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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
B-b1
Examen
b1) Una bobina circular, de 2020 vueltas y 0,1 m0,1 \text{ m} de radio, se encuentra situada en un campo magnético, de forma que el flujo es máximo. Si el módulo del campo magnético es B(t)=20⋅sen(4πt) (SI)B(t) = 20 \cdot \text{sen} (4\pi t) \text{ (SI)}, calcule: i) la fuerza electromotriz máxima en la bobina. ii) la fuerza electromotriz inducida, en el instante t=0,125 st = 0,125 \text{ s}.
Ley de Faraday-LenzFlujo magnéticoFuerza electromotriz

El flujo es máximo cuando el campo B es perpendicular al plano de la bobina (el vector normal al área es paralelo a B). En ese caso, el flujo a través de la bobina de N vueltas es:

Φ(t)=N⋅B(t)⋅A=N⋅B0⋅sen(ωt)⋅A\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot A = N \cdot B_0 \cdot \text{sen}(\omega t) \cdot A

donde A=πr2=π⋅(0,1)2=0,01π m2A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}01\pi \text{ m}^2, N=20N = 20, B0=20 TB_0 = 20 \text{ T}, ω=4π rad/s\omega = 4\pi \text{ rad/s}.La fuerza electromotriz (fem) inducida se obtiene aplicando la Ley de Faraday:

ε=−dΦdt=−N⋅A⋅B0⋅ω⋅cos⁡(ωt)\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot A \cdot B_0 \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)

El módulo de la fem máxima es:

εmax⁡=N⋅A⋅B0⋅ω\varepsilon_{\max} = N \cdot A \cdot B_0 \cdot \omega
i) Cálculo de la fem máxima:
εmax⁡=N⋅πr2⋅B0⋅ω=20⋅π⋅(0,1)2⋅20⋅4π\varepsilon_{\max} = N \cdot \pi r^2 \cdot B_0 \cdot \omega = 20 \cdot \pi \cdot (0{,}1)^2 \cdot 20 \cdot 4\pi
εmax⁡=20⋅0,01π⋅20⋅4π=20⋅0,01⋅20⋅4⋅π2\varepsilon_{\max} = 20 \cdot 0{,}01\pi \cdot 20 \cdot 4\pi = 20 \cdot 0{,}01 \cdot 20 \cdot 4 \cdot \pi^2
εmax⁡=16π2≈157,9 V\varepsilon_{\max} = 16\pi^2 \approx 157{,}9 \text{ V}
ii) Fem inducida en t=0,125 st = 0{,}125 \text{ s}:

Sustituimos en la expresión de la fem inducida:

ε(t)=−εmax⁡⋅cos⁡(ωt)=−16π2⋅cos⁡(4πt)\varepsilon(t) = -\varepsilon_{\max} \cdot \cos(\omega t) = -16\pi^2 \cdot \cos(4\pi t)
ε(0,125)=−16π2⋅cos⁡(4π⋅0,125)=−16π2⋅cos⁡(π2)\varepsilon(0{,}125) = -16\pi^2 \cdot \cos(4\pi \cdot 0{,}125) = -16\pi^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)
ε(0,125)=−16π2⋅0=0 V\varepsilon(0{,}125) = -16\pi^2 \cdot 0 = 0 \text{ V}

En el instante t=0,125 st = 0{,}125 \text{ s}, la fem inducida es ε=0 V\varepsilon = 0 \text{ V}, ya que el campo B es máximo (pasa por su máximo de variación) y en ese instante su derivada temporal es nula.