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T2: Interacción electromagnética
Fuerzas magnéticas
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
B1-b
Examen
b) i) Un protón que parte del reposo es acelerado en el sentido positivo del eje OXOX al aplicar una diferencia de potencial de 1000 V1000 \text{ V}. Determine la velocidad que alcanza el protón tras ser acelerado. ii) A continuación, penetra en un campo magnético describiendo una trayectoria circular de radio 4⋅10−3 m4 \cdot 10^{-3} \text{ m} en el plano XZXZ, ¿cuál debe ser el módulo del campo magnético? ¿Y su dirección?

Datos: mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Espectrómetro de masasCampo magnéticoDiferencia de potencial
b) i) Para calcular la velocidad que alcanza el protón tras ser acelerado por una diferencia de potencial, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica. El trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética, partiendo del reposo (v0=0v_0 = 0).
W=q⋅ΔV=ΔEc⇒q⋅ΔV=12mv2W = q \cdot \Delta V = \Delta E_c \Rightarrow q \cdot \Delta V = \frac{1}{2} m v^2

Despejamos la velocidad vv de la expresión anterior y sustituimos los valores del enunciado (q=eq = e):

v=2⋅q⋅ΔVm=2⋅1,6⋅10−19 C⋅1000 V1,7⋅10−27 kgv = \sqrt{\frac{2 \cdot q \cdot \Delta V}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 1000 \text{ V}}{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}}
v≈4,34⋅105 m⋅s−1v \approx 4,34 \cdot 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
ii) Cuando el protón penetra en el campo magnético, experimenta la fuerza de Lorentz. Al describir una trayectoria circular, la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta. Dado que la trayectoria está en el plano XZXZ y la velocidad inicial es paralela al eje OXOX, el campo magnético debe ser perpendicular a dicho plano, es decir, debe estar orientado en la dirección del eje OYOY.
B (saliente)⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙+vF

Igualamos el módulo de la fuerza magnética (con v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B}) a la fuerza centrípeta para hallar el módulo del campo BB:

Fm=Fc⇒q⋅v⋅B=m⋅v2r⇒B=m⋅vq⋅rF_m = F_c \Rightarrow q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{v^2}{r} \Rightarrow B = \frac{m \cdot v}{q \cdot r}

Sustituimos los valores numéricos calculados:

B=1,7⋅10−27 kg⋅4,34⋅105 m⋅s−11,6⋅10−19 C⋅4⋅10−3 mB = \frac{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 4,34 \cdot 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ m}}
B≈1,15 TB \approx 1,15 \text{ T}

En cuanto a la dirección, como se ha razonado, el campo debe ser perpendicular al plano del movimiento (XZXZ). Por tanto, su dirección es la del eje OYOY. Vectorialmente, el campo puede expresarse como B⃗=1,15j⃗ T\vec{B} = 1,15 \vec{j} \text{ T} (o en sentido opuesto según el sentido de giro).