas: m_1 = 20 m_2 y q_1 = 0.5 q_2. Calculamos el cociente T_1 / T_2:

Sustituyendo las equivalencias de la primera partícula respecto a la segunda:

La razón entre los periodos es de 40, lo que significa que la primera partícula tarda 40 veces más en completar una vuelta que la segunda.

Para resolver este problema, aplicamos la ley de Faraday-Lenz, que establece que la fuerza electromotriz (fem) inducida es igual a la variación temporal del flujo magnético a través de la superficie delimitada por la espira. Al moverse el lado móvil con velocidad constante, el área de la espira aumenta, provocando una variación en el flujo magnético.

i) La fuerza electromotriz inducida en valor absoluto se calcula como el módulo de la derivada del flujo magnético respecto al tiempo, considerando que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo.

El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida es:

ii) Una vez conocida la fuerza electromotriz, utilizamos la ley de Ohm para determinar la intensidad de la corriente eléctrica que recorre la espira, dada su resistencia eléctrica.

El valor de la intensidad de corriente inducida es:

iii) Según la ley de Lenz, el sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la variación del flujo magnético que la produce. Dado que el campo magnético exterior es saliente y el área de la espira aumenta, el flujo saliente está aumentando.Para oponerse a este aumento, la corriente inducida debe generar un campo magnético inducido con sentido hacia dentro del papel (entrante). Aplicando la regla de la mano derecha, para que el campo en el interior de la espira sea entrante, la corriente debe circular en el sentido de las agujas del reloj (sentido horario).Descripción del esquema: Se debe dibujar la espira rectangular con el lado derecho desplazándose hacia la derecha. El campo magnético original se representa con puntos (\cdot) indicando que es saliente. El campo magnético inducido dentro de la espira se debe representar con aspas (\times) indicando que es entrante. La intensidad de corriente I se dibuja con flechas recorriendo el perímetro en sentido horario.

Situamos las cargas puntuales en el plano cartesiano. La carga positiva se encuentra en el punto A(0, -4) y la negativa en el punto B(0, 4). Representamos los puntos C(6, 0) y D(0, 8) donde calcularemos el potencial.

i) El potencial eléctrico en un punto creado por varias cargas es la suma escalar de los potenciales individuales (principio de superposición). La expresión para el potencial de una carga puntual es:

Para el punto C(6, 0), calculamos las distancias r desde cada carga:

Sustituimos en la fórmula del potencial en C:

Para el punto D(0, 8), las distancias sobre el eje Y son:

Calculamos el potencial en D:

ii) El trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga q desde C hasta D es la variación negativa de la energía potencial, lo que equivale al producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final:

Sustituimos los valores de la carga trasladada q y los potenciales calculados:

El trabajo resultante es positivo, lo que indica que el campo eléctrico realiza el trabajo de manera espontánea. Al ser la carga positiva, esta tiende a moverse hacia regiones de menor potencial (de 0 V a -1500 V), disminuyendo la energía potencial del sistema.

La energía potencial electrostática $U$ de una carga $q$ en un punto con potencial eléctrico $V$ viene dada por la expresión:

Un protón tiene una carga positiva ($q > 0$). El campo eléctrico $\vec{E}$ apunta en la dirección en la que el potencial eléctrico disminuye más rápidamente. La fuerza eléctrica sobre una carga positiva es $\vec{F} = q\vec{E}$, por lo tanto, la fuerza sobre el protón tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico.

Si el protón se mueve en sentido contrario al campo eléctrico, se está moviendo hacia regiones de mayor potencial eléctrico $V$. Dado que la carga del protón $q$ es positiva, y $U = qV$, un aumento en el potencial $V$ implica un aumento en la energía potencial electrostática $U$. Alternativamente, el campo eléctrico realiza un trabajo negativo sobre el protón al moverse en sentido contrario a la fuerza que ejerce el campo, y el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = - \Delta U$. Si $W_E < 0$, entonces $\Delta U > 0$. Por lo tanto, su energía potencial electrostática aumenta.

Cuando una carga se mueve en dirección perpendicular a un campo eléctrico uniforme, se mueve a lo largo de una superficie equipotencial. Esto significa que no hay cambio en el potencial eléctrico $V$ (es decir, $\Delta V = 0$). Como la energía potencial electrostática está dada por $U = qV$, si $V$ no varía, entonces $U$ tampoco varía ($\Delta U = q\Delta V = 0$). Otra forma de verlo es que la fuerza eléctrica $\vec{F} = q\vec{E}$ es perpendicular al desplazamiento. Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico es $W_E = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r} = 0$, y como $W_E = - \Delta U$, la energía potencial electrostática no varía (permanece constante).

Primero, identificamos los datos proporcionados:Número de espiras, $N = 1000$ Radio de las espiras, $r = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}$ Campo magnético en función del tiempo, $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ Ángulo entre la dirección del campo y el plano de las espiras, $\alpha = 60^\circ$. El ángulo $\theta$ entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector normal a la superficie $\vec{A}$ es complementario a $\alpha$: $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.Calculamos el área de una espira:

Calculamos el módulo del campo magnético en el instante $t = 2 \text{ s}$:

La expresión general para el flujo magnético a través de $N$ espiras es:

Sustituimos los valores para $t = 2 \text{ s}$:

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida (FEM) se calcula como la derivada temporal negativa del flujo magnético:

Primero, escribimos la expresión del flujo magnético en función del tiempo:

Ahora derivamos $\Phi(t)$ con respecto al tiempo:

Evaluamos esta derivada en $t = 2 \text{ s}$:

Finalmente, calculamos la fuerza electromotriz inducida:

El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida es:

Para un conductor rectilíneo indefinido, el módulo del campo magnético $B$ a una distancia $r$ se calcula mediante la ley de Biot-Savart:

Despejamos la intensidad de corriente $I$ y sustituimos los datos proporcionados ($B = 2 \cdot 10^{-4} \text{ T}$ y $r = 0,02 \text{ m}$):

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos por los que circulan corrientes $I_1$ e $I_2$ separados una distancia $d$ viene dada por:

Para que exista atracción, las corrientes en ambos conductores deben circular en el mismo sentido. Despejamos la intensidad del segundo conductor $I_2$ utilizando los valores conocidos ($I_1 = 20 \text{ A}$, $d = 0,08 \text{ m}$, $F/L = 10^{-3} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}$):